Паскал үшбұрышы және биномдық коэффициенттер

Кіріспе

Математикадағы биномдық коэффициенттердің үшбұрышты тізімі
Математикада Паскаль үшбұрышы – ықтималдықтар теориясы, комбинаторика және алгебрада маңызды рөл атқаратын биномдық коэффициенттердің үшбұрышты тізімі. Батыс әлемінің көп бөлігінде ол француз математигі Блез Паскальдың есімімен аталады, бірақ одан бұрын ғасырлар бойы Парсы, Қытай, Германия және Италияда басқа математиктер де оны зерттеген. Паскаль үшбұрышының n-ші қатарындағы k-шы мүшесі – "n-ден k таңдау" биномдық коэффициенті, жазылуы . Қатарлар жоғарғы жағынан нөмірленеді (0-шы қатар), әр қатардағы мүшелер солдан оңға қарай нөмірленеді және әдетте алдыңғы қатардағы сандарға қатысты солға қарай жылғады. Үшбұрышты былай құруға болады: жоғарғы мүше 1-ге тең, ал әр төменгі мүше – жоғарыдағы сол және оң жақтағы екі мүшенің қосындысы, бос мүшелер 0 ретінде қарастырылады. Мысалы, 1-ші қатардың (немесе кез келген басқа қатардың) бастапқы саны 1 (0 пен 1-дің қосындысы), ал 3-ші қатардағы 1 және 3 сандары 4-ші қатардағы 4 санын алу үшін қосылады.

Тарих

Паскаль үшбұрышын құрайтын сандардың үлгісі Паскаль заманына дейін-ақ белгілі болған. Парсы математигі Әл-Караджи (953–1029) биномдық коэффициенттердің алғашқы формуласын және Паскаль үшбұрышының алғашқы сипаттамасын қамтыған, қазір жоғалған кітап жазды. Кейін оны тағы бір парсы математигі Омар Хаям (1048–1131) қайталады; осылайша үшбұрышты Иранда Хаям үшбұрышы (مثلث خیام) деп те атайды. Үшбұрышқа қатысты бірнеше теоремалар, соның ішінде бином теоремасы белгілі болды. Хаям биномдық кеңеюге және, демек, биномдық коэффициенттерге негізделген n-ші дәрежелі түбірлерді табу әдісін қолданды. Паскаль үшбұрышы Қытайда 11-ші ғасырдың басында қытай математигі Цзя Сянь (1010–1070) еңбегі арқылы белгілі болды. 13-ші ғасырда Ян Хуэй (1238–1298) үшбұрышты анықтады, және ол Қытайда Ян Хуэйдің үшбұрышы (s=杨辉三角) деп аталады. Еуропада Паскаль үшбұрышы алғаш рет Джорданус де Неморенің "Арифметикасында" (13-ші ғасыр) пайда болды. Биномдық коэффициенттерді 14-ші ғасырдың басында Герсонидтер олардың көбейту формуласын қолдана отырып есептеген. Петрус Апиан (1495–1552) 1527 жылы өзінің бизнес-есептеулер туралы кітабының бетінде толық үшбұрышты жариялады. Майкл Стифель 1544 жылы үшбұрыштың бір бөлігін (әр қатардағы екінші бағанадан ортаға дейін) жариялап, оны бейнелі сандар кестесі ретінде сипаттады. Осы еңбекте Паскаль үшбұрышқа қатысты белгілі бірнеше нәтижені жинап, оларды ықтималдық теориясының мәселелерін шешу үшін қолданды. Үшбұрышқа кейін Пьер Рэймонд де Монморт (1708) Паскальдың есімімен атап, оны table de M. Pascal pour les combinaisons (француз тілінде: Паскаль мырзаның комбинациялар кестесі) деп, ал Абрахам де Мойвр (1730) Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM (латын тілінде: Паскальдың арифметикалық үшбұрышы) деп атады, бұл қазіргі заманғы батыс атауының негізі болды.

Құрастыру

Паскаль үшбұрышының екінші пайдалы қолданылуы – комбинацияларды есептеуде. Бір уақытта алынған n элементтің комбинацияларының санын, яғни n элементтен алынған кіші жиынтықтардың санын, теңдеу арқылы табуға болады.

