Кіріспе
Математиканың саласы
In mathematics, differential topology is the field dealing with the topological properties and smooth properties of smooth manifolds. In this sense differential topology is distinct from the closely related field of differential geometry, which concerns the geometric properties of smooth manifolds, including notions of size, distance, and rigid shape. By comparison differential topology is concerned with coarser properties, such as the number of holes in a manifold, its homotopy type, or the structure of its diffeomorphism group. Because many of these coarser properties may be captured algebraically, differential topology has strong links to algebraic topology. The central goal of the field of differential topology is the classification of all smooth manifolds up to diffeomorphism. Since dimension is an invariant of smooth manifolds up to diffeomorphism type, this classification is often studied by classifying the (connected) manifolds in each dimension separately:
In dimension 1, the only smooth manifolds up to diffeomorphism are the circle, the real number line, and allowing a boundary, the half closed interval and fully closed interval In dimension 2, every closed surface is classified up to diffeomorphism by its genus, the number of holes (or equivalently its Euler characteristic), and whether or not it is orientable. This is the famous classification of closed surfaces. Already in dimension two the classification of non compact surfaces becomes difficult, due to the existence of exotic spaces such as Jacob's ladder. In dimension 3, William Thurston's geometrization conjecture, proven by Grigori Perelman, gives a partial classification of compact three manifolds. Included in this theorem is the Poincaré conjecture, which states that any closed, simply connected three manifold is homeomorphic (and in fact diffeomorphic) to the 3 sphere. Beginning in dimension 4, the classification becomes much more difficult for two reasons. Firstly, every finitely presented group appears as the fundamental group of some 4 manifold, and since the fundamental group is a diffeomorphism invariant, this makes the classification of 4 manifolds at least as difficult as the classification of finitely presented groups. By the word problem for groups, which is equivalent to the halting problem, it is impossible to classify such groups, so a full topological classification is impossible. Secondly, beginning in dimension four it is possible to have smooth manifolds that are homeomorphic, but with distinct, non diffeomorphic smooth structures. This is true even for the Euclidean space , which admits many exotic structures. This means that the study of differential topology in dimensions 4 and higher must use tools genuinely outside the realm of the regular continuous topology of topological manifolds. One of the central open problems in differential topology is the four dimensional smooth Poincaré conjecture, which asks if every smooth 4 manifold that is homeomorphic to the 4 sphere, is also diffeomorphic to it. That is, does the 4 sphere admit only one smooth structure? This conjecture is true in dimensions 1, 2, and 3, by the above classification results, but is known to be false in dimension 7 due to the Milnor spheres. Important tools in studying the differential topology of smooth manifolds include the construction of smooth topological invariants of such manifolds, such as de Rham cohomology or the intersection form, as well as smoothable topological constructions, such as smooth surgery theory or the construction of cobordisms. Morse theory is an important tool which studies smooth manifolds by considering the critical points of differentiable functions on the manifold, demonstrating how the smooth structure of the manifold enters into the set of tools available. Oftentimes more geometric or analytical techniques may be used, by equipping a smooth manifold with a Riemannian metric or by studying a differential equation on it. Care must be taken to ensure that the resulting information is insensitive to this choice of extra structure, and so genuinely reflects only the topological properties of the underlying smooth manifold. For example, the Hodge theorem provides a geometric and analytical interpretation of the de Rham cohomology, and gauge theory was used by Simon Donaldson to prove facts about the intersection form of simply connected 4 manifolds. In some cases techniques from contemporary physics may appear, such as topological quantum field theory, which can be used to compute topological invariants of smooth spaces. Famous theorems in differential topology include the Whitney embedding theorem, the hairy ball theorem, the Hopf theorem, the Poincaré–Hopf theorem, Donaldson's theorem, and the Poincaré conjecture.
