Кіріспе
Шынайы аралықтағы көпжақтылық (сондай-ақ аралықтағы көпжақтылық және сфералық көпжақтылық деп аталады) – жылжымалы көлік құралының немесе стационарлық нүктенің кеңістіктегі орнын анықтау әдісі, бұл үшін көлік құралы/нүкте мен бірнеше кеңістікте орналасқан белгілі нүктелер (көбінесе «станциялар» деп аталады) арасындағы бірнеше аралықтар (қашықтықтар) пайдаланылады. Көлік құралының орналасуын анықтауға қатысты қолданыстар, егер борттағы адамдарға/жабдықтарға оның орналасуы туралы хабар берілсе, навигация деп аталады, ал көлік құралынан тысқары тұлғаларға оның орналасуы туралы хабар берілсе, бақылау деп аталады. Екі белгілі нүктеден алынған екі көлбеу аралықты екі өлшемді картезиан кеңістігінде (жазықтықта) үшінші нүктені табу үшін пайдалануға болады, бұл жиі қолданылатын әдіс (мысалы, геодезияда). Сол сияқты, екі сфералық аралықты сферадағы нүктені анықтау үшін де қолдануға болады, бұл аспандық навигацияның ежелгі ғылымының негізгі ұғымы – биіктік аралықтарын анықтау мәселесі деп аталады. Сонымен қатар, егер ең аз қажетті аралықтан артық аралықтар болса, оларды да пайдалану тиімді. Бұл мақалада бірнеше аралықтарды пайдалану арқылы орналасуды анықтаудың жалпы мәселесі қарастырылады. Екі өлшемді геометрияда, егер нүкте екі шеңберде жатса, онда шеңберлердің орталықтары мен екі радиусы мүмкін болатын орналасу санын екіге дейін азайтуға жеткілікті ақпарат береді – олардың бірі қажетті шешім, ал екіншісі – белгісіз шешім. Қосымша ақпарат көбінесе мүмкіндіктерді бірегей орналасуға дейін азайтады. Үш өлшемді геометрияда, егер нүкте үш сфераның бетінде жатса, онда үш сфераның орталықтары және олардың радиустары да мүмкін болатын орналасу санын екіден асырмай азайтуға жеткілікті ақпарат береді (егер орталықтар бір түзу сызықта жатпаса). Шынайы аралықтағы көпжақтылықты жиі кездесетін псевдоаралықтағы көпжақтылықтан ажыратуға болады, ол (әдетте жылжымалы) нүктені анықтау үшін аралықтардың айырмашылықтарын пайдаланады. Псевдоаралықтағы көпжақтылық көбінесе энергия толқындарының келу уақытын (TOA) өлшеу арқылы іске асырылады. Шынайы аралықтағы көпжақтылықты бұрыштарды өлшеуді қамтитын триангуляциядан да ажыратуға болады.
True range multilateration (also termed range range multilateration and spherical multilateration) is a method to determine the location of a movable vehicle or stationary point in space using multiple ranges (distances) between the vehicle/point and multiple spatially separated known locations (often termed "stations"). Applications involving vehicle location are termed navigation when on board persons/equipment are informed of its location, and are termed surveillance when off vehicle entities are informed of the vehicle's location. Two slant ranges from two known locations can be used to locate a third point in a two dimensional Cartesian space (plane), which is a frequently applied technique (e. g., in surveying). Similarly, two spherical ranges can be used to locate a point on a sphere, which is a fundamental concept of the ancient discipline of celestial navigation — termed the altitude intercept problem. Moreover, if more than the minimum number of ranges are available, it is good practice to utilize those as well. This article addresses the general issue of position determination using multiple ranges. In two dimensional geometry, it is known that if a point lies on two circles, then the circle centers and the two radii provide sufficient information to narrow the possible locations down to two – one of which is the desired solution and the other is an ambiguous solution. Additional information often narrow the possibilities down to a unique location. In three dimensional geometry, when it is known that a point lies on the surfaces of three spheres, then the centers of the three spheres along with their radii also provide sufficient information to narrow the possible locations down to no more than two (unless the centers lie on a straight line). True range multilateration can be contrasted to the more frequently encountered pseudo range multilateration, which employs range differences to locate a (typically, movable) point. Pseudo range multilateration is almost always implemented by measuring times of arrival (TOAs) of energy waves. True range multilateration can also be contrasted to triangulation, which involves the measurement of angles.