Бұл Паскаль үшбұрышының n-шы қатарындағы k-шы жазбасына тең. Көбейту есептеуін орындаудың орнына, үшбұрышта (қосу арқылы құрылған) тиісті жазбаны қарастыруға болады. Мысалы, 7 үміткердің ішінен 3 жұмысшыны жалдау керек болса; онда жалдауға болатын мүмкін таңдаулар саны – 7-ден 3-ті таңдау, жоғарыдағы кестедегі 7-ші қатардағы 3-ші жазба, яғни 35.

Биномиалдық үлестірілім мен конвольсияларға қатынасы

Паскаль үшбұрышының n-ші қатарына бөлінгенде, симметриялық жағдайда биномдық таралымға айналады, мұнда . Орталық шек теоремасы бойынша, n өскен сайын бұл таралым қалыпты таралымға жақындайды. Бұл, комбинация формуласындағы факториалдарға Стирлинг формуласын қолдану арқылы да көрініс береді. Бұл дискретті конволюция операциясымен екі жағынан байланысты. Біріншіден, көпмүше көбейту дискретті конволюциямен толық сәйкес келеді, сондықтан тізбекті өзімен қайталап конволюциялау -тің дәрежелерін алуға, демек үшбұрыштың қатарларын құруға сәйкес келеді. Екіншіден, кездейсоқ шаманың таралымдық функциясын өзімен қайталап конволюциялау сол шаманың n тәуелсіз көшірмелерінің қосындысы үшін таралымдық функцияны есептеуге сәйкес келеді; орталық шек теоремасы осы жағдайға қолданылады, сондықтан шектеуде қалыпты таралым пайда болады. (Бір нәрсені өзімен қайталап конволюциялау операциясы конволюция күші деп аталады.)

Үлгілер мен қасиеттер

Паскаль үшбұрышының көптеген қасиеттері бар және ол сандардың көптеген заңдылықтарын қамтиды.

Жолдар

Бір жолдағы элементтердің қосындысы оған жақын тұрған жолдың қосындысының екі есесіне тең. Мысалы, 0-шы қатар (жоғарғы қатар) 1 мәніне ие, 1-ші қатар 2 мәніне ие, 2-ші қатар 4 мәніне ие, және т.б. Бұл себебі, бір қатардағы әрбір элемент келесі қатарда екі элементті тудырады: біреуі сол жаққа, біреуі оң жаққа. Қатардағы элементтердің қосындысы әр қатардағы элементтердің көбейтіндісін есептегенде, көбейтінділер тізбегі табиғи логарифмнің негізі e-мен байланысты. Атап айтқанда, барлық n үшін тізбек мынадай анықталады: Содан кейін, қатар көбейтінділерінің қатынасы және осы қатынастардың қатынасы жоғарыдағы теңдеудің оң жағындағы шек анықтамасының түрін алады. Бұл Паскаль үшбұрышында Нилакантханың шексіз қатары арқылы табылады. n-шы қатар сандық түрде жазылады , бұл кез келген сан жүйесіндегі оның бейнеленуіне қатысты. Мысалы, үшбұрыштың 6-шы қатары 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 болып табылады, ал 11-нің 6-шы дәрежесі ондық жүйеде келесідей жазылады: Паскаль үшбұрышындағы кейбір сандар Лозанич үшбұрышындағы сандармен сәйкес келеді. n-шы қатардағы элементтердің квадраттарының қосындысы 2n-шы қатардың ортаңғы элементіне тең. Мысалы, 1=1^(2) + 4^(2) + 6^(2) + 4^(2) + 1^(2) = 70. Жалпы түрде: Кез келген жұп қатарда , ортаңғы мүшеден сол жақтағы екі орынға жылған мүшені шығарғанда, Каталан саны шығады, атап айтқанда. Мысалы: 4-ші қатарда, яғни 1, 4, 6, 4, 1, 3-ші Каталан саны алынады. p-шы қатарда, мұнда p – жай сан, 1-ден басқа барлық мүшелер p-ге бөлінеді. Бұл көбейту формуласынан оңай дәлелдеуге болады. Бөлшектің таңбашасында p-ге тең жай факторлар болмағандықтан, p бүтін санды бөлгеннен кейін алыста қалады, сондықтан бүкіл жазу p-нің есесіне айналады. Екілік түрдегі 1 санының саны x болсын. Онда тақ сандардың саны 2^(x) болады. Бұл сандар Гулд тізбегінің мәндері. Кез келген 2n - 1 қатарындағы (n ≥ 0) әрбір жазу тақ болады. Полярлық: Паскаль үшбұрышының бір қатарының элементтерін кезекпен қосып, шегергенде, нәтижесі 0 болады. Мысалы, 6-шы қатар 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 болып табылады, сондықтан формула 1 – 6 + 15 – 20 + 15 – 6 + 1 = 0 болады.

