Кіріспе

Дифференциалданатын көптүрліліктердің изоморфизмі

Математикада, диффеоморфизм – дифференциалданатын көптүрліліктердің изоморфизмі. Ол кері өрнегі де, өзі де үздіріссіз дифференциалданатын функция, бір дифференциалданатын көптүрлілікті екіншісіне бейнелейтін.

Анықтама

Екі дифференциалданатын көпүрлілік және берілген болса, дифференциалданатын бейнелеу егер ол биекция болса және оның кері бейнелеуі де дифференциалданатын болса, диффеоморфизм деп аталады. Егер бұл функциялар *k* рет үздіріссіз дифференциалданатын болса, онда ол *k* рет үздіріссіз диффеоморфизм деп аталады. Екі көпүрлілік және диффеоморфты (әдетте деп белгіленеді), егер -тен -ға диффеоморфизм болса. Екі дифференциалданатын көпүрлілік диффеоморфты болады, егер олардың арасында *k* рет үздіріссіз дифференциалданатын биективті бейнелеу болса, сондай-ақ оның кері бейнелеуі де *k* рет үздіріссіз дифференциалданатын болса.

Түрліліктердің кіші жиынтықтарының диффеморфизмдері

Көптүрлілік пен көптүрліліктің ішкі жиындары берілген жағдайда, егер барлық үшін, -та орналасқан және тегіс функция бар болса, оның шектеуіштерi келіседi: (ескеріңіз, - бұл -ның кеңейтілуі). Егер функция өзара тең, тегіс және оның кері функциясы да тегіс болса, онда ол диффеоморфизм деп аталады.

Диффеоморфизмдер тобы

Екінші рет саналатын және Хаусдорф кеңістігі болсын. Манифольдтың диффеоморфизмдер тобы — бұл манифольдты өзіне айналдыратын барлық диффеоморфизмдердің тобы, ол арқылы немесе, контексттен түсінілген жағдайда, белгіленеді. Бұл "үлкен" топ, яғни, егер манифольд нөлдік өлшемді болмаса, ол жергілікті түрде ықшам емес.

Мысалдар

Ли тобы болған кезде, сол жақ трансляция арқылы оның өзінің диффеоморфизм тобына табиғи енгізілуі болады. Дифеоморфизм тобын деп белгілейік, онда бөлінуі болады, мұнда – топтың бірлік элементін бекітетін кіші топ. Евклид кеңістігінің диффеоморфизм тобы екі компоненттен тұрады: бағдарды сақтайтын және бағдарды өзгертетін диффеоморфизмдер. Шындығында, жалпы сызықтық топ – картасы бойынша нөлдік нүктені бекітетін диффеоморфизмдердің кіші тобының деформациялық кері тартылуы болып табылады. Сәйкесінше, жалпы сызықтық топ толық диффеоморфизм тобының да деформациялық кері тартылуы болып табылады. Шекті нүктелер жиыны үшін диффеоморфизм тобы қарапайым симметриялық топқа тең. Сол сияқты, егер кез келген көптік болса, онда топтық кеңейту бар: . Мұнда – барлық компоненттерін сақтайтын кіші топ, ал – жиынның (компоненттерінің) пермутация тобы. Сонымен қатар, картасының бейнесі – диффеоморфизм кластарын сақтайтын биекциялар құрайды.

Транзитивтілік

Қосылған көптік үшін диффеоморфизм тобы кеңейтілген кеңістікте транзитивті әрекет етеді. Жалпырақ айтқанда, диффеоморфизм тобы конфигурациялық кеңістікте транзитивті әрекет етеді. Егер өлшемділігі екіден жоғары болса, диффеоморфизм тобы конфигурациялық кеңістікте транзитивті әрекет етеді және кеңейтілген кеңістіктегі әрекеті көп рет транзитивті болады.

Дифеоморфизмдердің кеңейтулері

1926 жылы Тибор Радо бірлік шеңберінің бірлік дискіге кез келген гомеоморфизмінің немесе диффеоморфизмінің гармоникалық кеңейтілуі ашық дискіде диффеоморфизм береді ме деп сұрады. Ұзақ өтпей Хеллмут Кнезер әдемі дәлел келтірді. 1945 жылы Густав Шоке, бұл нәтижеден хабарсыз болса керек, мүлдем басқаша дәлел ұсынды. Шеңбердің диффеоморфизм тобы (бағдарды сақтайтын) жол бойынша байланысты. Бұл кез келген осындай диффеоморфизмді нақты сандардың диффеоморфизміне көтеруге болатынын ескерсе көрінеді; бұл кеңістік дөңгелек және демек, жол бойынша байланысты. Бірлікке тегіс, соңында тұрақты жол диффеоморфизмді шеңберден ашық бірлік дискіге кеңейтудің екінші, қарапайым тәсілін береді (Александр айласының ерекше жағдайы). Сонымен қатар, шеңбердің диффеоморфизм тобы ортогональды топтың гомотопиялық типіне ие. Жоғары өлшемді сфералардың диффеоморфизмдері үшін сәйкес кеңейту мәселесі 1950 және 1960 жылдары Рене Том, Джон Милнор және Стивен Смале еңбегімен кеңінен зерттелді. Мұндай кеңейтулерге кедергі келтіретін шекті абелдік топ, «бұрылған сфералар тобы» деп аталады, ол диффеоморфизмдер тобының абелдік компонент тобын, доптың диффеоморфизміне дейінгі кластардың кіші тобына қатынасы ретінде анықталады.