Терминология
Бұл жерде "шын диапазонды көпжақтылық" деп аталатын нәрсеге қатысты қабылданған немесе кеңінен қолданылатын жалпы термин жоқ. Бұл атау мына себептерге байланысты таңдалды: а) бұл дәл сипаттама және ішінара таныс терминология (көпжақтылық осы контексте жиі қолданылады); б) қатысатын диапазон санының нақты көрсетілуінен аулақ болады (мысалы, диапазон-диапазон); в) нақты қолданылу саласын білдірмейді (мысалы, DME/DME навигациясы немесе трилатерация); және г) одан әрі, жиі қолданылатын "жалған диапазонды көпжақтылықпен" шатастырудан сақтайды.
Аумақтарды алу
ұқсас ауқымдар мен өлшеу қателері үшін шынайы ауқымдағы көпжақтылыққа негізделген навигациялық және қадағалау жүйесі псевдоауқымдағы көпжақтылыққа негізделген жүйелерге қарағанда 2D аумақты немесе 3D көлемді едәуір кеңейтеді. Алайда, псевдоқашықтықты өлшеуге қарағанда, шынайы қашықтықты өлшеу көбінесе қиынырақ немесе қымбатқа түседі. Бірнеше шақырымға дейінгі арақашықтықтар мен бекітілген орындар үшін шынайы қашықтықты қолмен өлшеуге болады. Бұл бірнеше мың жыл бойы жерді өлшеу кезінде, мысалы, арқандар мен тізбектерді қолдану арқылы жүзеге асырылды. Ұзақ қашықтықтарға және/немесе қозғалатын көліктерге радио/радар жүйесі қажет. Бұл технология алғаш рет 1940 жылы радармен бірге жасалды. Содан бері үш әдіс қолданылды: Екі жақты қашықтықты өлшеу, бір тарап белсенді. Бұл дәстүрлі радарлар (кейде бастапқы радарлар деп аталады) қолданатын әдіс, олар өзара әрекеттеспейтін нысананың қашықтығын анықтайды, ал қазір лазерлік қашықтық өлшегіштерде қолданылады. Оның негізгі шектеулері: (а) нысана өзін-өзі анықтамайды, ал бірнеше нысана жағдайында қайтарудың қате тағайындалуы болуы мүмкін; (б) қайтару сигналы (таратылған сигналға қатысты) көлік станциясының қашықтығының төртінші дәрежесімен әлсірейді (осылайша, ондаған шақырым немесе одан да көп арақашықтықтар үшін станциялар әдетте жоғары қуатты таратушыларды және/немесе үлкен/сезімтал антенналарды қажет етеді); және (в) көптеген жүйелер көздің тікелей көруіне сүйенеді, бұл олардың ауқымын теңіз деңгейінен жоғары екі жақ та бірдей биіктікте болған кезде 20 шақырымнан азға шектейді. Екі жақты қашықтықты өлшеу, екі тарап та белсенді. Бұл әдіс алғаш рет 1941 жылы Люфтваффе қолданған Y Gerät ұшақ басқару жүйесімен навигация үшін қолданылған. Қазір ол бүкіл әлемде әуе қозғалысын басқаруда қолданылады, мысалы, екінші реттік радиолокациялық қадағалау және DME/DME навигациясы. Ол екі тараптың да таратушылары мен қабылдағыштары болуын қажет етеді және кедергі мәселелерін шешуді талап етуі