The sum of the elements of a single row is twice the sum of the row preceding it. For example, row 0 (the topmost row) has a value of 1, row 1 has a value of 2, row 2 has a value of 4, and so forth. This is because every item in a row produces two items in the next row: one left and one right. The sum of the elements of row equals to Taking the product of the elements in each row, the sequence of products is related to the base of the natural logarithm, e. Specifically, define the sequence for all as follows: Then, the ratio of successive row products is and the ratio of these ratios is The right hand side of the above equation takes the form of the limit definition of can be found in Pascal's triangle by use of the Nilakantha infinite series. The th row reads as the numeral , which holds for its representation in an arbitrary base. For example, row 6 of the triangle is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, and the sixth power of 11 has base ten digits:
Some of the numbers in Pascal's triangle correlate to numbers in Lozanić's triangle. The sum of the squares of the elements of row n equals the middle element of row 2n. For example, 1=1^(2) + 4^(2) + 6^(2) + 4^(2) + 1^(2) = 70. In general form:
In any even row , the middle term minus the term two spots to the left equals a Catalan number, specifically For example: in row 4, which is 1, 4, 6, 4, 1, we get the 3rd Catalan number In a row p, where p is a prime number, all the terms in that row except the 1s are divisible by p. This can be proven easily, from the multiplicative formula Since the denominator can have no prime factors equal to p, so p remains in the numerator after integer division, making the entire entry a multiple of p.
Parity: To count odd terms in row n, convert n to binary. Let x be the number of 1s in the binary representation. Then the number of odd terms will be 2^(x). These numbers are the values in Gould's sequence. Every entry in row 2n − 1, n ≥ 0, is odd. Polarity: When the elements of a row of Pascal's triangle are alternately added and subtracted together, the result is 0. For example, row 6 is 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, so the formula is 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0.

Экспоненциалдық матрица ретінде құру

Факториалдар арқылы қарапайым құрылымының нәтижесінде Паскаль үшбұрышын матрицалық экспонента арқылы өте қарапайым түрде көрсетуге болады: Паскаль үшбұрышы – субдиагоналінде 1, 2, 3, 4 тізбегі орналасқан және қалғандары нөлге тең матрицаның экспонентасы.

Клиффорд алгебрасының қарапайымдарды қолдану арқылы жасалуы

Әр n симплекстің элементтерін белгілеу, геометриялық алгебрада формалар ретінде қолданылатын Клиффорд алгебрасының негізгі элементтерімен сәйкес келеді, матрицалармен емес. Геометриялық операцияларды, мысалы айналуларды тану, алгебралық операцияларды анықтауға мүмкіндік береді. Паскаль үшбұрышының 0-ден басталатын әр қатары n, (n-1) симплекске сәйкес келеді, төменде сипатталғандай, сонымен қатар n өлшемді геометриялық алгебрадағы аталатын негізгі формалардың санын анықтайды. Паскаль үшбұрышы арқылы берілген геометриялық қатынасты дәлелдеу үшін биномдық теорема қолданылуы мүмкін. Бұл дәлелді симплекстерге де қолдануға болады, бірақ барлық 1-дерден тұратын бірінші бағанды ескермеу керек, ал алгебрада олар 1 негізіндегі нақты сандарға сәйкес келеді.

Политоптардың геометриясына қатынасы

Паскаль үшбұрышы көпбұрыштың (мысалы, үшбұрыш, тетраэдр, төртбұрыш немесе куб) элементтерінің (қабырғалар мен бұрыштар сияқты) санын анықтау кестесі ретінде қолданылуы мүмкін.

