Топология: Геометриялық нысандардың деформацияға төзімді қасиеттері

Топология – математиканың геометриялық нысандардың үздіріссіз өзгерістерде сақталатын қасиеттерін зерттейтін саласы. Кеңістіктер, топологиялық қасиеттер туралы біліңіз.

12 мин оқу

100%

Дереккөз: Topology — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Математиканың саласы

Топология (грек сөздері [[wikt:τόπος, және λόγος) – геометриялық нысанның үздіксіз деформациялар кезінде сақталатын қасиеттерін зерттейтін математика бөлімі, мысалы, созу, бұралау, жиыру және иілу; яғни, тесіктерді жаппай, ашпай, жыртып, бірістірмей немесе өзінен өтусіз. Топологиялық кеңістік – топология деп аталатын құрылыммен жабдықталған жиынтық, ол субкеңістіктердің үздіксіз деформациясын және жалпы алғанда, үздіксіздіктің барлық түрлерін анықтауға мүмкіндік береді. Евклидтік кеңістік және, жалпы алғанда, метрикалық кеңістік – топологиялық кеңістіктердің мысалдары, себебі кез келген қашықтық немесе метрика топологияны анықтайды. Топологияда қарастырылатын деформациялар гомеоморфизмдер мен гомотопиялар болып табылады. Мұндай деформациялар кезінде өзгермейтін қасиет топологиялық қасиет болып табылады. Топологиялық қасиеттердің негізгі мысалдары: түзу мен бетті ажыратуға мүмкіндік беретін өлшем; түзу мен шеңберді ажыратуға мүмкіндік беретін тығыздық; шеңберді қиылыспайтын екі шеңберден ажыратуға мүмкіндік беретін байланыстылық. Топологияның негізінде жатқан идеялар Готфрид Вильгельм Лейбницке дейін, 17 ғасырда геометрия situs және анализ situs көзқарасын ұсынғанға дейін жетеді. Леонхард Эйлердің Кенигсбергтің жеті көпірі мәселесі және полиэдр формуласы – бұл саланың алғашқы теоремалары болып саналады. Топология терминін 19 ғасырда Иоганн Бенедикт Листинг енгізді; бірақ топологиялық кеңістік идеясы 20 ғасырдың алғашқы онжылдықтарында ғана дамыды.

Мотивация

Топологияның түйсігі – кейбір геометриялық мәселелер объектілердің нақты пішініне емес, олардың қалай құрастырылғанына байланысты. Мысалы, квадрат пен шеңбер көптеген ортақ қасиеттерге ие: екеуі де бір өлшемді объектілер (топологиялық тұрғыдан) және екеуі де жазықтықты екі бөлікке – ішкі және сыртқы бөліктерге – бөледі. Топологиядағы алғашқы жұмыстардың бірінде Леонард Эйлер Кенигсберг (қазіргі Калининград) қаласының жеті көпірінен әрқайсысы арқылы дәл бір рет өтетін маршрут табу мүмкін емес екенін көрсетті. Бұл нәтиже көпірлердің ұзындығына немесе бір-бірінен қашықтығына емес, тек байланыс қасиеттеріне – қай көпірлер қай аралдарға немесе өзен жағалауларына қосылғанына – байланысты болды. Кенигсбергтің жеті көпірі мәселесі математиканың графтар теориясы деп аталатын саласына әкелді. Сол сияқты, алгебралық топологияның «түкті шар» теоремасы былай дейді: «Түкті шардың шашын оның бетінде түймедей нүктесіз жайып таратуға болмайды». Бұл факт көптеген адамдарға бірден түсінікті, тіпті олар теореманың формалды тұжырымын – сферада жоғалып кетпейтін үздіксіз жанама векторлық өріс жоқ екенін – білмесе де. Кенигсберг көпірлері сияқты, нәтиже сфераның пішініне байланысты емес; ол тесігі жоқ кез келген тегіс денеге қатысты. Объектілердің нақты пішініне сүйенбейтін осындай мәселелерді шешу үшін, осы мәселелердің қандай қасиеттерге сүйенетінін анық білу керек. Осы қажеттіліктен гомеоморфизм түсінігі туындайды. Әрбір көпірден бір рет қана өтудің мүмкін еместігі Кенигсбергтегі көпірлерге гомеоморфты кез келген көпірлер орналасуына қатысты, ал «түкті шар» теоремасы сфераға гомеоморфты кез келген кеңістікке қатысты. Интуитивті түрде, егер екі кеңістікті кесіп немесе біріктірмей деформациялауға болатын болса, онда олар гомеоморфты болып табылады. Әдеттегі әзіл – тополог кофе кесесі мен құрақты ажырата алмайды, өйткені жеткілікті иілгіш құрақты шұңқыр жасап, оны біртіндеп үлкейтіп, тесікті тұтқаға дейін кішірейте отырып, кофе кесесіне айналдыруға болады. Гомеоморфизмді ең негізгі топологиялық теңдестік деп санауға болады. Тағы бірі – гомотопиялық теңдестік. Бұл техникалық сипаттамасыз түсіндіру қиын, бірақ негізгі идея – егер екі объекті де үлкен объектіні «қисайтудан» пайда болса, олар гомотопиялық эквивалентті болып табылады.

