Кіріспе
Реттілік реттілігін өзгертудің математикалық түрі
In mathematics, a permutation of a set can mean one of two different things:
an arrangement of its members in a sequence or linear order, or
the act or process of changing the linear order of an ordered set. An example of the first meaning, is the six permutations (orderings) of the set {1, 2, 3}: written as tuples, they are (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), and (3, 2, 1). Anagrams of a word whose letters are all different are also permutations: the letters are already ordered in the original word, and the anagram reorders them. The study of permutations of finite sets is an important topic in combinatorics and group theory. Permutations are used in almost every branch of mathematics and in many other fields of science. In computer science, they are used for analyzing sorting algorithms; in quantum physics, for describing states of particles; and in biology, for describing RNA sequences. The number of permutations of n distinct objects is n factorial, usually written as n!, which means the product of all positive integers less than or equal to n.
According to the second meaning, a permutation of a set S is defined as a bijection from S to itself. That is, it is a function from S to S for which every element occurs exactly once as an image value. Such a function is equivalent to the rearrangement of the elements of S in which each element i is replaced by the corresponding For example, the permutation (3, 1, 2) is described by the function defined as
The collection of all permutations of a set form a group called the symmetric group of the set. The group operation is the composition of functions (performing one rearrangement after the other), which results in another function (rearrangement). The properties of permutations do not depend on the nature of the elements being permuted, only on their number, so one often considers the standard set
In elementary combinatorics, the k permutations, or partial permutations, are the ordered arrangements of k distinct elements selected from a set. When k is equal to the size of the set, these are the permutations in the previous sense.
Математикада жиынның пермутациясы екі түрлі нәрсені білдіре алады:
оның мүшелерінің тізбек немесе сызықтық ретте орналасуы, немесе реттелген жиынның сызықтық реттілігін өзгерту әрекеті немесе процесі. Бірінші мағынаның мысалы – {1, 2, 3} жиынының алты пермутациясы (реттелуі): олар (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) және (3, 2, 1) түрінде жазылады. Әрбір әрпі әртүрлі сөздің анаграммалары да пермутация болып табылады: әріптер бастапқы сөзде реттелген, ал анаграмма оларды қайта реттейді. Шектеулі жиындардың пермутациясын зерттеу комбинаторика және топтар теориясының маңызды тақырыбы болып табылады. Пермутация математиканың барлық салаларында және ғылымның көптеген басқа салаларында қолданылады. Компьютер ғылымында олар сұрыптау алгоритмдерін талдау үшін; кванттық физикада бөлшектердің күйін сипаттау үшін; ал биологияда РНК тізбектерін сипаттау үшін қолданылады. n түрлі нысанның пермутацияларының саны n факториал, әдетте n! деп жазылады, яғни n-ден кем немесе тең барлық оң бүтін сандардың көбейтіндісі.
In mathematics, a permutation of a set can mean one of two different things:
an arrangement of its members in a sequence or linear order, or
the act or process of changing the linear order of an ordered set. An example of the first meaning, is the six permutations (orderings) of the set {1, 2, 3}: written as tuples, they are (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), and (3, 2, 1). Anagrams of a word whose letters are all different are also permutations: the letters are already ordered in the original word, and the anagram reorders them. The study of permutations of finite sets is an important topic in combinatorics and group theory. Permutations are used in almost every branch of mathematics and in many other fields of science. In computer science, they are used for analyzing sorting algorithms; in quantum physics, for describing states of particles; and in biology, for describing RNA sequences. The number of permutations of n distinct objects is n factorial, usually written as n!, which means the product of all positive integers less than or equal to n.
According to the second meaning, a permutation of a set S is defined as a bijection from S to itself. That is, it is a function from S to S for which every element occurs exactly once as an image value. Such a function is equivalent to the rearrangement of the elements of S in which each element i is replaced by the corresponding For example, the permutation (3, 1, 2) is described by the function defined as
The collection of all permutations of a set form a group called the symmetric group of the set. The group operation is the composition of functions (performing one rearrangement after the other), which results in another function (rearrangement). The properties of permutations do not depend on the nature of the elements being permuted, only on their number, so one often considers the standard set
In elementary combinatorics, the k permutations, or partial permutations, are the ordered arrangements of k distinct elements selected from a set. When k is equal to the size of the set, these are the permutations in the previous sense.