Қарапайым элементтердің саны

Паскаль үшбұрышының үшінші қатарын қарастырайық, оның мәндері 1, 3, 3, 1. Екі өлшемді үшбұрышта бір екі өлшемді элемент (өз-өзі), үш бір өлшемді элемент (сызықтар немесе қабырғалар) және үш нөлдік өлшемді элемент (төбелер немесе бұрыштар) болады. Соңғы санның (1) мағынасын түсіндіру қиынырақ (бірақ төменде қараңыз). Мысалымызды жалғастыра отырып, тетраэдрде бір 3 өлшемді элемент (өз-өзі), төрт 2 өлшемді элемент (жақтар), алты 1 өлшемді элемент (қабырғалар) және төрт 0 өлшемді элемент (төбелер) бар. Соңғы 1 санын қосқанда, бұл мәндер үшбұрыштың 4-ші қатарына сәйкес келеді (1, 4, 6, 4, 1). 1-қатар нүктеге, ал 2-қатар сызық кесіндісіне (диада) сәйкес келеді. Бұл үлгі кез келген жоғары өлшемді гипертетраэдрлерге (жарасымды көпбұрыштар деп те атайды) жалғасады. Бұл үлгінің неліктен пайда болатынын түсіну үшін, ең алдымен (n-1) жарасымды көпбұрыштан n жарасымды көпбұрыш құру процесі жай ғана соңғысына жаңа төбе қосудан тұратынын түсіну керек, бұл жаңа төбе бастапқы жарасымды көпбұрыштың кеңістігінен тыс жерде орналастырылып, оны барлық бастапқы төбелерге қосу арқылы байланыстырылады. Мысалы, үшбұрыштан тетраэдр құру жағдайын қарастырайық, оның элементтері Паскаль үшбұрышының 3-қатарымен саналады: 1 жақ, 3 қабырға және 3 төбе. Үшбұрыштан тетраэдр құрастыру үшін үшбұрыштың жазықтығынан жоғары жаңа төбеге орналастырыңыз және осы төбені бастапқы үшбұрыштың барлық үш төбесіне қосыңыз. Тетраэдрдегі берілген өлшемді элементтің саны енді екі санның қосындысы: біріншіден, бастапқы үшбұрыштағы сол элементтің саны, екіншіден, жаңа элементтердің саны, олардың әрқайсысы бастапқы үшбұрыштан бір өлшемге кем элементтерден құралған. Осылайша, тетраэдрде ұяшықтар саны (көпбұрышты элементтер) ; жақтар саны ; қабырғалар саны ; жаңа төбелер саны . Берілген өлшемдегі элементтер санын бір өлшемге кем элементтерге қосу арқылы келесі жоғары жарасымды көпбұрыштағы сол элементтің санын алу процесі, Паскаль үшбұрышының бір қатарындағы екі іргелес санды қосу арқылы төмендегі санды алу процесіне тең. Осылайша, Паскаль үшбұрышының бір қатарындағы соңғы санның (1) мағынасы, сол қатарда көрсетілген жарасымды көпбұрышқа қосылатын жаңа төбе, келесі қатарда көрсетілген келесі жоғары жарасымды көпбұрыш алу үшін деп түсініледі. Бұл жаңа төбе бастапқы жарасымды көпбұрыштағы әрбір элементке қосылып, жаңа жарасымды көпбұрышта бір өлшем жоғары жаңа элементті құрайды, және осының нәтижесінде Паскаль үшбұрышында көрінетін үлгі пайда болады.

Let's begin by considering the 3rd line of Pascal's triangle, with values 1, 3, 3, 1. A 2 dimensional triangle has one 2 dimensional element (itself), three 1 dimensional elements (lines, or edges), and three 0 dimensional elements (vertices, or corners). The meaning of the final number (1) is more difficult to explain (but see below). Continuing with our example, a tetrahedron has one 3 dimensional element (itself), four 2 dimensional elements (faces), six 1 dimensional elements (edges), and four 0 dimensional elements (vertices). Adding the final 1 again, these values correspond to the 4th row of the triangle (1, 4, 6, 4, 1). Line 1 corresponds to a point, and Line 2 corresponds to a line segment (dyad). This pattern continues to arbitrarily high dimensioned hyper tetrahedrons (known as simplices). To understand why this pattern exists, one must first understand that the process of building an n simplex from an (n − 1) simplex consists of simply adding a new vertex to the latter, positioned such that this new vertex lies outside of the space of the original simplex, and connecting it to all original vertices. As an example, consider the case of building a tetrahedron from a triangle, the latter of whose elements are enumerated by row 3 of Pascal's triangle: 1 face, 3 edges, and 3 vertices. To build a tetrahedron from a triangle, position a new vertex above the plane of the triangle and connect this vertex to all three vertices of the original triangle. The number of a given dimensional element in the tetrahedron is now the sum of two numbers: first the number of that element found in the original triangle, plus the number of new elements, each of which is built upon elements of one fewer dimension from the original triangle. Thus, in the tetrahedron, the number of cells (polyhedral elements) is ; the number of faces is the number of edges is the number of new vertices is This process of summing the number of elements of a given dimension to those of one fewer dimension to arrive at the number of the former found in the next higher simplex is equivalent to the process of summing two adjacent numbers in a row of Pascal's triangle to yield the number below. Thus, the meaning of the final number (1) in a row of Pascal's triangle becomes understood as representing the new vertex that is to be added to the simplex represented by that row to yield the next higher simplex represented by the next row. This new vertex is joined to every element in the original simplex to yield a new element of one higher dimension in the new simplex, and this is the origin of the pattern found to be identical to that seen in Pascal's triangle.

