Кіріспе
Сызықтық алгебрадағы орталық ұғым; векторларды векторларға бейнелеу.
In linear algebra, linear transformations can be represented by matrices. If is a linear transformation mapping to and is a column vector with entries, then
for some matrix , called the transformation matrix of Note that has rows and columns, whereas the transformation is from to There are alternative expressions of transformation matrices involving row vectors that are preferred by some authors.
Сызықтық алгебрада сызықтық түрлендірулерді матрицалар арқылы көрсетуге болады. Егер сызықтық түрлендіру болса, ол кеңістігін кеңістігіне бейнелейді, ал - элементі бар баған вектор болса, онда
In linear algebra, linear transformations can be represented by matrices. If is a linear transformation mapping to and is a column vector with entries, then
for some matrix , called the transformation matrix of Note that has rows and columns, whereas the transformation is from to There are alternative expressions of transformation matrices involving row vectors that are preferred by some authors.
келесі теңдік орындалады:
In linear algebra, linear transformations can be represented by matrices. If is a linear transformation mapping to and is a column vector with entries, then
for some matrix , called the transformation matrix of Note that has rows and columns, whereas the transformation is from to There are alternative expressions of transformation matrices involving row vectors that are preferred by some authors.
қайсысы да матрицасы, түрлендіруінің матрицасы деп аталады. матрицасы қатар және бағаннан тұрады, ал түрлендіру кеңістігінен кеңістігіне жүзеге асырылады. Кейбір авторлар қатар векторларын қолданатын түрлендіру матрицаларының басқа да түрін ұсынады.
In linear algebra, linear transformations can be represented by matrices. If is a linear transformation mapping to and is a column vector with entries, then
for some matrix , called the transformation matrix of Note that has rows and columns, whereas the transformation is from to There are alternative expressions of transformation matrices involving row vectors that are preferred by some authors.
Қолданылуы
Матрицалар кез келген сызықтық түрлендірулерді есептеуге ыңғайлы, біркелкі форматта көрсетуге мүмкіндік береді. Бұл түрлендірулерді оңай қосуға (олардың матрицаларын көбейту арқылы) да мүмкіндік береді. Сызықтық түрлендірулер ғана матрицалармен бейнелене бермейді. n өлшемді Евклид кеңістігіндегі Rn сызықтық емес кейбір түрлендірулерді n+1 өлшемді кеңістікте Rn+1 сызықтық түрлендірулер ретінде көрсетуге болады. Оларға аффиндік түрлендірулер (мысалы, жылжу) және проекциялық түрлендірулер жатады. Осы себепті 4×4 түрлендіру матрицалары 3D компьютерлік графикада кеңінен қолданылады. Бұл n+1 өлшемді түрлендіру матрицалары қолданылуына қарай аффиндік түрлендіру матрицалары, проекциялық түрлендіру матрицалары немесе жалпы сызықтық емес түрлендіру матрицалары деп аталады. n өлшемді матрицаға қатысты, n+1 өлшемді матрицаны толықтырылған матрица деп сипаттауға болады. Физика ғылымдарында белсенді түрлендіру – жүйенің физикалық орнын өзгертетін және координаттар жүйесі болмағанда да мағынасы бар түрлендіру, ал пассивті түрлендіру – физикалық жүйенің координаттық сипаттамасының өзгеруі (негіздік өзгеріс). Белсенді және пассивті түрлендірулердің аражік айырмасы маңызды. Көбінесе математиктер түрлендіру арқылы белсенді түрлендірулерді меңзейді, ал физиктер екеуін де меңзеуі мүмкін. Басқаша айтқанда, пассивті түрлендіру – екі түрлі координаттық жүйеден қарағандағы бір нысанның сипаттамасы.