The motivating insight behind topology is that some geometric problems depend not on the exact shape of the objects involved, but rather on the way they are put together. For example, the square and the circle have many properties in common: they are both one dimensional objects (from a topological point of view) and both separate the plane into two parts, the part inside and the part outside. In one of the first papers in topology, Leonhard Euler demonstrated that it was impossible to find a route through the town of Königsberg (now Kaliningrad) that would cross each of its seven bridges exactly once. This result did not depend on the lengths of the bridges or on their distance from one another, but only on connectivity properties: which bridges connect to which islands or riverbanks. This Seven Bridges of Königsberg problem led to the branch of mathematics known as graph theory. Similarly, the hairy ball theorem of algebraic topology says that "one cannot comb the hair flat on a hairy ball without creating a cowlick." This fact is immediately convincing to most people, even though they might not recognize the more formal statement of the theorem, that there is no nonvanishing continuous tangent vector field on the sphere. As with the Bridges of Königsberg, the result does not depend on the shape of the sphere; it applies to any kind of smooth blob, as long as it has no holes. To deal with these problems that do not rely on the exact shape of the objects, one must be clear about just what properties these problems do rely on. From this need arises the notion of homeomorphism. The impossibility of crossing each bridge just once applies to any arrangement of bridges homeomorphic to those in Königsberg, and the hairy ball theorem applies to any space homeomorphic to a sphere. Intuitively, two spaces are homeomorphic if one can be deformed into the other without cutting or gluing. A traditional joke is that a topologist cannot distinguish a coffee mug from a doughnut, since a sufficiently pliable doughnut could be reshaped to a coffee cup by creating a dimple and progressively enlarging it, while shrinking the hole into a handle. Homeomorphism can be considered the most basic topological equivalence. Another is homotopy equivalence. This is harder to describe without getting technical, but the essential notion is that two objects are homotopy equivalent if they both result from "squishing" some larger object.

