Кіріспе
Геометриялық топологияда, математиканың бір саласы, шекті CW кешендерінің гомотопиялық теңдестігіне кедергі, қарапайым гомотопиялық теңдестік болса, ол оның Уайтхед тоссионы деп аталады, және ол Уайтхед тобының мүшесі болып табылады. Бұл ұғымдар математик Дж. Х. К. Уайтхедтің есімімен аталған. Уайтхед тоссионы >4 өлшемді жай ғана байланысқан емес көптіктерге хирургиялық теорияны қолдануда маңызды рөл атқарады: жай ғана байланысқан көптіктер үшін Уайтхед тобы нөлге тең болады, сондықтан гомотопиялық теңдестіктер мен қарапайым гомотопиялық теңдестіктер бірдей. Қолданылу аясы дифференциалдық, PL және топологиялық көптіктерді қамтиды. Алғашқы дәлелдер 1960-шы жылдардың басында Стивен Смейлмен дифференциалдық көптіктер үшін алынған. Қол-аяқ теориясының дамуы дифференциалдық және PL санаттарында осыған ұқсас дәлелдерге мүмкіндік берді. Топологиялық санатта дәлелдеулер әлдеқайда қиын, Робьон Кирби мен Лоран С. Сибенманның теориясын қажет етеді. Көптіктердің төрттен үлкен өлшемдерге шектелуі Уитнидің қос нүктелерді жою әдісін қолдануына байланысты. h-кобордизм теоремасын, жай ғана байланысқан көптіктер туралы мәлімдеме, жай ғана байланысқан емес көптіктерге жалпылау кезінде, қарапайым гомотопиялық теңдестіктер мен қарапайым емес гомотопиялық теңдестіктерді ажырату қажет. Жай ғана байланысқан жабық байланысқан көптіктер M және N, өлшемі n > 4 арасындағы h-кобордизм W, цилиндрге изоморфты болады (тиісті гомотопиялық теңдестік диффеоморфизм, PL изоморфизм немесе гомеоморфизм ретінде қарастырылуы мүмкін), ал s-кобордизм теоремасы, егер көптіктер жай ғана байланысқан болмаса, h-кобордизм цилиндр болып табылады, егер ғана кіріктірудің Уайтхед тоссионы жоғалып кетсе.
Уайтхед тобы
Байланысты CW кешенінің немесе көптік M-нің Уайтхед тобы M-нің негізгі тобының Уайтхед тобына тең. Егер G топ болса, Уайтхед тобы (g, ±1) жұбын кері (1,1) матрицасына (±g) бейнелейтін гомоморфизмнің кокернелі ретінде анықталады. Мұндағы – G тобының сақинасы. Естеріңізге сала кетейік, A сақинасының K тобы K1(A) элементтік матрицалар арқылы туындаған кіші топқа бөлінген GL(A) тобының үлесі ретінде анықталады. GL(A) тобы – GL(n, A) → GL(n+1, A) шекті өлшемді топтардың тікелей лиміті; нақтырақ айтқанда, бірлік матрицасынан тек шекті сандағы коэффициенттерімен ғана ерекшеленетін кері қайтарылатын шексіз матрицалар тобы. Элементар матрица – бұл трансквекция, яғни барлық бас диагональ элементтері 1-ге тең және диагональда тек бір ғана нөлдік емес элемент бар. Элементар матрицалар арқылы туындаған кіші топ – дәл туынды кіші топ, яғни оған бөлінгенде абельдік болатын ең кіші нормальді кіші топ. Басқаша айтқанда, G тобының Уайтхед тобы – элементтік матрицалар мен G тобының элементтері арқылы туындаған кіші топқа бөлінген сақинаның үлесі. Сондай-ақ, бұл G тобының қысқартылған K тобының G-ға бөлінуімен бірдей екенін ескеріңіз.
If G is a group, the Whitehead group is defined to be the cokernel of the map which sends (g, ±1) to the invertible (1,1) matrix (±g). Here is the group ring of G. Recall that the K group K1(A) of a ring A is defined as the quotient of GL(A) by the subgroup generated by elementary matrices. The group GL(A) is the direct limit of the finite dimensional groups GL(n, A) → GL(n+1, A); concretely, the group of invertible infinite matrices which differ from the identity matrix in only a finite number of coefficients. An elementary matrix here is a transvection: one such that all main diagonal elements are 1 and there is at most one non zero element not on the diagonal. The subgroup generated by elementary matrices is exactly the derived subgroup, in other words the smallest normal subgroup such that the quotient by it is abelian. In other words, the Whitehead group of a group G is the quotient of by the subgroup generated by elementary matrices, elements of G and Notice that this is the same as the quotient of the reduced K group by G.