мүмкін. Бір жақты қашықтықты өлшеу. Электромагниттік энергияның ұшу уақыты (TOF) бірнеше станциялар мен көлік құралы арасында, бір тараптың таратуы және екінші тараптың қабылдауы негізінде өлшенеді. Бұл – ең соңғы дамыған әдіс және атомдық сағаттардың дамуы арқылы мүмкін болды; ол көлік (пайдаланушы) және станциялар синхрондалған сағаттарға ие болуын қажет етеді. Бұл Loran C және GPS-пен (эксперименттік) сәтті дәлелденді. Бұл 2D сценарийдің маңыздылығы соншалық, трилатерация термині белгілі бір бастапқы және екі қашықтықты өлшеуді қамтитын барлық қолданбаларға жиі қолданылады. Дөңгелектердің ортасын қамтитын негізгі сызық симметрия сызығы болып табылады. Дұрыс және екіұшты шешімдер негіз сызығына перпендикуляр және одан бірдей қашықтықта (негіз сызығының қарама-қарсы жағында) орналасқан. Әдетте, екіұшты шешімді оңай анықтауға болады. Мысалы, егер P – көлік құралы болса, негізге қарай немесе одан алысқа қарай кез келген қозғалыс екіұшты шешімнің қарама-қарсы бағытында болады; сондықтан көлік құралының бағытын қарапайым өлшеу жеткілікті. Екінші мысал: геодезистер P негіз сызығының қай жағында екенін жақсы біледі. Үшінші мысал: P – ұшақ, ал C1 және C2 жерде орналасқан жағдайларда екіұшты шешім әдетте жер астында болады. Қажет болса, C1 C2 P үшбұрышының ішкі бұрыштарын тригонометриялық косинус заңы арқылы табуға болады. Сонымен қатар, қажет болған жағдайда P координаталарын екінші, жақсы танымал координаталар жүйесінде көрсетуге болады, мысалы, Универсалды көлденең Меркатор (UTM) жүйесінде, егер C1 және C2 координаталары осы екінші жүйеде белгілі болса. Екеуі де үшжақтылық әдісі қолданылған кезде зерттеу кезінде жиі жасалады. P координаталары анықталғаннан кейін C1 P және C2 P сызықтарын жаңа негіз сызықтар ретінде пайдалануға және қосымша нүктелерді зерттеуге болады. Осылайша, үлкен аумақтар немесе қашықтықтарды бірнеше, кіші үшбұрыштардың негізінде зерттеуге болады – бұл траверз деп аталады. Жоғарыда келтірілген теңдеудің дұрыс болуы үшін және бірдей P орнына қатысты деген болжам бар. Егер P көлік құралы болса, онда әдетте және көлік құралының жылдамдығына және рұқсат етілген көлік құралының орнының қателігіне байланысты синхрондастыру толеранттылығы шегінде өлшенуі тиіс. Сонымен қатар, қашықтықты өлшеу арасындағы көлік құралының қозғалысын есепке алуға болады, көбінесе инерциялық навигация арқылы. Тригонометриялық шешім де мүмкін (үш жақты жағдай). Сонымен қатар, графикалық әдісті қолдануға болады. Графикалық шешім кейде нақты уақыт навигациясы кезінде картадағы жапсырма ретінде қолданылады.