Математикада дифференциалдық топология — тегіс көптүрліліктердің топологиялық және тегіс қасиеттерін зерттейтін сала. Осы тұрғыдан алғанда, дифференциалдық топология тығыз байланысты дифференциалдық геометриядан ерекшеленеді, ол тегіс көптүрліліктердің геометриялық қасиеттерімен, соның ішінде өлшем, қашықтық және нақты пішін ұғымдарымен айналысады. Қарама-қарсылығы, дифференциалдық топология көбірек жалпы қасиеттермен, мысалы, көптүрліліктің тесіктерінің саны, оның гомотопия типі немесе оның диффеоморфизм тобының құрылымымен айналысады. Осы қасиеттердің көптегені алгебралық түрде сипатталатындықтан, дифференциалдық топология алгебралық топологиямен тығыз байланысты. Дифференциалдық топологияның басты мақсаты — диффеоморфизмге дейін барлық тегіс көптүрліліктерді жіктеу. Өлшем диффеоморфизмге дейінгі тегіс көптүрліліктердің инварианты болғандықтан, бұл жіктеу әдетте әрбір өлшемдегі (байланысты) көптүрліліктерді жеке жіктеу арқылы жүзеге асырылады: 1-өлшемде диффеоморфизмге дейін жалғыз тегіс көптүрлілік — шеңбер, нақты сандар түзуі және шекараға рұқсат етілген жағдайда, жартылай жабық және толық жабық аралықтар. 2-өлшемде әрбір жабық бет оның туысына, тесіктер санына (немесе эквивалентті түрде Эйлер сипаттамасына) және бағытталған немесе бағытталмаған болуына қарай диффеоморфизмге дейін жіктеледі. Бұл жабық беттердің белгілі жіктелуі. Екінші өлшемдегі компакт емес беттерді жіктеу қиынға соғады, себебі Якобтың баспалдағы сияқты экзотикалық кеңістіктер бар. 3-өлшемде Уильям Терстонның Григорий Перельман дәлелдеген геометриялық гипотезасы компактты үш көптүрліліктердің ішінара жіктелуін береді. Бұл теоремаға Пуанкаре гипотезасы кіреді, ол кез келген жабық, жай ғана байланысқан үш көптүрлілік 3 сфераға гомеоморфты (және іс жүзінде диффеоморфты) дейді. 4-өлшемнен бастап жіктеу екі себепке байланысты әлдеқайда қиынға соғады. Біріншіден, әрбір шекті ұсынылған топ кейбір 4 көптүрліліктің негізгі тобы ретінде пайда болады, ал негізгі топ диффеоморфизм инварианты болғандықтан, бұл 4 көптүрлілікті жіктеуді кем дегенде шекті ұсынылған топтарды жіктеу сияқты қиын етеді. Топтар үшін сөз мәселесі, тоқтату мәселесіне тең болғандықтан, мұндай топтарды жіктеу мүмкін емес, сондықтан толық топологиялық жіктеу мүмкін емес. Екіншіден, төртінші өлшемнен бастап гомеоморфты, бірақ ерекше, диффеоморфты емес тегіс құрылымдары бар тегіс көптүрліліктер болуы мүмкін. Бұл тіпті көптеген экзотикалық құрылымдарды қабылдайтын Евклид кеңістігі үшін де дұрыс. Бұл 4-ші және одан жоғары өлшемдегі дифференциалдық топологияны зерттеуде топологиялық көптүрліліктердің стандартты үздіксіз топологиясының шегінен тыс құралдарды пайдалану қажеттігін білдіреді. Дифференциалдық топологиядағы басты ашық мәселелердің бірі — төрт өлшемді тегіс Пуанкаре гипотезасы, ол 4 сфераға гомеоморфты әрбір тегіс 4 көптүрліліктің сонымен қатар оған диффеоморфты екенін сұрайды. Яғни, 4 сфера тек бір ғана тегіс құрылымды қабылдай ма? Бұл гипотеза жоғарыда көрсетілген жіктеу нәтижелеріне сәйкес 1, 2 және 3 өлшемдерде дұрыс, бірақ Милнор сфераларының арқасында 7 өлшемде жалған екені белгілі. Тегіс көптүрліліктердің дифференциалдық топологиясын зерттеудегі маңызды құралдарға осындай көптүрліліктердің тегіс топологиялық инварианттарын құру, мысалы, де Рам когомологиясы немесе қиылысу формасы, сондай-ақ тегістеуге болатын топологиялық құрылымдар, мысалы, тегіс хирургия теориясы немесе кобордизмдер құрылысы кіреді. Морзе теориясы — көптүрліліктің тегіс құрылымы қол жетімді құралдар жиынтығына қалай кіретінін көрсете отырып, көптүрліліктің дифференциалдық функцияларының сындық нүктелерін қарастыру арқылы көптүрлілікті зерттейтін маңызды құрал. Көбінесе геометриялық немесе аналитикалық