Өзіндік негіз және диагональдық матрица
Дегенмен, оператор үшін ерекше негіз бар, онда компоненттер диагональдық матрица құрайды, осылайша көбейтудің күрделілігі n-ге дейін төмендейді. Диагональдық болу дегеніміз – барлық коэффициенттер нөлге тең, тек қана диагональдық мүшелер қалдырылады. Сақталған диагональдық элементтер, өздік мәндер деп аталады және анықтамалық теңдеуде символымен белгіленеді, бұл теңдеуге дейін қысқартылады. Алынған теңдеу өздік мән теңдеуі деп аталады. Өзвекторлар мен өздік мәндер одан сипаттамалық полином арқылы шығарылады. Диагонализация арқылы өздік базаға және өздік базадан өту жиі мүмкін болады.
Екі өлшемдегі мысалдар
Көбінесе геометриялық түрлендірулердің бастапқы нүктені өзгеріссіз қалдыратындары сызықтық болып табылады, оларға бұрылу, масштабтау, иілу, көшу және ортогональды проекция жатады. Егер аффиндік түрлендіру таза аударма болмаса, ол бір нүктені өзгеріссіз қалдырады, және сол нүктені бастапқы нүкте ретінде таңдау арқылы түрлендіруді сызықтық етуге болады. Екі өлшемде сызықтық түрлендірулерді 2×2 түрлендіру матрицасы арқылы бейнелеуге болады.
Ойлану
Түзудің бағыты бойынша векторді қарастырайық. Осы түзуге қатысты сыртқа шығару үшін, мына түрлендіру матрицасын қолданыңыз:
Ортогональды проекция
Түптің бойымен өтетін түзуге векторды ортогональды түрде жобалау үшін, түзу бағытындағы векторды деп белгілейік. Содан кейін мына трансформация матрицасын қолданыңыз:
Сияқты, түптің бойымен өтетін түзуге ортогональды проекция, түптің бойымен өтпейтін түзуге қарағанда аффиндік, емес сызықтық трансформация болып табылады. Параллель проекциялар да сызықтық трансформациялар болып табылады және оларды матрица арқылы ғана көрсетуге болады. Дегенмен, перспективалық проекциялар сызықтық емес, ал оларды матрицамен көрсету үшін гомогенді координаттар қолданылады.
Ойлану
Жазықтық арқылы нүктенің бейнелеуі үшін (мұндағы жазықтық координаталар төңірегінен өтеді), мына формуланы қолдануға болады, мұнда – 3×3 өлшемді бірлік матрица, ал – жазықтықтың нормаль векторына сәйкес үш өлшемді бірлік вектор. Егер , , және векторларының L2 нормасы бірлікке тең болса, трансформация матрицасын былай өрнектеуге болады:
Бұл екі және үш өлшемдегі Хаусхолдер бейнелеуінің ерекше жағдайлары екенін ескеріңіз. Координаталар төңірегінен өтпейтін түзу немесе жазықтық арқылы бейнелеу сызықтық трансформация емес – ол аффиндік трансформация, және оны 4×4 аффиндік трансформация матрицасы арқылы былай өрнектеуге болады (нормаль бірлік вектор деп есептесек):
мұнда – жазықтықтағы бір нүкте, немесе балама түрде, .
Вектордың төртінші компоненті 1 емес, 0 болса, вектордың бағыты ғана бейнеленеді, ал оның ұзындығы өзгермейді, координаталар төңірегінен өтетін параллель жазықтықтағыдай көрінеді. Бұл пайдалы қасиет, өйткені ол бір матрица арқылы позициялық және нормаль векторларды түрлендіруге мүмкіндік береді. Толық түсіндіру үшін төмендегі гомогенді координаталар мен аффиндік трансформацияларды қараңыз.
If the 4th component of the vector is 0 instead of 1, then only the vector's direction is reflected and its magnitude remains unchanged, as if it were mirrored through a parallel plane that passes through the origin. This is a useful property as it allows the transformation of both positional vectors and normal vectors with the same matrix. See homogeneous coordinates and affine transformations below for further explanation.