Екінші мағынаға сәйкес, S жиынының пермутациясы S-тен өзіне биекция ретінде анықталады. Яғни, бұл S-тен S-ке дейінгі функция, онда әрбір элемент кескін мәні ретінде дәл бір рет кездеседі. Мұндай функция S элементтерінің қайта орналасуымен тең, онда әрбір элемент i сәйкес элементпен алмастырылады. Мысалы, (3, 1, 2) пермутациясы келесі функциямен сипатталады:
In mathematics, a permutation of a set can mean one of two different things:
an arrangement of its members in a sequence or linear order, or
the act or process of changing the linear order of an ordered set. An example of the first meaning, is the six permutations (orderings) of the set {1, 2, 3}: written as tuples, they are (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), and (3, 2, 1). Anagrams of a word whose letters are all different are also permutations: the letters are already ordered in the original word, and the anagram reorders them. The study of permutations of finite sets is an important topic in combinatorics and group theory. Permutations are used in almost every branch of mathematics and in many other fields of science. In computer science, they are used for analyzing sorting algorithms; in quantum physics, for describing states of particles; and in biology, for describing RNA sequences. The number of permutations of n distinct objects is n factorial, usually written as n!, which means the product of all positive integers less than or equal to n.
According to the second meaning, a permutation of a set S is defined as a bijection from S to itself. That is, it is a function from S to S for which every element occurs exactly once as an image value. Such a function is equivalent to the rearrangement of the elements of S in which each element i is replaced by the corresponding For example, the permutation (3, 1, 2) is described by the function defined as
The collection of all permutations of a set form a group called the symmetric group of the set. The group operation is the composition of functions (performing one rearrangement after the other), which results in another function (rearrangement). The properties of permutations do not depend on the nature of the elements being permuted, only on their number, so one often considers the standard set
In elementary combinatorics, the k permutations, or partial permutations, are the ordered arrangements of k distinct elements selected from a set. When k is equal to the size of the set, these are the permutations in the previous sense.
Жиынның барлық пермутацияларының жиынтығы жиынның симметриялық тобы деп аталатын топты құрайды. Топтық операция – функциялардың композициясы (біріншісінен кейін екіншісін орындау), нәтижесінде басқа функция (қайта орналасу) пайда болады. Пермутациялардың қасиеттері пермутацияланатын элементтердің табиғатына емес, олардың санына байланысты, сондықтан көбінесе стандартты жиын қарастырылады.
In mathematics, a permutation of a set can mean one of two different things:
an arrangement of its members in a sequence or linear order, or
the act or process of changing the linear order of an ordered set. An example of the first meaning, is the six permutations (orderings) of the set {1, 2, 3}: written as tuples, they are (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), and (3, 2, 1). Anagrams of a word whose letters are all different are also permutations: the letters are already ordered in the original word, and the anagram reorders them. The study of permutations of finite sets is an important topic in combinatorics and group theory. Permutations are used in almost every branch of mathematics and in many other fields of science. In computer science, they are used for analyzing sorting algorithms; in quantum physics, for describing states of particles; and in biology, for describing RNA sequences. The number of permutations of n distinct objects is n factorial, usually written as n!, which means the product of all positive integers less than or equal to n.
According to the second meaning, a permutation of a set S is defined as a bijection from S to itself. That is, it is a function from S to S for which every element occurs exactly once as an image value. Such a function is equivalent to the rearrangement of the elements of S in which each element i is replaced by the corresponding For example, the permutation (3, 1, 2) is described by the function defined as
The collection of all permutations of a set form a group called the symmetric group of the set. The group operation is the composition of functions (performing one rearrangement after the other), which results in another function (rearrangement). The properties of permutations do not depend on the nature of the elements being permuted, only on their number, so one often considers the standard set
In elementary combinatorics, the k permutations, or partial permutations, are the ordered arrangements of k distinct elements selected from a set. When k is equal to the size of the set, these are the permutations in the previous sense.
Элементарлық комбинаторикада k пермутация, немесе ішінара пермутация – жиыннан таңдалған k ерекше элементтердің реттелген орналасуы. k жиынның мөлшеріне тең болса, бұл алдыңғы мағынадағы пермутациялар болады.