Байланыстылық

Көптүрліліктер үшін диффеоморфизм тобы әдетте байланыссыз болады. Оның құрамдас тобы карталау класы тобы деп аталады. 2-өлшемде (яғни, беттерде) карталау класы тобы – Дехн бұрылыстары арқылы туындаған, шекті түрде берілген топ; бұл Макс Дехн, В. Б. Р. Ликкориш және Аллен Хатчер тарапынан дәлелденді. Макс Дехн және Якоб Нильсен оны беттің негізгі тобының сыртқы автоморфизм тобымен сәйкестендіруге болатынын көрсетті. Уильям Турстон карталау класы тобының элементтерін үш түрге бөліп, осы талдауды жетілдірді: мерзімді диффеоморфизмге тең; қарапайым жабық қисықты өзгеріссіз қалдыратын диффеоморфизмге тең; және псевдо-Аносов диффеоморфизмдеріне тең. Торус жағдайында карталау класы тобы жай ғана модульдік топ болып табылады, ал жіктелу эллиптикалық, параболалық және гиперболалық матрицалар тұрғысынан классикалық болады. Турстон карталау класы тобының Тейхмюллер кеңістігінің тығыздалуында табиғи түрде әрекет ететінін байқау арқылы жіктелуін жүзеге асырды; бұл кеңейтілген кеңістік жабық шарға гомеоморфты болғандықтан, Брауэрдің бекітілген нүкте теоремасын қолдануға болады. Смел егер – бағдарланған тегіс жабық көптүрлілік болса, бағдарлауды сақтайтын диффеоморфизмдер тобының сәйкестік компоненті қарапайым деп болжады. Бұл алғаш рет Мишель Герман шеңберлердің көбейтіндісі үшін дәлелдеді; ал толық жалпылықта Турстон дәлелдеді.

Гомотопия түрлері

Диффеоморфизм тобының гомотопиялық түрі бар. Бұл Стив Смайл дәлелдеді. Торус диффеоморфизм тобының гомотопиялық түрі оның сызықтық автоморфизмдеріне тең: . Бағдарланатын, g туындамасы бар беттердің диффеоморфизм топтарының гомотопиялық түрі олардың карталық сынып топтарына тең (яғни, компоненттері жиырылатын). Иванов, Хатчер, Габай және Рубинштейннің жұмыстары арқасында 3-көптүрліліктердің диффеоморфизм топтарының гомотопиялық түрі жақсы түсінілген, бірақ әлі де шешілмеген бірнеше мәселе бар (негізінен, шекті фундаменталды тобы бар 3-көптүрліліктер). n-көптүрліліктердің диффеоморфизм топтарының гомотопиялық түрі нашар түсінілген. Мысалы, саны екіден көп болатыны әлі де ашық мәселе. Бірақ, Милнор, Кан және Антонеллидің жұмыстары бойынша, егер болса, онда ол шекті CW-кешеннің гомотопиялық түріне ие емес.

Гомеоморфизм және диффеоморфизм

Әрбір дифеоморфизм гомеоморфизм болғандықтан, егер екі көптүрлілік бір-біріне дифеоморфты болса, олар міндетті түрде бір-біріне гомеоморфты болады. Керісінше, жалпы жағдайда дұрыс емес. Гомеоморфизмдерді табу, олар дифеоморфизм емес, оңай болса да, дифеоморфизм емес гомеоморфты көптүрліліктердің жұбын табу қиынырақ. 1, 2 және 3 өлшемдерде кез келген гомеоморфты тегіс көптүрліліктер жұбы дифеоморфты болады. 4-ші немесе одан жоғары өлшемдерде гомеоморфты, бірақ дифеоморфты емес жұптардың мысалдары бар. Мұндай алғашқы мысалды Джон Милнор 7-өлшемде жасаған. Ол стандартты 7 сфераға гомеоморфты, бірақ оған дифеоморфты емес 7 өлшемді тегіс көптүрлілік (қазір Милнор сферасы деп аталады) құрастырды. Шындығында, 7 сфераға гомеоморфты көптүрліліктердің 28 бағдарланған дифеоморфизм классы бар (олардың әрқайсысы 3 сфераны талшық ретінде қолданатын 4 сфераға арналған талшықтық буынының толық кеңістігі болып табылады). 4 көптүрліліктерде одан да ерекше құбылыстар орын алады. 1980 жылдардың басында Саймон Дональдсон мен Майкл Фридманның жұмыстары экзотикалық құбылыстың табылуына әкелді: әрқайсысы гомеоморфты, бірақ жұптық дифеоморфты емес, көптеген ашық жиынтықтар табылды, сондай-ақ гомеоморфты, бірақ жұптық дифеоморфты емес, тегіс енгізілмейтін көптеген дифференциалдық көптүрліліктер де бар.