Гиперкуб элементтерінің саны

Үшбұрыштарға қарағанда, квадраттарға қатысты ұқсас үлгі байқалады. Үлгіні табу үшін Паскаль үшбұрышының аналогын құру керек, оның мүшелері (x + 2)^(қатар нөмірі) коэффициенттері, (x + 1)^(қатар нөмірі) емес. Мұны істеудің бірнеше жолы бар. Ең қарапайымы – 0-шы қатарды 1, ал 1-ші қатарды 1, 2 деп бастау. Аналог үшбұрышты келесі ереже бойынша құрастыруды жалғастырыңыз:

Яғни, Паскаль үшбұрышының ережелеріне сәйкес сандар жұбын таңдаңыз, бірақ қосудан бұрын сол жақтағысын екі есеге көбейтіңіз. Бұл мынадай нәтиже береді:

Бұл үшбұрышты жасаудың тағы бір жолы – Паскаль үшбұрышынан бастап, әрбір мүшені 2^k-ға көбейту, мұнда k – берілген санның қатарындағы орны. Мысалы, Паскаль үшбұрышының 4-ші қатарындағы 2-ші мән 6 (әрбір қатардағы 1-дің еңісі 0-шы мүшеге сәйкес келеді). Аналог үшбұрыштағы сәйкес орындағы мәнді алу үшін 6 санын 2^(орын нөмірі) = 6 × 2^(2) = 6 × 4 = 24-ке көбейту керек. Аналог үшбұрыш құрылғаннан кейін, кез келген өлшемдегі элементтердің санын кез келген өлшемді текшеден (гиперкуб деп аталады) Паскаль үшбұрышына ұқсас түрде кестеден оқуға болады. Мысалы, 2 өлшемді текшедегі (квадраттағы) 2 өлшемді элементтердің саны 1, 1 өлшемді элементтердің саны (қабырғалар немесе түзулер) 4, ал 0 өлшемді элементтердің саны (түкпірлер) 4. Бұл кестедегі (1, 4, 4) 2-ші қатарға сәйкес келеді. Кубтың 1 кубы, 6 жағы, 12 қабырғасы және 8 түкпірі бар, бұл аналог үшбұрыштың келесі қатарына сәйкес келеді (1, 6, 12, 8). Бұл үлгі шексіз жалғасады. Бұл үлгінің неліктен пайда болатынын түсіну үшін, алдымен n кубты 1=(n − 1) кубтан құру үшін бастапқы фигураны екі рет көшіру және оны түпнұсқа фигура кеңістігіне перпендикуляр (тұрақты n куб үшін, қабырға ұзындығы) қашықтыққа жылжыту жеткілікті екенін білу керек, содан кейін жаңа фигураның әрбір түкпірін түпнұсқаның сәйкес түкпірімен қосу керек. Осы бастапқы көшіру процесі n кубтың өлшемдік элементтерін санау үшін, Паскаль үшбұрышының осы аналогының бір қатарындағы сандар жұбының біріншісін екі есеге көбейтіп, содан кейін төмендегі санды алу үшін қосу қажеттігін түсіндіреді. Бастапқы екі еселеу келесі жоғары n кубта табылатын «түпнұсқа» элементтердің санын береді және бұрынғыдай, жаңа элементтер бір өлшемге азырақ элементтерден құралады (қабырғалар түкпірлерден, жақтар қабырғалардан және т.б.). Тағы да, қатардың соңғы саны келесі жоғары n кубын құру үшін қосылатын жаңа түкпірлердің санын көрсетеді. Бұл үшбұрышта m қатарының элементтерінің қосындысы 3m-ге тең. Мысалы, 4-ші қатардың элементтерін қолдану үшін: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81, бұл тең.