In mathematics, a permutation of a set can mean one of two different things:
an arrangement of its members in a sequence or linear order, or
the act or process of changing the linear order of an ordered set. An example of the first meaning, is the six permutations (orderings) of the set {1, 2, 3}: written as tuples, they are (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), and (3, 2, 1). Anagrams of a word whose letters are all different are also permutations: the letters are already ordered in the original word, and the anagram reorders them. The study of permutations of finite sets is an important topic in combinatorics and group theory. Permutations are used in almost every branch of mathematics and in many other fields of science. In computer science, they are used for analyzing sorting algorithms; in quantum physics, for describing states of particles; and in biology, for describing RNA sequences. The number of permutations of n distinct objects is n factorial, usually written as n!, which means the product of all positive integers less than or equal to n.
According to the second meaning, a permutation of a set S is defined as a bijection from S to itself. That is, it is a function from S to S for which every element occurs exactly once as an image value. Such a function is equivalent to the rearrangement of the elements of S in which each element i is replaced by the corresponding For example, the permutation (3, 1, 2) is described by the function defined as
The collection of all permutations of a set form a group called the symmetric group of the set. The group operation is the composition of functions (performing one rearrangement after the other), which results in another function (rearrangement). The properties of permutations do not depend on the nature of the elements being permuted, only on their number, so one often considers the standard set
In elementary combinatorics, the k permutations, or partial permutations, are the ordered arrangements of k distinct elements selected from a set. When k is equal to the size of the set, these are the permutations in the previous sense.
Тарих
Гексаграмма деп аталатын пермутациялар Қытайда I Цзин (Пиньин: И Цзин) кітабында б.з.д. 1000 жылға дейін қолданылған. Грекияда Плутарх Халкедондық Ксенократтың (б.з.д. 396–314) грек тіліндегі мүмкін дыбыстардың санын тапқанын жазған. Бұл пермутациялар мен комбинациялар саласындағы қиын мәселені шешуге жасалған алғашқы әрекет болған деуге болады. Әл-Халил (717–786), араб математигі және шифрлеуші, «Шифрланған хабарлар кітабын» жазған. Онда пермутациялар мен комбинациялардың алғашқы қолданылуы бар, олар араб сөздерін дауыстылармен және дауыссыз сөздерін тізімдеуге мүмкіндік берген. n нысанның пермутация санын анықтау ережесі шамамен 1150 жылы Үндістан мәдениетінде белгілі болды. Үнді математигі Бхаскара II-нің «Лилавати» кітабында былай делінген: «Бірлікке арналған арифметикалық тізбектің көбейтіндісінің өнімі – нақты сандармен санның өзгеруі». 1677 жылы Фабиан Стетман қоңыраулардың алмасуындағы пермутациялар санын түсіндіргенде факторлықтарды сипаттаған. Екі қоңыраудан бастап: «Біріншіден, екеуін екі түрлі жолмен өзгертуге болады», деп көрсетіп, 1 2 және 2 1 мысалдарын келтірген. Содан кейін үш қоңырау үшін «үштен екі фигураны шығару үшін үш есе екі фигура қажет» екенін түсіндірген, оны да көрсеткен. Оның түсіндірмесінде «3-ті алып тастаса, 1.2 қалады; 2-ні алып тастаса, 1.3 қалады; 1-ді алып тастаса, 2.3 қалады» делінген. Одан кейін төрт қоңырауға көшіп, үштің төрт түрлі жиынтығы болатынын көрсететін алып тастау аргументін қайталайды. Бұл процеске рекурсивті сипаттама беріледі. Ол бес қоңыраумен «алып тастау» әдісін қолданады және нәтижесінде 120 комбинацияны кестелейді. Осы сәтте ол тоқталып, былай деп мәлімдейді: «Бұл әдістердің мәні мынада: бір санның өзгерістері кішірек сандардың барлық өзгерістерін қамтиды, сондықтан бір санның толық өзгерісі кішірек сандардың толық өзгерісінің бірігуінен тұрады». Стетман пермутацияларды қарастыруды кеңейтеді; ол алфавит әріптерінің және 20 жылқыдан тұратын тұрақтан пермутациялар санын қарастырады. Математикалық сұрақтардың көріне бермейтін бірінші жағдайы 1770 жыл шамасында болды, Джозеф Луи Лагранж полиномдық теңдеулерді зерттеу кезінде теңдеу түбірлерінің пермутацияларының қасиеттері оны шешу мүмкіндіктерімен байланысты екенін байқады. Бұл жұмыс Эварист Галуаның жұмысы арқылы Галуа теориясына әкелді, ол полиномдық теңдеулерді (бір белгісізі бар) радикалдармен шешуде мүмкін және мүмкін емес нәрселерді толық сипаттайды. Қазіргі заманғы математикада проблеманы түсіну үшін оған байланысты белгілі бір пермутацияларды зерттеуді қажет ететін көптеген ұқсас жағдайлар бар. Пермутациялар Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде нацистік Германия қолданған шифрлеу құрылғысы – Энигма машинасының криптоанализінде маңызды рөл атқарды. Атап айтқанда, пермутациялардың маңызды қасиеті – екі пермутацияның дәл бір циклдік түрі болғанда ғана конъюгацияланатыны, криптолог Мариан Реевски 1932–1933 жылдары неміс Энигма шифрын бұзу үшін қолданды.