Тарих

Топология, жақсы анықталған математикалық пән ретінде, 20-шы ғасырдың басында пайда болды, бірақ кейбір жекелеген нәтижелерді бірнеше ғасырлар бұрын да кездестіруге болады. Олардың ішінде Леонард Эйлер зерттеген геометриялық мәселелер бар. Оның 1736 жылғы «Кенигсбергтің жеті көпірі» туралы еңбегі топологияның алғашқы практикалық қолданыстарының бірі саналады. Августин Луи Коши, Людвиг Шлефли, Иоганн Бенедикт Листинг, Бернхард Риман және Энрико Бетти де үлес қосты. Листинг 1847 жылы, өзінің туған тілі неміс тілінде жазылған «Vorstudien zur Topologie» еңбегінде «Топология» терминін енгізді, бұл сөзді баспаға түспей тұрып он жыл бойы хаттарда қолданған. «Топология» сөзінің ағылшын тіліндегі нұсқасы 1883 жылы «Nature» журналында Листингтің некрологында, «сапалық геометрияны» сандық қатынастар негізінде қарастырылатын қалыпты геометриядан ажырату үшін қолданылды. Олардың жұмысын Генри Пуанкаре түзетіп, жинақтап, кеңейтті. 1895 жылы ол «Analysis Situs» атты маңызды еңбегін жариялады, онда қазір алгебралық топологияның бөлігі саналатын гомотопия және гомология ұғымдары енгізілді. Метрикалық кеңістік қазір жалпы топологиялық кеңістіктің ерекше жағдайы болып есептеледі, ал кез келген топологиялық кеңістік көптеген түрлі метрикалық кеңістіктерге әкелуі мүмкін. 1914 жылы Феликс Хаусдорф «топологиялық кеңістік» терминін енгізіп, қазір Хаусдорф кеңістігі деп аталатын кеңістіктің анықтамасын берді. Қазіргі топологиялық кеңістік – 1922 жылы Казимеж Куратовский ұсынған Хаусдорф кеңістігінің шағын жалпыламасы. Қазіргі заманғы топология 19-шы ғасырдың соңында Георг Кантор дамытқан жиын теориясының идеяларына күшті байланысты. Жинақ теориясының негізгі идеяларын қалыптастырудан басқа, Кантор Фурье қатарларын зерттеудің бір бөлігі ретінде Евклид кеңістігіндегі нүктелік жиындарды қарастырды. Одан әрі даму үшін нүктелік жиын топологиясы мен алгебралық топологияға қараңыз. 2022 жылғы Абель сыйлығы Денис Салливанға «топологияға ең кең мағынада, әсіресе оның алгебралық, геометриялық және динамикалық аспектілеріне жасаған маңызды үлесі үшін» берілді.

Topology, as a well defined mathematical discipline, originates in the early part of the twentieth century, but some isolated results can be traced back several centuries. Among these are certain questions in geometry investigated by Leonhard Euler. His 1736 paper on the Seven Bridges of Königsberg is regarded as one of the first practical applications of topology. Further contributions were made by Augustin Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann and Enrico Betti. Listing introduced the term "Topologie" in Vorstudien zur Topologie, written in his native German, in 1847, having used the word for ten years in correspondence before its first appearance in print. The English form "topology" was used in 1883 in Listing's obituary in the journal Nature to distinguish "qualitative geometry from the ordinary geometry in which quantitative relations chiefly are treated". Their work was corrected, consolidated and greatly extended by Henri Poincaré. In 1895, he published his ground breaking paper on Analysis Situs, which introduced the concepts now known as homotopy and homology, which are now considered part of algebraic topology. A metric space is now considered a special case of a general topological space, with any given topological space potentially giving rise to many distinct metric spaces. In 1914, Felix Hausdorff coined the term "topological space" and gave the definition for what is now called a Hausdorff space. Currently, a topological space is a slight generalization of Hausdorff spaces, given in 1922 by Kazimierz Kuratowski. Modern topology depends strongly on the ideas of set theory, developed by Georg Cantor in the later part of the 19th century. In addition to establishing the basic ideas of set theory, Cantor considered point sets in Euclidean space as part of his study of Fourier series. For further developments, see point set topology and algebraic topology. The 2022 Abel Prize was awarded to Dennis Sullivan "for his groundbreaking contributions to topology in its broadest sense, and in particular its algebraic, geometric and dynamical aspects".

