Торсия Уайтхеда и ее применение в геометрической топологии.

Введение

В геометрической топологии, области математики, препятствием к тому, чтобы гомотопическая эквивалентность конечных CW-комплексов являлась простой гомотопической эквивалентностью, является торсия Уайтхеда – элемент группы Уайтхеда. Эти понятия названы в честь математика Дж. Х. К. Уайтхеда. Торсия Уайтхеда играет важную роль при применении теории хирургии к не просто связным многообразиям размерности > 4: для просто связных многообразий группа Уайтхеда равна нулю, и, следовательно, гомотопические и простые гомотопические эквивалентности совпадают. Области применения включают дифференцируемые многообразия, PL-многообразия и топологические многообразия. Первые доказательства были получены в начале 1960-х годов Стивеном Смалем для дифференцируемых многообразий. Развитие теории тела-ручки позволило получить практически те же доказательства в дифференцируемых и PL-категориях. Доказательства значительно сложнее в топологической категории и требуют теории Робиона Кирби и Лорана Сибенманна. Ограничение на многообразия размерности больше четырех связано с применением трюка Уитни для устранения двойных точек. При обобщении теоремы h-кобордизма, являющейся утверждением о просто связных многообразиях, на не просто связные многообразия необходимо различать простые гомотопические эквивалентности и не простые гомотопические эквивалентности. В то время как h-кобордизм W между просто связными замкнутыми связными многообразиями M и N размерности n > 4 изоморфен цилиндру (соответствующая гомотопическая эквивалентность может быть взята как диффеоморфизм, PL-изоморфизм или гомеоморфизм, соответственно), теорема s-кобордизма утверждает, что если многообразия не просто связны, то h-кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда торсия Уайтхеда включения равна нулю.

Группа Уайтхед

Группа Уайтхеда связного CW-комплекса или многообразия M равна группе Уайтхеда фундаментальной группы M.

Если G — группа, то группа Уайтхеда определяется как коядро отображения, которое переводит (g, ±1) в инвертируемую (1,1)-матрицу (±g). Здесь — групповое кольцо G. Напомним, что K-группа K₁(A) кольца A определяется как факторгруппа GL(A) по подгруппе, порожденной элементарными матрицами. Группа GL(A) является прямой пределью конечномерных групп GL(n, A) → GL(n+1, A); конкретно, это группа инвертируемых бесконечных матриц, отличающихся от единичной матрицы лишь конечным числом коэффициентов. Элементарная матрица здесь — это трансвекция: матрица, у которой все главные диагональные элементы равны 1 и есть не более одного ненулевого элемента вне диагонали. Подгруппа, порожденная элементарными матрицами, является точно производной подгруппой, иными словами, наименьшей нормальной подгруппой, такой что факторгруппа по ней абелева. Иными словами, группа Уайтхеда группы G является факторгруппой по подгруппе, порожденной элементарными матрицами, элементами G. Обратите внимание, что это то же самое, что факторгруппа редуцированной K-группы по G.

Примеры

Группа Уайтхеда тривиальной группы тривиальна. Поскольку кольцо группы тривиальной группы является точным, мы должны показать, что любую матрицу можно представить в виде произведения элементарных матриц и диагональной матрицы; это легко следует из того факта, что это евклидово кольцо. Группа Уайтхеда свободной абелевой группы тривиальна — результат 1964 года Хаймана Басса, Алекса Хеллера и Ричарда Свана. Это довольно сложно доказать, но важно, поскольку используется в доказательстве того, что s-кобордизм размерности не менее 6, концы которого являются торами, является произведением. Это также ключевой алгебраический результат, используемый в теории хирургий для классификации кусочно-линейных многообразий размерности не менее 5, гомотопически эквивалентных тору; это существенный компонент теории структуры Кирби — Сибенманна 1969 года для топологических многообразий размерности не менее 5. Группа Уайтхеда группы кос (или любой подгруппы группы кос) тривиальна. Это было доказано Ф. Томасом Фарреллом и Саедом К. Рушоном. Группа Уайтхеда циклических групп порядков 2, 3, 4 и 6 тривиальна. Группа Уайтхеда циклической группы порядка 5 нетривиальна. Это было доказано в 1940 году Грэмом Хигманом. Пример нетривиальной единицы в групповом кольце возникает из тождества, где t — генератор циклической группы порядка 5. Этот пример тесно связан с существованием единиц бесконечного порядка (в частности, золотого сечения) в кольце целых чисел циклотомического поля, порожденного пятыми корнями из единицы. Группа Уайтхеда любой конечной группы G конечно порождена и имеет ранг, равный числу неразложимых вещественных представлений G минус число неразложимых рациональных представлений. Это было доказано в 1965 году Бассом. Если G — конечная циклическая группа, то Wh(G) изоморфна единицам группового кольца под действием детерминантного отображения, поэтому Wh(G) — это просто группа единиц модуля группа "тривиальных единиц", порожденных элементами G и −1. Широко распространено предположение, что группа Уайтхеда любой группы, свободной от кручения, должна быть тривиальной.