әдістерді көбірек қолдануға болады, тегіс көптүрлілікті Риман метрикасымен жабдықтауға немесе оның үстінде дифференциалдық теңдеуді зерттеуге болады. Нәтижесінде алынған ақпараттың қосымша құрылымды таңдауға сезімтал еместігін қамтамасыз ету үшін сақтану керек, сондықтан ол түпкілікті тегіс көптүрліліктің топологиялық қасиеттерін ғана шынайы түрде көрсетеді. Мысалы, Ходж теоремасы де Рам когомологиясының геометриялық және аналитикалық интерпретациясын береді, ал Саймон Дональдсон гаудж теориясын жай байланысқан 4 көптүрліліктің қиылысу формасы туралы фактілерді дәлелдеу үшін қолданды. Кейбір жағдайларда қазіргі физикадан алынған әдістер пайда болуы мүмкін, мысалы, топологиялық кванттық өріс теориясы, оны тегіс кеңістіктердің топологиялық инварианттарын есептеу үшін қолдануға болады. Дифференциалдық топологиядағы белгілі теоремаларға Уитни ендіру теоремасы, шашты шар теоремасы, Хопф теоремасы, Пуанкаре-Хопф теоремасы, Дональдсон теоремасы және Пуанкаре гипотезасы жатады.
In mathematics, differential topology is the field dealing with the topological properties and smooth properties of smooth manifolds. In this sense differential topology is distinct from the closely related field of differential geometry, which concerns the geometric properties of smooth manifolds, including notions of size, distance, and rigid shape. By comparison differential topology is concerned with coarser properties, such as the number of holes in a manifold, its homotopy type, or the structure of its diffeomorphism group. Because many of these coarser properties may be captured algebraically, differential topology has strong links to algebraic topology. The central goal of the field of differential topology is the classification of all smooth manifolds up to diffeomorphism. Since dimension is an invariant of smooth manifolds up to diffeomorphism type, this classification is often studied by classifying the (connected) manifolds in each dimension separately:
In dimension 1, the only smooth manifolds up to diffeomorphism are the circle, the real number line, and allowing a boundary, the half closed interval and fully closed interval In dimension 2, every closed surface is classified up to diffeomorphism by its genus, the number of holes (or equivalently its Euler characteristic), and whether or not it is orientable. This is the famous classification of closed surfaces. Already in dimension two the classification of non compact surfaces becomes difficult, due to the existence of exotic spaces such as Jacob's ladder. In dimension 3, William Thurston's geometrization conjecture, proven by Grigori Perelman, gives a partial classification of compact three manifolds. Included in this theorem is the Poincaré conjecture, which states that any closed, simply connected three manifold is homeomorphic (and in fact diffeomorphic) to the 3 sphere. Beginning in dimension 4, the classification becomes much more difficult for two reasons. Firstly, every finitely presented group appears as the fundamental group of some 4 manifold, and since the fundamental group is a diffeomorphism invariant, this makes the classification of 4 manifolds at least as difficult as the classification of finitely presented groups. By the word problem for groups, which is equivalent to the halting problem, it is impossible to classify such groups, so a full topological classification is impossible. Secondly, beginning in dimension four it is possible to have smooth manifolds that are homeomorphic, but with distinct, non diffeomorphic smooth structures. This is true even for the Euclidean space , which admits many exotic structures. This means that the study of differential topology in