Жинақтардағы топологиялар

Топология термині математиканың топология деп аталатын саласының негізгі математикалық идеясына да қатысты. Бұл ресми емес тұрғыдан, топология жиынның элементтерінің бір-бірімен кеңістіктегі байланысын сипаттайды. Бір жиынның әртүрлі топологиялары болуы мүмкін. Мысалы, нақты сан түзуі, комплекс жазықтығы және Кантор жиыны әртүрлі топологиялармен бір жиын ретінде қарастырылуы мүмкін. Формальды түрде, X жиыны болсын және τ – X жиынының ішкі жиындарының жиыны болсын. Онда τ жиыны X жиынындағы топология деп аталады, егер: бос жиын және X жиыны τ жиынының элементтері болса; τ жиынының кез келген біріктірілісі τ жиынының элементі болса; τ жиынының шекті санының кез келген қиылысы τ жиынының элементі болса. Егер τ жиыны X жиынындағы топология болса, онда (X, τ) жұбы топологиялық кеңістік деп аталады. Xτ белгісі X жиынының нақты τ топологиясымен жабдықталғандығын көрсету үшін қолданылуы мүмкін. Анықтама бойынша, әрбір топология – жүйе. τ жиынының мүшелері X жиынындағы ашық жиындар деп аталады. X жиынының ішкі жиыны, егер оның толықтығысы τ жиынында болса, жабық деп аталады (яғни, оның толықтығысы ашық). X жиынының ішкі жиыны ашық, жабық, екеуі де (жабық-ашық жиын) немесе екеуі де болмауы мүмкін. Бос жиын және X жиыны әрқашан жабық және ашық болады. Х нүктесін қамтитын X жиынының ашық ішкі жиыны x нүктесінің маңы деп аталады.

Тұрақты функциялар және гомеоморфизмдер

Егер кез келген ашық жиынның кері бейнесі ашық болса, бір топологиялық кеңістіктен екіншісіне функция немесе бейнелеу үздіксіз деп аталады. Егер функция нақты сандарды нақты сандарға бейнелесе (екі кеңістік те стандартты топологиямен), онда үздіксіздіктің бұл анықтамасы есептеудегі (калькулустағы) үздіксіздіктің анықтамасына тең. Егер үздіксіз функция біржақты және белгілі бір мәнге ие болса, және функцияның керісі де үздіксіз болса, онда функция гомеоморфизм деп аталады, ал функцияның анықталу облысы мән облысына гомеоморфты деп айтылады. Басқаша айтқанда, функция топологияны табиғи түрде кеңейтеді. Егер екі кеңістік гомеоморфты болса, олардың топологиялық қасиеттері толықтай сәйкес келеді және топологиялық тұрғыдан бірдей саналады. Куб пен сфера гомеоморфты, сондай-ақ кофе кесесі мен пончик те гомеоморфты. Дегенмен, сфера донатқа гомеоморфты емес.

Манифольдер

Топологиялық кеңістіктер өте әртүрлі және ерекше болуы мүмкін, бірақ топологияның көптеген салалары көптүрліліктер деп аталатын кеңістіктер класына назар аударады. Көптүрлілік – әрбір нүктесінде Евклид кеңістігіне ұқсайтын топологиялық кеңістік. Дәлірек айтқанда, n өлшемді көптүрліліктің әрбір нүктесінде n өлшемді Евклид кеңістігіне гомеоморфты болатын маңайы бар. Сызықтар мен шеңберлер, бірақ салмақтар емес, бір өлшемді көптүрліліктер болып табылады. Екі өлшемді көптүрліліктер беттер деп те аталады, бірақ барлық беттер көптүрлілік емес. Мысалдарға жазықтық, сфера және тор жатады, олардың бәрі үш өлшемде өзімен-өзі қиылыспай жасалуы мүмкін, ал Клейн бөтелкесі мен нақты проекциялық жазықтық олай емес (яғни олардың барлық жасалулары көптүрлілік емес беттер болып табылады).