The product of multiplication of the arithmetical series beginning and increasing by unity and continued to the number of places, will be the variations of number with specific figures. In 1677, Fabian Stedman described factorials when explaining the number of permutations of bells in change ringing. Starting from two bells: "first, two must be admitted to be varied in two ways", which he illustrates by showing 1 2 and 2 1. He then explains that with three bells there are "three times two figures to be produced out of three" which again is illustrated. His explanation involves "cast away 3, and 1.2 will remain; cast away 2, and 1.3 will remain; cast away 1, and 2.3 will remain". He then moves on to four bells and repeats the casting away argument showing that there will be four different sets of three. Effectively, this is a recursive process. He continues with five bells using the "casting away" method and tabulates the resulting 120 combinations. At this point he gives up and remarks:
Now the nature of these methods is such, that the changes on one number comprehends the changes on all lesser numbers, insomuch that a compleat Peal of changes on one number seemeth to be formed by uniting of the compleat Peals on all lesser numbers into one entire body;
Stedman widens the consideration of permutations; he goes on to consider the number of permutations of the letters of the alphabet and of horses from a stable of 20. A first case in which seemingly unrelated mathematical questions were studied with the help of permutations occurred around 1770, when Joseph Louis Lagrange, in the study of polynomial equations, observed that properties of the permutations of the roots of an equation are related to the possibilities to solve it. This line of work ultimately resulted, through the work of Évariste Galois, in Galois theory, which gives a complete description of what is possible and impossible with respect to solving polynomial equations (in one unknown) by radicals. In modern mathematics, there are many similar situations in which understanding a problem requires studying certain permutations related to it. Permutations played an important role in the cryptanalysis of the Enigma machine, a cipher device used by Nazi Germany during World War II. In particular, one important property of permutations, namely, that two permutations are conjugate exactly when they have the same cycle type, was used by cryptologist Marian Rejewski to break the German Enigma cipher in turn of years 1932 1933.
Анықтама
Математикалық мәтіндерде пермутацияларды грек әріптерінің кіші әріптерімен белгілеу қалыпты жағдай. Көбінесе, немесе қолданылады. Пермутация S жиынының өзіне биекция (кері өтетін бейнелеу, біріншілік және толық функция) ретінде анықталады: сәйкестік пермутациясы барлық элементтер үшін , және сандармен , , немесе бір 1 циклмен (x) белгіленеді. n элементі бар жиынның барлық пермутациялары жиыны симметриялық топты құрайды, мұндағы топ операциясы функциялардың қосылуы болып табылады. Осылайша, екі пермутация және топта олардың көбейтіндісі: Қосылу әдетте нүкте немесе басқа белгісіз жазылмайды. Жалпы, екі пермутацияның қосылуы коммутативті емес: жиынның өзіне биекция ретінде пермутация – жиынның қайта реттелуін орындайтын функция, ол белсенді пермутация немесе алмастыру деп аталады. Ескі көзқарас бойынша пермутация S жиынының барлық элементтерінің реттелген орналасуы немесе тізімі ретінде қарастырылады, ол пассивтік пермутация деп аталады (төменде қараңыз). Пермутация бір немесе бірнеше бірікпес циклдерге жіктеледі, олар жиын S-ке әсер ететін циклдік топтың орбиталары болып табылады. Цикл пермутацияны элементке қайта-қайта қолдану арқылы табылады: , мұнда k элементтен тұратын цикл k цикл деп аталады. (Төмендегі абзацтарды қараңыз.) Пермутацияның тұрақты нүктесі – өзіне өтетін x элементі, яғни , 1 цикл құрайды. Тұрақты нүктесі жоқ пермутация бұзылу деп аталады. Екі элементті ауыстыратын (бір 2 цикл) және қалғандарын өзгеріссіз қалдыратын пермутация транспозиция деп аталады.