Мысалдар
Баяғы топтың Уайтхед тобы – баянды. Тривиальды топтың топтық сақинасы болғандықтан, кез келген матрицаны элементар матрицалардың көбейтіндісі ретінде жазуға болатынын көрсетуіміз керек; бұл оның Евклид домені екендігінен туындайды. Абельдік топтың еркін Уайтхед тобы – 1964 жылы Хайман Басс, Алекс Хеллер және Ричард Свонның нәтижесі. Бұл дәлелдеу өте қиын, бірақ маңызды, себебі ол кем дегенде 6 өлшемді s-кобордизмінің ұштары тори болатын өнім екенін дәлелдеуде қолданылады. Бұл сонымен қатар, торосқа гомотопиялық тең болатын кем дегенде 5 өлшемді бөлшекті сызықтық көптүрліліктердің хирургиялық теориясы бойынша жіктелуінде қолданылатын негізгі алгебралық нәтиже; бұл кем дегенде 5 өлшемді топологиялық көптүрліліктердің 1969 жылғы Кирби-Сибенманн құрылымы теориясының негізгі құрамдас бөлігі. Брейд тобының Уайтхед тобы (немесе брейд тобының кез келген кіші тобы) – баянды. Мұны Ф. Томас Фаррелл мен Саид К. Рушон дәлелдеді. 2, 3, 4 және 6-реттік циклдік топтардың Уайтхед тобы – баянды. 5-ші реттік циклдік топтың Уайтхед тобы 1940 жылы Грэм Хигман дәлелдеді. Топтық сақинадағы тривиалды емес бірліктің мысалы t – 5-ші реттік циклдік топтың генераторы болатын теңдіктен туындайды. Бұл мысал бесінші бірлік түбірлері арқылы құрылған циклотомдық өрістің бүтін сандар сақинасындағы шексіз тәртіптің бірліктерінің (әсіресе алтын қатынас) болуымен тығыз байланысты. Кез келген G шекті тобының Уайтхед тобы G-дің азайтылмас нақты бейнелеулерінің санына азайтылмас рационалды бейнелеулердің санын қосып, шекті түрде пайда болады. Мұны 1965 жылы Басс дәлелдеді. Егер G – шекті циклдік топ болса, онда ол детерминант картасы бойынша топтық сақинаның бірліктеріне изоморфты, сондықтан Wh(G) – бұл G элементтерімен және -1 арқылы құрылған "тривиалды бірліктер" тобына қатысты топтық сақинаның бірліктерінің тобы. Кез келген торсиясыз топтың Уайтхед тобы жоғалуы керек деген болжам кеңінен танымал.
Уайтхед бұрылысы
Алдымен біз шекті негіздегі еркін R тізбекті кешендердің тізбектік гомотопиялық баламасы үшін Уайтхед бұрылысын анықтаймыз. Біз гомотопиялық баламаға оның карталау конусын C* := конус*(h*) деп атай аламыз, ол созылатын, шекті негізделген еркін R тізбекті кешені. Карталау конусының кез келген тізбекті жиырылуын , яғни барлық n үшін деп белгілейік. Осыдан біз , мұндағы A – берілген негіздерге қатысты матрица. Қосылған шекті CW кешендерінің гомотопиялық баламалығы үшін Уайтхед бұрылысын келесідей анықтаймыз. –тің әлемдік жамылғыға көтерілісі болсын. Ол тізбектік гомотопиялық баламаларды тудырады. Енді біз тізбектік гомотопиялық балама үшін Уайтхед бұрылысының анықтамасын қолданып, элементін аламыз, оны Wh(π1(Y)) картасына бейнелейміз. Бұл Уайтхед бұрылысы τ(ƒ) ∈ Wh(π1(Y)).
We define , where A is the matrix of with respect to the given bases. For a homotopy equivalence of connected finite CW complexes we define the Whitehead torsion as follows. Let be the lift of to the universal covering. It induces chain homotopy equivalences Now we can apply the definition of the Whitehead torsion for a chain homotopy equivalence and obtain an element in which we map to Wh(π1(Y)). This is the Whitehead torsion τ(ƒ) ∈ Wh(π1(Y)).
Қасиеттері
Гомотопиялық инварианттылық: және шекті байланысқан CW кешендерінің гомотопиялық эквиваленттері болсын. Егер f және g гомотопты болса, онда .
Topological invariance: If is a homeomorphism of finite connected CW complexes, then
Composition formula: Let , be homotopy equivalences of finite connected CW complexes. Then .
Топологиялық инварианттылық: Егер шекті байланысқан CW кешендерінің гомеоморфизмі болса, онда .
Topological invariance: If is a homeomorphism of finite connected CW complexes, then
Composition formula: Let , be homotopy equivalences of finite connected CW complexes. Then .
Құрастыру формуласы: Келсін , шекті байланысқан CW кешендерінің гомотопиялық эквиваленттері. Онда .
Topological invariance: If is a homeomorphism of finite connected CW complexes, then
Composition formula: Let , be homotopy equivalences of finite connected CW complexes. Then .
Геометриялық түсіндіру
S кобордизм теоремасы n > 4 өлшемді жабық, байланысқан, бағдарланған көпқырлы M үшін, M мен басқа көпқырлы N арасындағы W кобордизмі M-ге қатысты тривиальды болады, егер және тек егер инклюзияның Уайтхед бұрылысы нөлге тең болса. Сонымен қатар, Уайтхед тобындағы кез келген элемент үшін, қарастырылып отырған элементтің Уайтхед бұрылысына ие W кобордизмі M-ге қатысты бар. Дәлелдемелерде тұтқалық декомпозициялар қолданылады. S кобордизм теоремасының гомотопиялық теориялық аналогы бар. CW кешені A берілген болжамда, A-ны X-ке енгізу гомотопиялық эквиваленттік болатын (X, A) түріндегі барлық CW кешендері жұптарының жиынтығын қарастырайық. Егер A-ға қатысты X1 мен X2 арасында қарапайым гомотопиялық эквиваленттік болса, онда екі жұп (X1, A) және (X2, A) эквивалентті болып саналады. Мұндай эквиваленттілік сыныптарының жиынтығы топты құрайды, онда қосу X1 және X2-нің ортақ субкеңістігі A арқылы біріктірілуімен анықталады. Бұл топ CW кешені A-ның Уайтхед тобы Wh(A)-ға табиғи изоморфты. Бұл фактінің дәлелі S кобордизм теоремасының дәлеліне ұқсас.