Жалпы топология

Жалпы топология – топологияның негізгі жиындық-теориялық анықтамалар мен құрылымдарды қолданатын саласы. Ол дифференциалдық топология, геометриялық топология және алгебралық топология сияқты көптеген басқа топологиялық салалардың негізі болып табылады. Жалпы топологияның тағы бір атауы – нүктелік жиын топологиясы. Зерттеудің негізгі нысаны – топологиялық кеңістіктер, яғни топологиямен жабдықталған жиындар, атап айтқанда, ашық жиындар деп аталатын кіші жиындардың жиыны, олар шекті қиылыстар және (шекті немесе шексіз) біріктірулер бойынша жабылады. Топологияның негізгі ұғымдары, мысалы, үздіксіздік, ықшамдық және байланыстылық, ашық жиындар арқылы анықталуы мүмкін. Интуитивті түрде, үздіксіз функциялар жақын нүктелерді жақын нүктелерге бейімдейді. Ықшам жиындар – бұл шекті көптеген жиындармен жабылатын, кез келген кішкентай өлшемдегі жиындар. Байланысқан жиындар – екі алыс бөлікке бөліне алмайтын жиындар. «Жақын», «кез келгендей кішкентай» және «алыс» сөздерін ашық жиындарды пайдалану арқылы нақты анықтауға болады. Берілген кеңістікте бірнеше топологияны анықтауға болады. Топологияны өзгерту – ашық жиындар жиынын өзгертуден тұрады. Бұл қандай функциялар үздіксіз болып табылады және қандай кіші жиындар ықшам немесе байланысқан болып табылады дегенге әсер етеді. Метрикалық кеңістіктер – кез келген екі нүкте арасындағы қашықтық метрика деп аталатын функциямен анықталатын топологиялық кеңістіктердің маңызды класы. Метрикалық кеңістікте ашық жиын – бұл ашық дискілердің біріктірілуі, мұнда радиусы r және центрі x болатын ашық диск – x-ке дейінгі қашықтығы r-ден кем болатын барлық нүктелердің жиыны. Көптеген кең таралған кеңістіктер топологиялық кеңістіктер болып табылады, олардың топологиясы метрика арқылы анықталуы мүмкін. Бұл нақты түзу, кешен жазықтық, нақты және кешен векторлық кеңістіктер және Евклид кеңістіктеріне қатысты. Метриканың болуы көптеген дәлелдемелерді жеңілдетеді.

Алгебралық топология

Алгебралық топология — математиканың алгебрадан алынған құралдарды топологиялық кеңістіктерді зерттеу үшін пайдаланатын саласы. Басты мақсат — гомеоморфизмге дейін топологиялық кеңістіктерді жіктеуге мүмкіндік беретін алгебралық инварианттарды табу, бірақ көбінесе олар гомотопиялық эквиваленттілікке дейін жіктеледі. Осы инварианттардың ең маңыздылары — гомотопиялық топтар, гомология және кохомология. Алгебралық топология негізінен алгебраны топологиялық мәселелерді зерттеу үшін қолданғанымен, кейде алгебралық мәселелерді шешу үшін топологияны қолдану да мүмкін. Мысалы, алгебралық топология еркін топтың кез келген кіші тобының да еркін топ болатынын ыңғайлы түрде дәлелдеуге мүмкіндік береді.

Дифференциалдық топология

Дифференциалдық топология — дифференциалданатын көптүрліліктердегі дифференциалданатын функцияларды зерттейтін сала. Ол дифференциалдық геометриямен тығыз байланысты, және екеуі де дифференциалданатын көптүрліліктердің геометриялық теориясын құрайды. Нақтырақ айтқанда, дифференциалдық топология көптүрліліктің тек тегіс құрылымын қана анықтауға болатын қасиеттері мен құрылымдарын қарастырады. Тегіс көптүрліліктер, қосымша геометриялық құрылымдары бар көптүрліліктерге қарағанда "жұмсақ" болып табылады, олар дифференциалдық топологиядағы белгілі бір эквиваленттер мен деформацияларға кедергі жасай алады. Мысалы, көлем және Риман қисықтығы — бір тегіс көптүрлілікте әртүрлі геометриялық құрылымдарды ажырата алатын инварианттар, яғни кейбір көптүрліліктерді тегіс "жазылуы" мүмкін, бірақ мұндай жағдайда кеңістік бұрмалануы және қисықтық немесе көлемге әсер етуі қажет болуы мүмкін.

