Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Биномның дәрежелерінің алгебралық кеңеюі
Algebraic expansion of powers of a binomial
Элементарлық алгебрада бином теоремасы (немесе биномдық кеңею) биномның дәрежелерінің алгебралық кеңеюін сипаттайды. Теоремаға сәйкес, (x + y)^n полиномын ax^b y^c түріндегі мүшелерді қосқандағы қосынды ретінде жазуға болады, мұнда b және c көрсеткіштері нөл емес бүтін сандар болып, b + c = n теңдігі орындалады, ал әрбір мүшенің a коэффициенті n және b-ға байланысты нақты оң бүтін сан болады. Мысалы, n = 4 болғанда,
In elementary algebra, the binomial theorem (or binomial expansion) describes the algebraic expansion of powers of a binomial. According to the theorem, it is possible to expand the polynomial (x + y)^(n) into a sum involving terms of the form ax^(b)y^(c), where the exponents b and c are nonnegative integers with 1=b + c = n, and the coefficient a of each term is a specific positive integer depending on n and b. For example, for 1=n = 4,
ax^b y^c мүшесіндегі a коэффициенті биномдық коэффициент деп аталады немесе (екі шама да бірдей). Осы коэффициенттердің n және b өзгеруіне қарай Паскаль үшбұрышын құруға болады. Бұл сандар комбинаторикада да кездеседі, мұнда n элементті жиынтықтан таңдап алуға болатын b элементтің әртүрлі комбинацияларының (яғни, ішкі жиындардың) саны көрсетіледі. Сондықтан бұл жағдайда әдетте "n choose b" деп айтылады.
The coefficient a in the term of ax^(b)y^(c) is known as the binomial coefficient or (the two have the same value). These coefficients for varying n and b can be arranged to form Pascal's triangle. These numbers also occur in combinatorics, where gives the number of different combinations (i. e. subsets) of b elements that can be chosen from an n element set. Therefore is usually pronounced as "n choose b".
Тарих
Биномиалдық теореманың ерекше жағдайлары б.з.д. кем дегенде 4 ғасырдан бері белгілі болған, грек математигі Евклид биномиалдық теореманың ерекше жағдайын атап өткен. Грек математигі Диофант түрлі биномиалдарды, соның ішінде кубтаған, ал 10 ғасырдағы Халайуда осы әдісті түсіндіреді. Бұл ереже туралы 12 ғасырдағы Баскараның "Лиллавати" атты еңбегінде нақты айтылған. Әл-Караджи биномдық коэффициенттердің үшбұрышты үлгісін сипаттап, математикалық индукцияның ерте түрін қолдана отырып, биномиалдық теорема мен Паскаль үшбұрышының математикалық дәлелін келтірді, сондай-ақ Чу Ши Чи де осы мәселені зерттеген. Блез Паскаль өзінің "Арифметикалық үшбұрыш туралы трактатында" осы үшбұрышты жан-жақты зерттеді. Дегенмен, сандардың осы үлгісі кейінгі өрлеу дәуірінің еуропалық математиктеріне, оның ішінде Стифель, Николо Фонтана Тарталья және Саймон Стевинге де бұрыннан белгілі болған. Оны 1670 жылы Джеймс Грегори тәуелсіз түрде ашқан.
Special cases of the binomial theorem were known since at least the 4th century BC when Greek mathematician Euclid mentioned the special case of the binomial theorem for exponent Greek mathematician Diophantus cubed various binomials, including The commentator Halayudha from the 10th century AD explains this method. and a clear statement of this rule can be found in the 12th century text Lilavati by Bhaskara. Al Karaji described the triangular pattern of the binomial coefficients and also provided a mathematical proof of both the binomial theorem and Pascal's triangle, using an early form of mathematical induction. and also Chu Shih Chieh. Blaise Pascal studied the eponymous triangle comprehensively in his Traité du triangle arithmétique. However, the pattern of numbers was already known to the European mathematicians of the late Renaissance, including Stifel, Niccolò Fontana Tartaglia, and Simon Stevin. It was discovered independently in 1670 by James Gregory.
Көптік теорема
Биномиалдық теореманы екіден астам мүшелі қосындылардың дәрежелеріне кеңейтуге болады. Жалпы түрі:
The binomial theorem can be generalized to include powers of sums with more than two terms. The general version is
мұнда жиынды қосу k1-ден km-ге дейінгі теріс емес бүтін сан индекстерінің барлық тізбектері бойынша жүргізіледі, олардың қосындысы n-ге тең болады. (Көбейтіндінің әрбір мүшесі үшін көрсеткіштердің қосындысы n-ге тең болуы керек). Бұл коэффициенттер көпмүшелік коэффициенттер деп аталады және мына формула арқылы есептелуі мүмкін:
where the summation is taken over all sequences of nonnegative integer indices k1 through km such that the sum of all ki is n. (For each term in the expansion, the exponents must add up to n). The coefficients are known as multinomial coefficients, and can be computed by the formula
Комбинаторлық тұрғыдан алғанда, көпмүшелік коэффициент n элементті жиынды k1, ..., km өлшемді бөлек жиынға бөлудің қанша әртүрлі тәсіл бар екенін көрсетеді.
Combinatorially, the multinomial coefficient counts the number of different ways to partition an n element set into disjoint subsets of sizes 1=k1, , km.
Абстрактілік алгебрада
Биномиалдық теорема, егер 1=xy = yx болса, сақинада немесе тіпті жарты сақинадағы x және y екі элементі үшін де жалпы жағдайда қолданылады. Мысалы, егер бұл матрицалар өзара ауыстырылатын болса, онда ол екі n × n матрица үшін де орындалады; бұл матрицаның дәрежелерін есептеуде пайдалы. Биномиалдық теореманы полиномдық тізбек биномиалдық типте екендігі арқылы да тұжырымдауға болады.
The binomial theorem is valid more generally for two elements x and y in a ring, or even a semiring, provided that 1=xy = yx. For example, it holds for two n × n matrices, provided that those matrices commute; this is useful in computing powers of a matrix. The binomial theorem can be stated by saying that the polynomial sequence is of binomial type.
Танымал мәдениетте
Биномиалдық теорема "Пензанс пираттары" комик операсындағы генерал-майор әнінде еске алынады. Шерлок Холмс профессор Мориартиді биномиалдық теорема туралы трактат жазған деп сипаттайды. Португалиялық ақын Фернандо Пессоа, Альваро де Кампос атты гетеронимді пайдаланып, "Ньютонның биномиалы Мило Венерасы сияқты әдемі. Шындығында, оны көбінесе ешкім байқамайды" деп жазған. 2014 жылғы "Имитация ойыны" фильмінде Алан Тьюринг Блетчли Паркте командир Деннистонмен алғашқы кездесуінде Исаак Ньютонның биномиалдық теорема бойынша жұмысына сілтеме жасайды.
The binomial theorem is mentioned in the Major General's Song in the comic opera The Pirates of Penzance. Professor Moriarty is described by Sherlock Holmes as having written a treatise on the binomial theorem. The Portuguese poet Fernando Pessoa, using the heteronym Álvaro de Campos, wrote that "Newton's Binomial is as beautiful as the Venus de Milo. The truth is that few people notice it." In the 2014 film The Imitation Game, Alan Turing makes reference to Isaac Newton's work on the binomial theorem during his first meeting with Commander Denniston at Bletchley Park.