dimensions 4 and higher must use tools genuinely outside the realm of the regular continuous topology of topological manifolds. One of the central open problems in differential topology is the four dimensional smooth Poincaré conjecture, which asks if every smooth 4 manifold that is homeomorphic to the 4 sphere, is also diffeomorphic to it. That is, does the 4 sphere admit only one smooth structure? This conjecture is true in dimensions 1, 2, and 3, by the above classification results, but is known to be false in dimension 7 due to the Milnor spheres. Important tools in studying the differential topology of smooth manifolds include the construction of smooth topological invariants of such manifolds, such as de Rham cohomology or the intersection form, as well as smoothable topological constructions, such as smooth surgery theory or the construction of cobordisms. Morse theory is an important tool which studies smooth manifolds by considering the critical points of differentiable functions on the manifold, demonstrating how the smooth structure of the manifold enters into the set of tools available. Oftentimes more geometric or analytical techniques may be used, by equipping a smooth manifold with a Riemannian metric or by studying a differential equation on it. Care must be taken to ensure that the resulting information is insensitive to this choice of extra structure, and so genuinely reflects only the topological properties of the underlying smooth manifold. For example, the Hodge theorem provides a geometric and analytical interpretation of the de Rham cohomology, and gauge theory was used by Simon Donaldson to prove facts about the intersection form of simply connected 4 manifolds. In some cases techniques from contemporary physics may appear, such as topological quantum field theory, which can be used to compute topological invariants of smooth spaces. Famous theorems in differential topology include the Whitney embedding theorem, the hairy ball theorem, the Hopf theorem, the Poincaré–Hopf theorem, Donaldson's theorem, and the Poincaré conjecture.
Сипаттама
Дифференциалдық топологияда тек тегіс құрылымды анықтауға болатын қасиеттер мен құрылымдар қарастырылады. Тегіс көптіктер, қосымша геометриялық құрылымдары бар көптіктерге қарағанда "жұмсақ", олар дифференциалдық топологиядағы белгілі бір эквиваленттер мен деформацияларға кедергі жасай алады. Мысалы, көлем және Риман қисықтығы – бір тегіс көптіктерде әртүрлі геометриялық құрылымдарды ажырата алатын инварианттар. Яғни, кейбір көптіктерді тегіс "жазылуы" мүмкін, бірақ бұл кеңістікті бұрмалауды және қисықтыққа немесе көлемге әсер етуді қажет етеді. Екінші жағынан, тегіс көптіктер топологиялық көптіктерге қарағанда берік. Джон Милнор кейбір сфералардың бірнеше тегіс құрылымы бар екенін ашты. Мишель Керваир мүлдем тегіс құрылымы жоқ топологиялық көптіктерді көрсетті. Тегіс көптік теориясының кейбір құралымдарын, мысалы, жанама бундельдің болуын, топологиялық жағдайда көп еңбекпен жасауға болады, ал кейбіреулерін жасау мүмкін емес. Дифференциалдық топологияның негізгі тақырыптарының бірі – көптіктер арасындағы, атап айтқанда, енулер мен шығулар, сондай-ақ, көлденеңдік арқылы субкөптіктердің қиылысуларын зерттеу. Жалпы алғанда, диффеоморфизмдер арқылы сақталатын тегіс көптіктердің қасиеттері мен инварианттары қызығушылық тудырады, диффеоморфизмдер – тегіс бейнелеудің тағы бір ерекше түрі. Морс теориясы – дифференциалдық топологияның тағы бір саласы, онда функцияның Якобиандық рангінің өзгеруінен көптік туралы топологиялық ақпарат шығарылады. Дифференциалдық топология тақырыптарының тізімін келесі сілтемеден қараңыз: Дифференциалдық геометрия тақырыптарының тізімі.