Two way range measurement, one party active This is the method used by traditional radars (sometimes termed primary radars) to determine the range of a non cooperative target, and now used by laser rangefinders. Its major limitations are that: (a) the target does not identify itself, and in a multiple target situation, mis assignment of a return can occur; (b) the return signal is attenuated (relative to the transmitted signal) by the fourth power of the vehicle station range (thus, for distances of tens of miles or more, stations generally require high power transmitters and/or large/sensitive antennas); and (c) many systems utilize line of sight propagation, which limits their ranges to less than 20 miles when both parties are at similar heights above sea level. Two way range measurement, both parties active This method was reportedly first used for navigation by the Y Gerät aircraft guidance system fielded in 1941 by the Luftwaffe. It is now used globally in air traffic control – e. g., secondary radar surveillance and DME/DME navigation. It requires that both parties have both transmitters and receivers, and may require that interference issues be addressed. One way range measurement The time of flight (TOF) of electromagnetic energy between multiple stations and the vehicle is measured based on transmission by one party and reception by the other. This is the most recently developed method, and was enabled by the development of atomic clocks; it requires that the vehicle (user) and stations having synchronized clocks. It has been successfully demonstrated (experimentally) with Loran C and GPS. This 2 D scenario is sufficiently important that the term trilateration is often applied to all applications involving a known baseline and two range measurements. The baseline containing the centers of the circles is a line of symmetry. The correct and ambiguous solutions are perpendicular to and equally distant from (on opposite sides of) the baseline. Usually, the ambiguous solution is easily identified. For example, if P is a vehicle, any motion toward or away from the baseline will be opposite that of the ambiguous solution; thus, a crude measurement of vehicle heading is sufficient. A second example: surveyors are well aware of which side of the baseline that P lies. A third example: in applications where P is an aircraft and C1 and C2 are on the ground, the ambiguous solution is usually below ground. If needed, the interior angles of triangle C1 C2 P can be found using the trigonometric law of cosines. Also, if needed, the coordinates of P can be expressed in a second, better known coordinate system—e. g., the Universal Transverse Mercator (UTM) system—provided the coordinates of C1 and C2 are known in that second system. Both are often done in surveying when the trilateration method is employed. Once the coordinates of P are established, lines C1 P and C2 P can be used as new baselines, and additional points surveyed. Thus, large areas or distances can be surveyed based on multiple, smaller triangles—termed a traverse. An implied assumption for the above equation to be true is that and relate to the same position of P. When P is a vehicle, then typically and must be measured within a synchronization tolerance that depends on the vehicle speed and the allowable vehicle position error. Alternatively, vehicle motion between range measurements may be accounted for, often by dead reckoning. A trigonometric solution is also possible (side side side case). Also, a solution employing graphics is possible. A graphical solution is sometimes employed during real time navigation, as an overlay on a map.
Екі шарша өлшем, екі немесе одан да көп шарша өлшенген диапазон
Бұл классикалық аспандық (немесе астрономиялық) навигациялық мәселе, биіктік тоғысу мәселесі деп аталады (сурет 3). Бұл геодезиялық үшбұрыш өлшеу әдісінің шарлық геометриядағы баламасы (бірақ арақашықтықтар әдетте әлдеқайда үлкен). Теңіздегі шешім (күн мен айды міндетті түрде қамтымай) 1761 жылы пайда болған теңіз хронометрі және 1837 жылы «позиция сызығының» (LOP) ашылуы арқасында мүмкін болды. Қазіргі таңдағы университеттерде (мысалы, АҚШ Әскери-теңіз академиясында) ең көп таралған шешім әдісі, екі аспан денесінің ‘биіктігі’ секстантпен өлшенген деректерге негізделген көлбеу шарлық үшбұрышты шарлық тригонометрия арқылы шешуді қолданады. Бұл мәселені векторлық талдау көмегімен де шешуге болады. Тарихи тұрғыдан алғанда, графикалық әдістер, мысалы, тоғысу әдісі қолданылған. Олар екінен астам өлшенген ‘биіктікті’ қабылдай алады. Теңізде өлшеулер жасау қиын болғандықтан, көбінесе 3-тен 5-ке дейін ‘биіктік’ өлшеу ұсынылады. Жер шардан гөрі эллипсоид ретінде жақсы сипатталғандықтан, қазіргі заманғы жүзеге асыруларда итерациялық әдістер қолданылуы мүмкін. Биік ұшақтар мен зымырандарда аспандық навигациялық кіші жүйесі инерциялық навигациялық кіші жүйесімен біріктіріліп, автоматтандырылған навигацияны жүзеге асырады, мысалы, АҚШ Әуе күштерінің SR 71 Blackbird және B 2 Spirit ұшақтарында. Loran C жүйесі «сфералық» псевдо-қашықтықтан көпжақты жүйе ретінде қарастырылғанмен, жақсы жабдықталған пайдаланушылар (мысалы, Канадалық гидрографиялық қызмет) оны «сфералық» нақты қашықтықтан көпжақты жүйе ретінде де пайдаланған. (көпжақты шешім алгоритміне қосымша) бұл әр түрлі уақытта алынған өлшемдерді салыстыруға және белгілі бір жолмен орташалауға мүмкіндік береді; және (b) итеративті шешім алгоритмін пайдаланады, себебі олар (b1) өлшемдердің әр түрлі санын (оның ішінде артық өлшемдерді) қабылдайды және (b2) шешім алгоритмі шақырылған сайын бастапқы шамаменді мәнді қолданады.
