Кіріспе
Математикалық тізбек
In mathematics, the (signed and unsigned) Lah numbers are coefficients expressing rising factorials in terms of falling factorials and vice versa. They were discovered by Ivo Lah in 1954. Explicitly, the unsigned Lah numbers are given by the formula involving the binomial coefficient
for
Unsigned Lah numbers have an interesting meaning in combinatorics: they count the number of ways a set of elements can be partitioned into nonempty linearly ordered subsets. Lah numbers are related to Stirling numbers. For , the Lah number is equal to the factorial in the interpretation above, the only partition of into 1 set can have its set ordered in 6 ways: is equal to 6, because there are six partitions of into two ordered parts: is always 1 because the only way to partition into non empty subsets results in subsets of size 1, that can only be permuted in one way. In the more recent literature, Karamata–Knuth style notation has taken over. Lah numbers are now often written as
Математикада (белгіленген және белгісіз) Лах сандары – өсушы факториалдарды төмендеуші факториалдар арқылы және керісінше көрсететін коэффициенттер. Оларды 1954 жылы Иво Лах ашқан. Белгісіз Лах сандары комбинаторикада қызықты мағынаға ие: олар элементтер жиынын бос емес, сызықтық реттелген кіші жиындарға бөлудің қанша тәсіл бар екенін есептейді. Лах сандары Стерлинг сандарымен байланысты. Егер , онда Лах саны факториалға тең. Жоғарыда айтылғандай, жиынтықты 1 жиынға бөлудің жалғыз тәсілі 6 түрлі жолмен реттелуі мүмкін: 6-ға тең, себебі жиынтықты екі реттелген бөлікке бөлудің алты тәсілі бар: әрқашан 1-ге тең, себебі жиынтықты бос емес кіші жиындарға бөлудің жалғыз тәсілі 1 өлшемді кіші жиынды береді, оны тек бір тәсілмен ғана өзгертуге болады. Соңғы әдебиеттерде Карамата-Кнут стиліндегі белгілеулер кеңінен қолданылады. Лах сандары қазір көбінесе былай жазылады:
In mathematics, the (signed and unsigned) Lah numbers are coefficients expressing rising factorials in terms of falling factorials and vice versa. They were discovered by Ivo Lah in 1954. Explicitly, the unsigned Lah numbers are given by the formula involving the binomial coefficient
for
Unsigned Lah numbers have an interesting meaning in combinatorics: they count the number of ways a set of elements can be partitioned into nonempty linearly ordered subsets. Lah numbers are related to Stirling numbers. For , the Lah number is equal to the factorial in the interpretation above, the only partition of into 1 set can have its set ordered in 6 ways: is equal to 6, because there are six partitions of into two ordered parts: is always 1 because the only way to partition into non empty subsets results in subsets of size 1, that can only be permuted in one way. In the more recent literature, Karamata–Knuth style notation has taken over. Lah numbers are now often written as
Факториалдардың өсуі мен төмендеуі
Лах сандары — бұл полиномиалдардың екі түрінің бірін екіншісі арқылы өрнектеуге қолданылатын коэффициенттер. Атап айтқанда, және . Мысалы, және мұндағы 6, 6 және 1 коэффициенттері Лах сандары болып табылады, яғни .
where the coefficients 6, 6, and 1 are exactly the Lah numbers , , and .
Жеке тұлға және қарым-қатынастар
Лах сандары түрлі тепе-теңдіктер мен байланыстарды қанағаттандырады. Стирлинг сандарының Караматта-Кнут белгілеуінде, мұнда – бірінші типтегі Стирлинг сандары және – екінші типтегі Стирлинг сандары, үшін .
Қайталану қатынастары
Лах сандары рекурренттік қатынастарды қанағаттандырады, мұнда , Кронекер дельтасы және барлық үшін.
Лагуер полиномиялары
Жалпыланған Лагуэр полиномиалдары осылай қойылғанда Лах сандарымен байланысты. Бұл формула Umbral calculus конвенциясындағы стандартты Лагуэр полиномиалы болып табылады.
Іс жүзінде қолдану
Соңғы жылдары Лах сандары стеганографияда суреттерге деректерді жасыру үшін қолданылып келеді. DCT, DFT және DWT сияқты баламалармен салыстырғанда, олардың бүтін коэффициенттерін есептеудің қиындығы төмен. Лах және Лагерр трансформациялары хроматикалық дисперсияны теориялық тұрғыдан сипаттауда табиғи түрде туындайды. Лах-Лагерр оптикасында, мұндай тәсіл оңтайландыру мәселелерін едәуір жылдамдатады.