As a bijection from a set to itself, a permutation is a function that performs a rearrangement of a set, termed an active permutation or substitution. An older viewpoint sees a permutation as an ordered arrangement or list of all the elements of S, called a passive permutation (see below). A permutation can be decomposed into one or more disjoint cycles which are the orbits of the cyclic group acting on the set S. A cycle is found by repeatedly applying the permutation to an element: , where we assume A cycle consisting of k elements is called a k cycle. (See below.) A fixed point of a permutation is an element x which is taken to itself, that is , forming a 1 cycle A permutation with no fixed points is called a derangement. A permutation exchanging two elements (a single 2 cycle) and leaving the others fixed is called a transposition.
Жазбалар
Пермутацияларды ыңғайлы түрде көрсету үшін бірнеше белгілер жиі қолданылады. Циклдік жазу танымал таңдау, себебі ол ықшам және пермутацияның құрылымын нақты көрсетеді. Егер басқаша көрсетілмесе, осы мақалада циклдік жазу қолданылады.
Пермутациялардың құрамы
Екі пермутацияның құрамын көрсетудің екі тәсілі бар. Көбінесе қолданылатын жазуда, функция кез келген элементті x-ке бейімдейді. Оң жақтанғы пермутация аргументке бірінші қолданылады, себебі аргумент функцияның оң жағына жазылады. Пермутацияларды көбейтудің тағы бір ережесі – аргументті функцияның сол жағына жазу, сонда сол жақтанғы пермутация бірінші әрекет етеді. Бұл жазуда пермутация көбінесе дәреже ретінде жазылады, сондықтан σ пермутациясы x-ке әсер еткенде xσ деп жазылады; содан кейін көбейтінді былай анықталады. Осы мақалада бірінші анықтама қолданылады, онда оң жақтанғы пермутация бірінші қолданылады. Функция құрамының амалы топ аксиомаларын қанағаттандырады. Ол ассоциативті, яғни , және екіден астам пермутациялардың көбейтінділері көбінесе жақшасыз жазылады. Композиция амалының да сәйкес элементі (сәйкес пермутация) және әрбір пермутацияның кері элементі (оның кері функциясы) бар, мұндағы .
because the argument is written to the right of the function. A different rule for multiplying permutations comes from writing the argument to the left of the function, so that the leftmost permutation acts first. In this notation, the permutation is often written as an exponent, so σ acting on x is written xσ; then the product is defined by This article uses the first definition, where the rightmost permutation is applied first. The function composition operation satisfies the axioms of a group. It is associative, meaning , and products of more than two permutations are usually written without parentheses. The composition operation also has an identity element (the identity permutation ), and each permutation has an inverse (its inverse function) with .
Пермутация терминінің басқа қолданыстары
Пермутация ұғымы, әсіресе ескі әдебиеттерде, пермутация деп аталатын бірнеше кеңейтімдерді қамтиды.
Қайталаулы пермутация
S жиынтығының k элементтерінің реттелген орналасуы, қайталануға рұқсат етілген жағдайда, k-тупл деп аталады. Олар кейде қайталануы бар өрнектер деп те аталады, бірақ олар дәстүрлі мағынада өрнектер емес. Оларды S әрпіне қатысты сөздер деп те атайды. Егер S жиынында n элемент болса, S жиыны бойынша k-туплдардың саны:
Формальді тіл – белгілі бір ережелерге бағынатын сөздер жиыны.
A formal language is a set of words obeying specified rules.
Қасиеттері
n түрлі нысанның пермутация саны n! болады. k байланыссыз циклдары бар n пермутацияның саны – бірінші түрдегі белгісіз Стирлинг саны деп аталады, және немесе деп белгіленеді.
Циклдің түрі
n элементі бар жиынның пермутациясының циклдары (тұрақты нүктелерін қоса алғанда) сол жиынды бөледі; сондықтан осы циклдардың ұзындықтары n-нің бүтін санды бөлінісін құрайды, ол цикл түрі (немесе кейде цикл құрылымы немесе цикл пішіні) деп аталады. Цикл түрінде әр тұрақты нүкте үшін "1", әр алмастыру үшін "2" және т.б. болады. -ның цикл түрін [1^(1)2^(2)3^(1)] түрінде де жазуға болады. Нақтырақ айтқанда, жалпы түрі – , мұнда – тиісті ұзындықтағы циклдардың саны. Белгілі бір цикл түрінің пермутацияларының саны n элементі бар жиынның цикл түрлерінің санына тең, ол бөліс функциясының мәнімен анықталады. Пойа циклдық индекс полиномы – цикл түрі бойынша пермутацияларды санайтын генерациялық функция.