Геометриялық топология

Геометриялық топология – топологияның негізінен төмен өлшемді көптүрліліктерге (яғни 2, 3 және 4 өлшемді кеңістіктерге) және олардың геометриямен өзара әрекеттесуіне бағытталған саласы, бірақ ол кейбір жоғары өлшемді топологияны да қамтиды. Геометриялық топологиядағы тақырыптардың мысалдары – бағдарлану, тұтқаларға жіктеу, жергілікті жазықтық, қырысу және жазықтық және жоғары өлшемді Шенфлиз теоремасы. Жоғары өлшемді топологияда сипаттамалық кластар негізгі инварианттар болып табылады, ал хирургия теориясы – маңызды теория. Төмен өлшемді топология геометриялық тұрғыдан күшті, 2 өлшемдегі біркелкілік теоремасында көрсетілгендей – әрбір бет тұрақты қисықтық метрикасын қабылдайды; геометриялық жағынан, ол үш мүмкін геометрияның біріне ие: оң қисықтық/сфералық, нөлдік қисықтық/жазықтық және теріс қисықтық/гиперболалық, – және 3 өлшемдегі геометриялық болжам (қазір теорема) – әрбір 3-көптүрлілікті бөліктерге бөлуге болады, олардың әрқайсысы сегіз мүмкін геометрияның біріне ие. 2 өлшемді топологияны бір айнымалыдағы күрделі геометрия ретінде зерттеуге болады (Риманн беттері күрделі қисықтар болып табылады) – біркелкілік теоремасы бойынша метриканың әрбір конформдық класы бірегей күрделі кластың теңдес болады, ал 4 өлшемді топологияны екі айнымалыдағы күрделі геометрия тұрғысынан зерттеуге болады (күрделі беттер), бірақ әрбір 4-көптүрлілік күрделі құрылымды қабылдамайды.

Жалпылау

Кейде топологияның құралдарын қолдану қажет болады, бірақ "нүктелер жиынтығы" қолжетімді болмайды. Нүктесіз топологияда теорияның негізгі ұғымы ретінде ашық жиынтықтардың торлары қарастырылады, ал Гротендик топологиялары – кез келген санаттарда анықталатын құрылымдар болып табылады, олар сол санаттарда қаптарды анықтауға және осы арқылы жалпы кохомология теорияларын анықтауға мүмкіндік береді.

Биология

Топология молекулалар мен наноқұрылымдар (мысалы, мембраналық объектілер) сияқты әртүрлі биологиялық жүйелерді зерттеу үшін қолданылған. Атап айтқанда, схемалық топология және түйін теориясы бүктелген ақуыздар мен нуклеин қышқылдарының топологиясын жіктеу және салыстыру үшін кеңінен қолданылды. Схемалық топология бүктелген молекулалық тізбектерді олардың тізбек ішіндегі байланыстары мен тізбекті қиылысуларының жұптық орналасуы бойынша жіктейді. Топологияның бір саласы – түйін теориясы биологияда белгілі бір ферменттердің ДНК-ға тигізетін әсерін зерттеу үшін қолданылады. Бұл ферменттер ДНК-ны кесіп, бұрап, қайта қосып, түйіндік құрылымдардың пайда болуына себеп болады, оның салдарынан электрофорез баяулайды сияқты байқалатын эффекттер туындайды. Нейроғылымда Эйлер сипаттамасы және Бетти саны сияқты топологиялық шамалар нейрондық желілердегі белсенділік үлгілерінің күрделілігін өлшеу үшін пайдаланылады.

Компьютерлік ғылым

Топологиялық деректерді талдау алгебралық топологияның әдістерін қолданып, жиынның ірі масштабты құрылымын анықтайды (мысалы, нүктелер жиынының сфералық немесе тор тәрізді екенін анықтау). Топологиялық деректерді талдаудың негізгі әдісі: дерек нүктелері жиынтығын жақындық параметрімен индекстелген симплициалды кешендер отбасымен алмастыру. Содан кейін бұл топологиялық кешендерді алгебралық топология арқылы, атап айтқанда, тұрақты гомология теориясы арқылы талдау. Деректер жиынтығының тұрақты гомологиясын Бети санының параметрленген түрінде кодтау, бұл штрих-код деп аталады.