Гибридті көпжақты жүйелер
Гибридті көпжақты жүйелер – нақты қашықтық немесе жалған қашықтық жүйелері емес – де мүмкін. Мысалы, 1-суретте, егер шеңбер орталықтары солға қарай жылдырылса, C1 нүктесі және C2 нүктесі P нүктесі бойынша орналасса, онда.
Бұл шешімнің түрі және арасындағы қосынды мен айырмаға тікелей тәуелді және шешімнен шешімге "тізбектеуді" қажет етпейді. Бұл, және өлшеу арқылы нақты қашықтық көпжақты жүйесі ретінде жүзеге асырылуы мүмкін, бірақ басқа жабдықтарды қолданып және өлшеу арқылы гибридтік көпжақты жүйе ретінде де жүзеге асырылуы мүмкін, мысалы, бір хабар таратушысы және екі қабылдағышы бар мультистатикалық радиолокатормен бақылау үшін (екі моностатикалық радиолокатордың орнына). Бір хабар таратушысын жою артықшылық болғанымен, кері әсер ететін "қымбатқа" да бар: екі станцияның синхронизация төзімділігі екі нүктені дәл өлшеу үшін P нүктесінің жылдамдығына емес, таралу жылдамдығына (әдетте, жарық жылдамдығына) тәуелді болады. Іске асырылмаса да, гибридтік көпжақты жүйелер әуежайлар маңындағы ұшақтарды бақылау және авиация үшін GPS навигациялық резервтік жүйесі ретінде зерттелді.
However, it could also be implemented as a hybrid multilateration system by measuring and using different equipment – e. g., for surveillance by a multistatic radar with one transmitter and two receivers (rather than two monostatic radars). While eliminating one transmitter is a benefit, there is a countervailing 'cost': the synchronization tolerance for the two stations becomes dependent on the propagation speed (typically, the speed of light) rather that the speed of point P, in order to accurately measure both
While not implemented operationally, hybrid multilateration systems have been investigated for aircraft surveillance near airports and as a GPS navigation backup system for aviation.
Алдын ала және соңғы есептеулер
Шынайы қашықтықтан көпжақты жүйелердің орналасу дәлдігі, яғни, 1-суреттегі P нүктесінің координаттарының дәлдігі екі факторға байланысты: 1) қашықтықты өлшеу дәлдігі және 2) P-нің жүйелік C1 және C2 станцияларымен геометриялық қатынасы. Бұл 4-суреттен түсініледі. Екі станция нүктелер түрінде көрсетілген, ал BLU – базалық бірліктерді білдіреді. (Өлшеу үлгісі базалық сызық пен оның перпендикулярлы биссектрисасы бойынша симметриялық және суретте қысқартылған.) Әдетте, жеке қашықтық өлшеу қателері қашықтықтан тәуелсіз, статистикалық түрде тәуелсіз және бірдей таралымға ие деп есептеледі. Бұл орынды болжам пайдаланушы станциясының геометриясының және қашықтықты өлшеу қателерінің P-нің есептелген координаттарының қателігіне тигізетін әсерін ажыратады. Мұнда өлшеу геометриясы – екі шеңбердің қиылысу бұрышы, немесе эквивалентті түрде P C1 және P C2 сызықтары арасындағы бұрыш. Егер P нүктесі шеңберде жатпаса, оның орналасу қателігі шамамен ең жақын екі көк және ең жақын екі қызыл шеңбермен шектелген аумаққа пропорционалды. Артық өлшемдер болмаса, шынайы қашықтықтан көпжақты жүйе қашықтық өлшемдерінен артық дәлдікке ие бола алмайды, бірақ өлшеу геометриясы дұрыс таңдалмаған жағдайда айтарлықтай төмен дәлдікке ие болуы мүмкін. Сондықтан, кейбір қолданбалар P нүктесінің орналасуына шектеулер қояды. 