This may also be written in a more compact form as [1^(1)2^(2)3^(1)]. More precisely, the general form is , where are the numbers of cycles of respective length. The number of permutations of a given cycle type is
The number of cycle types of a set with n elements equals the value of the partition function
Polya's cycle index polynomial is a generating function which counts permutations by their cycle type.
Конъюгациялық пермутация
Жалпы, циклдік жазуда жазылған пермутацияларды құрастырудың оңай сипатталатын ережесі жоқ – композицияның циклдары құрастырылып жатқан циклдардан өзгеше болуы мүмкін. Дегенмен, цикл түрі пермутацияны басқа пермутациямен конъюгациялаудың ерекше жағдайында сақталады, яғни көбейтіндіні құру арқылы. Мұнда, - бұл пермутациясының пермутациясымен конъюгаты, ал оның циклдік жазуын пермутациясының циклдік жазуын алып, оның әрбір элементіне пермутациясын қолдану арқылы алуға болады. Осыдан екі пермутацияның циклдік түрі бірдей болған жағдайда ғана олар конъюгат болатыны шығады.
Пермутация реті
Пермутацияның реті – бұл ең кіші оң бүтін сан m, осыған сәйкес ол циклдер ұзындықтарының ең кіші ортақ еселігі болады. Мысалы, пермутациясының реті 6-ға тең.
Матрицалық бейнелеу
Пермутациялық матрица – әр бағаны мен әр қатарында дәл бір 1 саны бар n × n матрица, ал қалған барлық элементтері 0-ге тең. {1, 2, …, n} жиынының пермутациясына пермутациялық матрицаны тағайындаудың бірнеше тәсілі бар. Бір табиғи тәсіл – стандартты базисті σ арқылы ауыстыратын сызықтық түрлендіруді анықтау және оның матрицасын табу. Яғни, матрицаның j-шы бағаны n × 1 өлшемді баған векторларына тең: оның (i, j) элементі i = σ(j) болса 1-ге, ал басқа жағдайда 0-ге тең болады. Сызықтық түрлендірулердің композициясы матрица көбейту арқылы сипатталғандықтан, бұл құрылым пермутациялардың композициясына сәйкес келеді: мысалы, бір қатарлы пермутациялардың көбейтіндісі болады, ал сәйкес матрицалар:
Әдебиетте кері конвенцияны кездестіру де жиі кездеседі, онда пермутация σ матрицамен байланыстырылады, оның (i, j) элементі j = σ(i) болса 1-ге, ал басқа жағдайда 0-ге тең болады. Бұл конвенцияда пермутациялық матрицалар пермутациялардан кері бағытта көбейтіледі, яғни . Осы сәйкестікте пермутациялық матрицалар стандартты қатар векторларының оң жағынан әрекет етеді: оң жақтағы Кейли кестесі 3 элементтің пермутациялары үшін осы матрицаларды көрсетеді.
The Cayley table on the right shows these matrices for permutations of 3 elements.
Толық реттелген жиынтықтардың пермутациялары
Кейбір қолданбаларда, пермутацияланатын жиынның элементтері бір-бірімен салыстырылады. Бұл S жиынының толық реттелуін қажет етеді, яғни кез келген екі элементті салыстыру мүмкін болуы керек. Әдеттегі ≤ қатынасымен берілген {1, 2, ..., n} жиыны осы қолданбаларда ең көп қолданылатын жиын болып табылады. Пермутацияның бірқатар қасиеттері S жиынының толық ретіне тікелей байланысты, пермутация біржолды нотацияда тізбек ретінде жазылғанда ескеріледі.