Афиналық түрлендірулер
Аффиналық түрлендірулерді матрицалармен бейнелеу үшін гомогенді координаттарды қолдануға болады. Бұл 2 векторды (x, y) 3 вектор ретінде (x, y, 1) және жоғары өлшемдер үшін осылай бейнелеуді білдіреді. Бұл жүйені пайдаланып, аударманы матрицалық көбейту арқылы көрсетуге болады. Функционалдық түрі:
Барлық қалыпты сызықтық түрлендірулер аффиналық түрлендірулер жиынтығына кіреді және аффиналық түрлендірулердің қарапайымдалған түрі ретінде сипатталуы мүмкін. Сондықтан, кез келген сызықтық түрлендіруді жалпы түрлендіру матрицасымен де көрсетуге болады. Соңғысы тиісті сызықтық түрлендіру матрицасын бір қатармен және бағанмен кеңейту арқылы алынады, қосымша кеңістік нөлдермен толтырылады, оң төменгі бұрышы 1-ге тең болуын қамтамасыз ету керек. Мысалы, жоғарыдағы сағат тіліне қарсы айналу матрицасы:
Гомогенді координаттарды қамтитын түрлендіру матрицаларын пайдалану арқылы аудармалар сызықтық болады, демек оларды басқа түрлендірулермен үздіріссіз біріктіруге болады. Бұл себебі нақты жазықтық нақты проективті кеңістіктегі 1=w = 1 жазықтығына бейнеленеді, сондықтан нақты Эвклид кеңістігіндегі аударма нақты проективті кеңістіктегі иілу ретінде көрсетілуі мүмкін. Аударма – Картезиандық координаттармен сипатталған 2D немесе 3D Эвклид кеңістігіндегі сызықтық емес түрлендіру болғанымен (яғни, коммутативтілік және басқа қасиеттерді сақтай отырып, оны басқа түрлендірулермен біріктіруге болмайды), гомогенді координаттармен сипатталған 3D немесе 4D проективті кеңістікте ол қарапайым сызықтық түрлендіруге (иілуге) айналады. Екі немесе одан көп аффиналық түрлендірулерді біріктіру арқылы қосымша аффиналық түрлендірулерді алуға болады. Мысалы, вектормен аударма T', бұрыш θ-ға қарсы сағат тіліне айналу R, масштабтау S және вектормен аударма T берілген болса, T'RST нәтижесі M:
Аффиналық түрлендірулерді қолданғанда, координаттық вектордың гомогенді компоненті (әдетте w деп аталады) ешқашан өзгермейді. Сондықтан оны әрқашан 1 деп санап, оны елемеуге болады. Дегенмен, перспективалық проекцияларды қолданғанда бұл дұрыс емес.
Перспективалық жобалау
3D компьютерлік графикада маңызды трансформацияның тағы бір түрі – перспективалық проекция. Параллель проекциялар нүктелерді параллель түзулер бойымен кескін жазықтығына проекциялауға қолданылса, перспективалық проекция нүктелерді бір нүктеден – проекция орталығынан – шығатын түзулер бойымен кескін жазықтығына проекциялайды. Бұл объекті проекция орталығынан алшақтағанда кішірек, жақындағанда үлкен проекцияға ие болатынын білдіреді (кері функцияны да қараңыз). Ең қарапайым перспективалық проекция проекция орталығы ретінде координата басын, ал кескін жазықтығы ретінде жазықтықты пайдаланады. Бұл трансформацияның функционалдық түрі мынадай: ; Оны біртекті координаттар арқылы былай көрсетуге болады:
Матрицалық көбейтуді орындағаннан кейін, біртекті компонент мәніне тең болады, ал қалған үш компонент өзгеріссіз қалады. Сондықтан, нақты жазықтыққа қайта проекциялау үшін біртекті бөлуді немесе перспективалық бөлуді орындау қажет, яғни әр компонентті бөлу керек:
Күрделі перспективалық проекциялар осы проекцияны айналымдармен, масштабтаулармен, жылжулармен және қисытқыштармен біріктіре отырып, кескін жазықтығы мен проекция орталығын қажетті жерге жылжыту арқылы құрастырылуы мүмкін.