The Whitehead group of the trivial group is trivial. Since the group ring of the trivial group is we have to show that any matrix can be written as a product of elementary matrices times a diagonal matrix; this follows easily from the fact that is a Euclidean domain. The Whitehead group of a free abelian group is trivial, a 1964 result of Hyman Bass, Alex Heller and Richard Swan. This is quite hard to prove, but is important as it is used in the proof that an s cobordism of dimension at least 6 whose ends are tori is a product. It is also the key algebraic result used in the surgery theory classification of piecewise linear manifolds of dimension at least 5 which are homotopy equivalent to a torus; this is the essential ingredient of the 1969 Kirby–Siebenmann structure theory of topological manifolds of dimension at least 5. The Whitehead group of a braid group (or any subgroup of a braid group) is trivial. This was proved by F. Thomas Farrell and Sayed K. Roushon. The Whitehead group of the cyclic groups of orders 2, 3, 4, and 6 are trivial. The Whitehead group of the cyclic group of order 5 is This was proved in 1940 by Graham Higman. An example of a non trivial unit in the group ring arises from the identity where t is a generator of the cyclic group of order 5. This example is closely related to the existence of units of infinite order (in particular, the golden ratio) in the ring of integers of the cyclotomic field generated by fifth roots of unity. The Whitehead group of any finite group G is finitely generated, of rank equal to the number of irreducible real representations of G minus the number of irreducible rational representations. This was proved in 1965 by Bass. If G is a finite cyclic group then is isomorphic to the units of the group ring under the determinant map, so Wh(G) is just the group of units of modulo the group of "trivial units" generated by elements of G and −1. It is a well known conjecture that the Whitehead group of any torsion free group should vanish.

Торсион Уайтхед

Сначала мы определяем кручение Уайтхеда для эквивалентности гомотопии цепей конечных свободных R-цепочных комплексов. Мы можем сопоставить эквивалентности гомотопии её отображающий конус C* := cone*(h*), который является стягиваемым конечным свободным R-цепочным комплексом. Пусть будет любым цепным сжатием отображающего конуса, то есть для всех n. Мы получаем изоморфизм с . Мы определяем , где A — матрица относительно заданных базисов. Для гомотопической эквивалентности связных конечных CW-комплексов мы определяем кручение Уайтхеда следующим образом. Пусть будет поднятием к универсальному накрытию. Оно индуцирует цепные эквивалентности гомотопии. Теперь мы можем применить определение кручения Уайтхеда для цепной эквивалентности гомотопии и получить элемент в , который мы отображаем в Wh(π1(Y)). Это и есть кручение Уайтхеда τ(ƒ) ∈ Wh(π1(Y)).

Свойства

Инвариантность гомотопии: Пусть f и g – гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Если f и g гомотопны, то

Топологическая инвариантность: Если f – гомеоморфизм конечных связных CW-комплексов, то

Формула композиции: Пусть f и g – гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Тогда .

Геометрическая интерпретация

Теорема s-кобордизма утверждает, что для замкнутого связного ориентированного многообразия M размерности n > 4, h-кобордизм W между M и другим многообразием N тривиален над M тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения обращается в нуль. Более того, для любого элемента в группе Уайтхеда существует h-кобордизм W над M, чей кручение Уайтхеда равно рассматриваемому элементу. В доказательствах используются разложения на ручки. Существует гомотопически-теоретический аналог теоремы s-кобордизма. Для заданного CW-комплекса A рассмотрим множество всех пар CW-комплексов (X, A) таких, что включение A в X является гомотопической эквивалентностью. Две пары (X1, A) и (X2, A) считаются эквивалентными, если существует простая гомотопическая эквивалентность между X1 и X2 относительно A. Множество таких классов эквивалентности образует группу, где операция сложения задается объединением X1 и X2 с общим подпространством A. Эта группа естественно изоморфна группе Уайтхеда Wh(A) CW-комплекса A. Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы s-кобордизма.