Көтерілу, түсу, жүгіру, асып өту, рекордтар
Пермутация σ(n)-ның көтерілісі – келесі мәні ағымдағы мәннен үлкен болатын i < n кез келген позиция. Яғни, егер i көтеріліс болса, онда . Мысалы, 3452167 пермутациясының көтерілістері (позициялар бойынша) 1, 2, 5 және 6 болады. Сол сияқты, төмендеу – i < n , яғни әр i – бұл көтеріліс немесе төмендеу. Пермутацияның өсу кезегі – екі жағынан да кеңейтілмейтін, бос емес, өсуге қарай тізбектелген кезең; ол бір-бірінен кейін келетін көтерілістердің ең үлкен тізбегіне сәйкес келеді (соңғысы бос болуы мүмкін: екі бір-бірінен кейін келетін төмендеудің арасында әлі де ұзындығы 1-ге тең өсу кезегі болады). Керісінше, пермутацияның өсу тізбегі міндетті түрде тізбектелген болуы керек емес: ол бір жолды жазудың кейбір мәндерін жою арқылы алынған өсу тізбегі. Мысалы, 2453167 пермутациясының өсу кезегі 245, 3 және 167, ал оның өсу тізбегі 2367. Егер пермутацияда k - 1 төмендеу болса, онда ол k өсу кезегінің бірі болуы керек. n санының k көтерілісі бар пермутацияларының саны (анықтама бойынша) Эйлер саны болып табылады; бұл сонымен қатар n санының k төмендеуі бар пермутацияларының саны. Кейбір авторлар Эйлер санын k өсу кезегі бар пермутациялардың саны ретінде анықтайды, бұл k - 1 төмендеуге сәйкес келеді. σ1σ2 σn пермутациясының асып кетуі – σj > j шартын қанағаттандыратын j индексі. Егер теңсіздік қатаң болмаса (яғни σj ≥ j), онда j әлсіз асып кету деп аталады. k асып кетуі бар n пермутациясының саны k төмендеуі бар n пермутациясының санымен сәйкес келеді. Пермутация σ-ның рекордтық немесе солдан оңға қарайғы максималды элементі – барлық j < i үшін σ(j) < σ(i) шартын қанағаттандыратын i элементі.
Пермутацияларды құру алгоритмдері
Есептеуде берілген мәндер тізбегінің пермутацияларын жасау қажет болуы мүмкін. Мұны істеуге ең қолайлы әдістер, қолданушы кездейсоқ таңдалған пермутацияларды немесе барлық пермутацияларды қалап, соңғы жағдайда нақты реттелуді қажет ететініне байланысты болады. Тағы бір мәселе – берілген тізбектегі элементтердің тең болу мүмкіндігі ескеріле ме? Егер солай болса, тек тізбектің әртүрлі көп жиынтық пермутацияларын ғана жасау керек. n санының пермутацияларын жасаудың қарапайым жолы – Лемер кодының мәндерін жасау (мысалы, n! дейінгі бүтін сандарды факториалдық сандық жүйеде көрсету арқылы) және оларды сәйкес пермутацияларға түрлендіру. Алайда, соңғы қадам, қарапайым болғанымен, тиімді жүзеге асыру қиын, себебі ол кездейсоқ орында тізбектен элемент таңдау және жою операцияларын n рет қажет етеді. Тізбекті массив немесе байланысты тізім түрінде көрсеткеннің екеуі де (әр түрлі себептермен) түрлендіруді орындау үшін шамамен n²/4 операция қажет етеді. n саны салыстырмалы түрде кішкентай болса (әсіресе барлық пермутацияларды жасау қажет болғанда), бұл үлкен мәселе емес, бірақ кездейсоқ және жүйелі түрде жасау үшін одан жақсы нәтиже беретін қарапайым баламалар бар екені анықталды. Осы себепті, Лемер кодынан пермутацияға O(n log n) уақытында түрлендіруді жүзеге асыруға мүмкіндік беретін арнайы дерек құрылымын қолдану пайдалы көрінбейді, бірақ мұндай мүмкіндік бар.
Қолданбалар
Пермутациялар қателерді анықтау және түзету алгоритмдерінің аралықтап қосу компонентінде қолданылады, мысалы, турбо кодтарда. 3GPP Long Term Evolution ұялы телекоммуникация стандарты да осы идеяларды пайдаланады (3GPP техникалық ерекшелігі 36.212-ге қараңыз). Мұндай қолданыстар белгілі бір қажетті қасиеттерге ие пермутацияларды жылдам жасау мәселесін тудырады. Бір әдіс пермутациялық полиномдарға негізделген. Сондай-ақ, бірегей пермутациялық хэштеудегі оңтайлы хэштеудің негізі ретінде де қолданылады.