The other way of producing this triangle is to start with Pascal's triangle and multiply each entry by 2k, where k is the position in the row of the given number. For example, the 2nd value in row 4 of Pascal's triangle is 6 (the slope of 1s corresponds to the zeroth entry in each row). To get the value that resides in the corresponding position in the analog triangle, multiply 6 by 1=2^(position number) = 6 × 2^(2) = 6 × 4 = 24. Now that the analog triangle has been constructed, the number of elements of any dimension that compose an arbitrarily dimensioned cube (called a hypercube) can be read from the table in a way analogous to Pascal's triangle. For example, the number of 2 dimensional elements in a 2 dimensional cube (a square) is one, the number of 1 dimensional elements (sides, or lines) is 4, and the number of 0 dimensional elements (points, or vertices) is 4. This matches the 2nd row of the table (1, 4, 4). A cube has 1 cube, 6 faces, 12 edges, and 8 vertices, which corresponds to the next line of the analog triangle (1, 6, 12, 8). This pattern continues indefinitely. To understand why this pattern exists, first recognize that the construction of an n cube from an 1=(n − 1) cube is done by simply duplicating the original figure and displacing it some distance (for a regular n cube, the edge length) orthogonal to the space of the original figure, then connecting each vertex of the new figure to its corresponding vertex of the original. This initial duplication process is the reason why, to enumerate the dimensional elements of an n cube, one must double the first of a pair of numbers in a row of this analog of Pascal's triangle before summing to yield the number below. The initial doubling thus yields the number of "original" elements to be found in the next higher n cube and, as before, new elements are built upon those of one fewer dimension (edges upon vertices, faces upon edges, etc.). Again, the last number of a row represents the number of new vertices to be added to generate the next higher n cube. In this triangle, the sum of the elements of row m is equal to 3m. Again, to use the elements of row 4 as an example: 1=1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81, which is equal to .

Күштікке дейінгі арақашықтықты есептеу

Паскаль үшбұрышының әрбір қатары n өлшемді кубтағы белгілі бір төбеден әр қашықтықтағы төбелер санын көрсетеді. Мысалы, үш өлшемде үшінші қатар (1 3 3 1) әдеттегі үш өлшемді кубқа сәйкес келеді: егер V төбесі бекітілсе, V-ден 0 қашықтықта (яғни V-нің өзі) бір төбе, 1 қашықтықта үш төбе, 2 қашықтықта үш төбе және 3 қашықтықта бір төбе (V-ге қарама-қарсы төбе) болады. Екінші қатар квадратқа сәйкес келеді, ал үлкен нөмірленген қатарлар әр өлшемдегі гиперкубқа сәйкес келеді.

Синонимнің Фурье түрлендіруі ((x) n+1/x

Жоғарыда айтылғандай, (x + 1)ⁿ коэффициенттері үшбұрыштың n-ші қатары болып табылады. (x − 1)ⁿ коэффициенттері де сол, бірақ таңбасы +1-ден -1-ге және керісінше ауысады. Тиісті нормалаудан кейін, сандардың сол үлгісі sin(x)ⁿ⁺¹/x Фурье түрлендірмесінде кездеседі. Нақтырақ айтсақ: егер n жұп болса, түрлендірудің нақты бөлігін алыңыз, ал егер n тақ болса, жолғары бөлігін алыңыз. Содан кейін нәтиже – қадамдық функция, оның мәндері (тиісті нормаланған) үшбұрыштың n-ші қатарымен кезектесіп отыратын таңбалармен беріледі. Мысалы, келесідей нәтиже шығаратын қадамдық функцияның мәндері: үшбұрыштың 4-ші қатарын құрайды, таңбалары ауысып отырады. Бұл келесі негізгі нәтиженің жалпылауы (электротехникада жиі қолданылады): – тіктөртбұрыштық функция. Үшбұрыштың сәйкес қатары – 0-шы қатар, ол тек 1-ден тұрады. Егер n 2-ге немесе 3-қа 4 модуль бойынша сәйкес келсе, онда таңбалар -1-ден басталады. Шындығында, (нормаланған) бірінші мүшелердің тізбегі i-нің дәрежелеріне сәйкес келеді, олар күрделі жазықтықта осі мен бірлік шеңбердің қиылысы бойынша айналады:

Ұзартулар

Паскаль үшбұрышын жоғары қарай, ең жоғарғы 1-ден асып, қосу қасиетін сақтай отырып, кеңейтуге болады, бірақ мұны істеудің бірнеше тәсілі бар.