2D картезиандық (трилатерация) жағдайында бұл шектеулер екі эквивалентті нысанның біреуін қабылдайды: P C1 және P C2 сызықтары арасындағы P нүктесіндегі рұқсат етілген ішкі бұрыш: идеалды жағдайда – тік бұрыш, ол базалық сызықтан жартысынан кем қашықтықта пайда болады; идеалды 90 градустан рұқсат етілген максималды ауытқулар көрсетілуі мүмкін. Дәлдіктің көлденең сұйылуы (HDOP), орналасу қателігін анықтаудағы қашықтық қатесін көбейтеді: екі өлшем үшін идеалды (ең төменгі) HDOP – P C1 және P C2 арасындағы бұрыш 90 градусқа тең болғандағы 2-нің квадрат түбірі; HDOP-тың рұқсат етілген максималды мәні көрсетілуі мүмкін. (Бұл жерде тең HDOP-тар – 4-суреттегі бірдей қиылысу бұрышына ие нүктелердің траекториясы.) Шынайы қашықтықтан көпжақты навигациялық немесе қадағалау жүйесін жоспарлау көбінесе станциялардың саны мен орналасуы және жүйенің қызмет ету аймағын (екі өлшемді) немесе қызмет көлемін (үш өлшемді) анықтау үшін дәлдіктің сұйылуын (DOP) талдауды қамтиды. 5-суретте 2D, екі станциялық шынайы қашықтықтан көпжақты жүйе үшін көлденең DOP (HDOP) көрсетілген. HDOP базалық сызық бойында және оның кеңейтулерінде шексіз, өйткені екі өлшемнің тек біреуі өлшенеді. Мұндай жүйені пайдаланушы базалық сызыққа перпендикуляр және қолданысқа байланысты қашықтық диапазонында орналасуы тиіс. Мысалы, әуе кемесіндегі DME/DME навигациялық түзетулері үшін АҚШ FAA рұқсат еткен максималды HDOP ең төменгі мүмкін мәннен екі есеге, яғни 2.828-ге тең. Жалпы, алгоритмдік сандық қателерге қарағанда қашықтықты өлшеу қателеріне көбірек назар аударылады.
The allowable interior angle at P between lines P C1 and P C2: The ideal is a right angle, which occurs at distances from the baseline of one half or less of the baseline length; maximum allowable deviations from the ideal 90 degrees may be specified. The horizontal dilution of precision (HDOP), which multiplies the range error in determining the position error: For two dimensions, the ideal (minimum) HDOP is the square root of 2 , which occurs when the angle between P C1 and P C2 is 90 degrees; a maximum allowable HDOP value may be specified. (Here, equal HDOPs are simply the locus of points in Fig. 4 having the same crossing angle.) Planning a true range multilateration navigation or surveillance system often involves a dilution of precision (DOP) analysis to inform decisions on the number and location of the stations and the system's service area (two dimensions) or service volume (three dimensions). Fig. 5 shows horizontal DOPs (HDOPs) for a 2 D, two station true range multilateration system. HDOP is infinite along the baseline and its extensions, as only one of the two dimensions is actually measured. A user of such a system should be roughly broadside of the baseline and within an application dependent range band. For example, for DME/DME navigation fixes by aircraft, the maximum HDOP permitted by the U. S. FAA is twice the minimum possible value, or 2.828, Generally, emphasis is placed on the effects of range measurement errors, rather than on the effects of algorithm numerical errors.