Физика

Топология физикаға конденсирленген заттар физикасы, кванттық өріс теориясы және физикалық космология сияқты салаларда маңызды. Қатты денелердің механикалық қасиеттерінің топологиялық байланысы механикалық инженерия және материалдар ғылымы салаларында қызығушылық тудырады. Материалдардағы молекулалар мен элементар бірліктердің орналасуы және желілік құрылымы электрлік және механикалық қасиеттерге әсер етеді. Қиратылған топологиялардың сығуға төзімділігі, негізінен бос кеңістік құрамындағы мұндай құрылымдардың жоғары салмаққа қатынас беріктігін түсіну мақсатымен зерттеледі. Топология контактілік механикада маңызды роль атқарады, онда беттік құрылымдардың өлшемділігіне тәуелді қаттылық пен үйкеліс көп дене физикасында қолданылуымен қызығушылық тудырады. Топологиялық кванттық өріс теориясы (немесе топологиялық өріс теориясы немесе TQFT) – топологиялық инварианттарды есептейтін кванттық өріс теориясы. TQFT физиктермен ойлап табылғанмен, математикалық тұрғыдан да қызығушылық тудырады, олар түйін теориясы, алгебралық топологиядағы төрттік көптүрліліктер теориясы және алгебралық геометриядағы модульдік кеңістіктер теориясымен байланысты. Дональдсон, Джонс, Виттен және Концевич топологиялық өріс теориясына қатысты жұмыстары үшін Филдс жүлдесін алды. Калаби-Яу көптігінің топологиялық жіктелуі жол теориясында маңызды, өйткені әртүрлі көптіктер әртүрлі жолдарды ұстай алады. Космологияда топология ғаламның жалпы пішінін сипаттау үшін қолданылады. Бұл зерттеу саласы кеңістік-уақыт топологиясы деп белгілі. Конденсирленген заттар физикасында топологиялық физикаға қатысты маңызды қолданыс – кері шашыраудан қорғалған ток алу мүмкіндігі. Ол алғаш рет электроникада белгілі кванттық Холл эффектісі арқылы ашылды, содан кейін физиканың басқа салаларында, мысалы, Ф.Д.М. Холдейн фотоникасында кеңейтілді.

Робототехника

Роботтың мүмкін болатын қалпын конфигурациялық кеңістік деп аталатын көпқырлы арқылы сипаттауға болады. Қозғалыс жоспарлау саласында конфигурациялық кеңістіктегі екі нүкте арасында жолдар іздестіріледі. Бұл жолдар роботтың буындары мен басқа да бөліктерінің қажетті күйге өтуін көрсетеді.

Ойындар мен жұмбақтар

Алып тастау жұмбақтары жұмбақтың пішіндері мен құралымдарының топологиялық ерекшеліктеріне негізделген.

Тiрiстiк өнер

Модульдік құрылыстағы бөліктердің үздіріліссіз жалғасуын жасау үшін, әрбір бөлікті айналып өтетін және әр қабырғасынан бір рет өтетін үзіліссіз жол құру қажет. Бұл процесс – Эйлер жолының қолданылуы.

Негізгі журналдар

Геометрия және топология – геометрия мен топологияға, сондай-ақ олардың қолданылуына бағытталған математикалық зерттеулер журналы, Mathematical Sciences Publishers баспасынан шығады. Топология журналы – топология, геометрия және математиканың туыс салаларындағы жоғары сапалы және маңызды мақалалар жариялайтын ғылыми журнал.

Негізгі кітаптар

Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-ші басылым). Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Прентис Холл. Уиллард, Стивен (2016). Жалпы топология. Довер математика кітаптары. Минеола, Нью-Йорк: Довер басылымдары. Армстронг, М. А. (1983). Негізгі топология. Математика бойынша бакалавриат курсы. Нью-Йорк: Спрингер Верлаг.