Жоғары өлшемдерге

Паскаль үшбұрышының жоғары өлшемді жалпыламалары бар. Үш өлшемді нұсқасы Паскаль пирамидасы немесе Паскаль тетраэдрі деп аталады, ал жалпы нұсқалары Паскаль симплекстері деп аталады.

Комплекстік сандарға

Факториалдық функция егер былай берілсе, Паскаль үшбұрышы бүтін сандардан асып, дейін кеңейтілуі мүмкін, себебі ол күрделі жазықтықтың барлық аймағында мероморфты болып табылады.

Өз бетімен

Исаак Ньютон бір кезде Паскаль үшбұрышының алғашқы бес қатарын, оларды тізбектер ретінде қарастырғанда, он бірдің тиісті дәрежелерімен сәйкес екенін байқаған. Ол келесі қатарлар да он бірдің дәрежелерін тудырады деп, дәлелсіз мәлімдеді. 1964 жылы доктор Роберт Л. Мортон әр қатарды радикс сан ретінде оқуға болатынын көрсететін, кеңейтілген аргумент ұсынды, онда үшбұрыштың гипотетикалық соңғы қатары немесе лиміті болады, ал қатарлар оның жартылай көбейтінділері болып табылады. Ол қатардағы жазбалар, тікелей сандық орналасу ретінде қарастырылғанда, биномдық кеңеюге сәйкес келетінін дәлелдеді. Бұл интерпретацияның қағидасын жақсырақ түсіну үшін, биномдар туралы есте сақтау керек бірнеше нәрсе бар: позициялық нотациядағы радикс сан (мысалы, ) – айнымалыдағы біртекті полином, онда айнымалының дәрежесі -інші мүшесі үшін (бастап) болады. Мысалы, қатар биномдық кеңеюге сәйкес келеді. Айырмалыны кеңейту арқылы жоюға болады. Осылайша, қатардың жазбалары біріктіріліп, радикспен оқылғанда, олар сандық эквивалентті құрайды. Егер үшін , онда теорема тақ мәндер үшін теріс қатар көбейтінділерін беретін мәндерге қолданылады. Қатардың радиксін (айнымалыны) бір және онға тең етіп орнату арқылы қатар тиісінше және көбейтінділеріне тең болады. Мысал ретінде, қарастырайық, ол қатар көбейтіндісін береді. -тің сандық өрнегі қатардың жазбаларын біріктіру арқылы құралады. Он екінші қатар келесі көбейтіндіні білдіреді:

құрама цифрлармен (қолданылған нүктелермен бөлінген) радикс он екіде. -дан -ға дейінгі цифрлар құрама болып табылады, өйткені бұл қатар жазбалары он екіден үлкен немесе оған тең мәндерді есептейді. Санды нормалдау үшін, жай ғана бірінші құрама жазбаның префиксін көшіру керек, яғни, коэффициенттің префиксін сол жақтан оң жаққа дейінгі цифрдан алып тастаңыз, бірақ оны қоспағанда, және радикс он екі арифметикасын пайдаланып, алынып тасталған префиксті сол жақтағы жазбамен қосыңыз, содан кейін осы процесті сол жаққа қарай, ең сол жақ жазбаға дейін қайталаңыз. Бұл нақты мысалда, нормаланған тізбек үшін аяқталады. Ең сол жақ цифр , ол -дегі префиксті көшіру арқылы алынған. Осыдан нормаланған -тің ұзындығы қатар ұзындығына тең. -тің бүтін бөлігі дәл бір цифрдан тұрады, өйткені (ондық қозғалған орын саны) қатар ұзындығынан бірге кем. Төменде құрама цифрлардың нормаланған мәні келтірілген. Олар радикс онда көрсетілген радикс қалдықтары болғандықтан, мәнінде қалады: