Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Комбинаторлық математикада қиылыспайтын бөліктер тақырыбы, басқа нәрселермен қатар, еркін ықтималдық теориясына қолданылуының арқасында маңыздылыққа ие болды. n элементтен тұратын жиынның қиылыспайтын бөліктерінің саны – n-ші Каталан саны. k блокқа бөлінген n элементтен тұратын жиынның қиылыспайтын бөліктерінің саны Нараяна сандары үшбұрышында табылады.
In combinatorial mathematics, the topic of noncrossing partitions has assumed some importance because of (among other things) its application to the theory of free probability. The number of noncrossing partitions of a set of n elements is the nth Catalan number. The number of noncrossing partitions of an n element set with k blocks is found in the Narayana number triangle.
Желілік құрылым
{1, , n} жиынының барлық бөліністерінің жиыны сияқты, барлық қиылыспайтын бөліністердің жиыны да, егер нақтырақ бөлініс "кіші" деп есептелсе, ішінара реттелгенде тор болып табылады. Дегенмен, ол барлық жиын бөліністерінің торының ішкі жиыны болғанымен, кіші тор емес, себебі бұл ішкі жиын үлкенірек тордағы біріктіру операциясына қатысты жабық емес. Яғни, екі қиылыспайтын бөліністен екеуіне де жуық болатын ең ұсақ бөлініс, әрқашан олардан жуық болатын ең ұсақ қиылыспайтын бөлініс бола бермейді. Жиынның барлық бөліністерінің торынан айырмашылығы, барлық қиылыспайтын бөліністердің торы өзіне-өзі дуалды, яғни ол ішінара реттілікті кері қайтарудан ("қарсы бұрудан") алынған торға рет бойынша изоморфты. Бұл әрбір қиылыспайтын бөліністің қиылыспайтын толықтыруы бар екенін байқау арқылы көрінеді. Шындығында, осы тор ішіндегі әрбір аралық өзіне-өзі дуалды болып табылады.
Like the set of all partitions of the set { 1, , n }, the set of all noncrossing partitions is a lattice when partially ordered by saying that a finer partition is "less than" a coarser partition. However, although it is a subset of the lattice of all set partitions, it is not a sublattice, because the subset is not closed under the join operation in the larger lattice. In other words, the finest partition that is coarser than both of two noncrossing partitions is not always the finest noncrossing partition that is coarser than both of them. Unlike the lattice of all partitions of the set, the lattice of all noncrossing partitions is self dual, i. e., it is order isomorphic to the lattice that results from inverting the partial order ("turning it upside down"). This can be seen by observing that each noncrossing partition has a non crossing complement. Indeed, every interval within this lattice is self dual.
Бос ықтималдық теориясындағы рөлі
Кесілмейтін бөліктердің торсы еркін ықтималдық теориясында еркін кумуляттарды анықтауда, классикалық ықтималдық теориясындағы бірлескен кумуляттарды анықтаудағы барлық бөліктердің торсы атқаратын рөлді атқарады. Нақтырақ айтқанда, (терминология үшін еркін ықтималдыққа қараңыз) коммутативті емес ықтималдық кеңістігі болсын, және еркін кумуляттары бар коммутативті емес кездейсоқ айнымалы болсын. Онда:
The lattice of noncrossing partitions plays the same role in defining free cumulants in free probability theory that is played by the lattice of all partitions in defining joint cumulants in classical probability theory. To be more precise, let be a non commutative probability space (See free probability for terminology. ), a non commutative random variable with free cumulants Then
мұндағы кесілмейтін бөлістегі ұзындығы блоктарының санын білдіреді. Яғни, коммутативті емес кездейсоқ айнымалының моменттерін кесілмейтін бөлістердің қосындысы бойынша еркін кумуляттардың қосындысы ретінде көрсетуге болады. Бұл классикалық ықтималдықтағы момент-кумулянт формуласының еркін аналогы. Сондай-ақ Вигнердің жартылай шеңбер таралуын қараңыз.
where denotes the number of blocks of length in the non crossing partition That is, the moments of a non commutative random variable can be expressed as a sum of free cumulants over the sum non crossing partitions. This is the free analogue of the moment cumulant formula in classical probability. See also Wigner semicircle distribution.