Определение местоположения с использованием многосторонней мультилатерации истинных дальностей.

Введение

Использование мер расстояния вдоль краев формы для определения положения в пространстве

Мультилатерация истинного диапазона (также называемая мультилатерацией по диапазонам и сферической мультилатерацией) – это метод определения местоположения подвижного объекта или неподвижной точки в пространстве с использованием нескольких диапазонов (расстояний) между объектом/точкой и несколькими пространственно разделенными известными местоположениями (часто называемыми «станциями»). Приложения, связанные с определением местоположения объекта, называются навигацией, когда лица/оборудование на борту информированы о его местоположении, и называются наблюдением, когда внешние наблюдатели информированы о местоположении объекта. Два диапазона наклона, измеренные из двух известных местоположений, могут быть использованы для определения третьей точки в двухмерном декартовом пространстве (плоскости), что является часто применяемой техникой (например, в геодезии). Аналогично, два сферических диапазона могут быть использованы для определения точки на сфере, что является фундаментальной концепцией древней дисциплины небесной навигации, известной как задача определения высоты. Более того, если доступно больше минимального количества диапазонов, рекомендуется использовать и их. В данной статье рассматривается общий вопрос определения местоположения с использованием нескольких диапазонов. В двумерной геометрии известно, что если точка лежит на двух окружностях, то центры этих окружностей и их радиусы предоставляют достаточную информацию для сужения возможных местоположений до двух – одно из которых является искомым решением, а другое – неоднозначным. Дополнительная информация часто позволяет однозначно определить местоположение. В трехмерной геометрии, если известно, что точка лежит на поверхностях трех сфер, то центры этих сфер вместе с их радиусами также предоставляют достаточную информацию для сужения возможных местоположений до не более двух (если центры лежат на одной прямой). Мультилатерация истинного диапазона противопоставляется более часто встречающейся мультилатерации псевдодиапазонов, которая использует разности диапазонов для определения (обычно подвижной) точки. Мультилатерация псевдодиапазонов почти всегда реализуется путем измерения времени прихода (Времени прибытия – TOA) энергетических волн. Мультилатерация истинного диапазона также может быть противопоставлена триангуляции, которая предполагает измерение углов.

True range multilateration (also termed range range multilateration and spherical multilateration) is a method to determine the location of a movable vehicle or stationary point in space using multiple ranges (distances) between the vehicle/point and multiple spatially separated known locations (often termed "stations"). Applications involving vehicle location are termed navigation when on board persons/equipment are informed of its location, and are termed surveillance when off vehicle entities are informed of the vehicle's location. Two slant ranges from two known locations can be used to locate a third point in a two dimensional Cartesian space (plane), which is a frequently applied technique (e. g., in surveying). Similarly, two spherical ranges can be used to locate a point on a sphere, which is a fundamental concept of the ancient discipline of celestial navigation — termed the altitude intercept problem. Moreover, if more than the minimum number of ranges are available, it is good practice to utilize those as well. This article addresses the general issue of position determination using multiple ranges. In two dimensional geometry, it is known that if a point lies on two circles, then the circle centers and the two radii provide sufficient information to narrow the possible locations down to two – one of which is the desired solution and the other is an ambiguous solution. Additional information often narrow the possibilities down to a unique location. In three dimensional geometry, when it is known that a point lies on the surfaces of three spheres, then the centers of the three spheres along with their radii also provide sufficient information to narrow the possible locations down to no more than two (unless the centers lie on a straight line). True range multilateration can be contrasted to the more frequently encountered pseudo range multilateration, which employs range differences to locate a (typically, movable) point. Pseudo range multilateration is almost always implemented by measuring times of arrival (TOAs) of energy waves. True range multilateration can also be contrasted to triangulation, which involves the measurement of angles.

Терминология

Не существует общепринятого или широко используемого общего термина для того, что здесь называется истинной многосторонней трилатерацией по дальности. Это название выбрано, поскольку оно: (а) является точным описанием и использует частично знакомую терминологию (многостороннюю трилатерацию часто используют в этом контексте); (b) не указывает количество используемых дальностей (как, например, "дальность-дальность"); (c) не подразумевает конкретное применение (как, например, навигация по DME/DME или трилатерация); и (d) позволяет избежать путаницы с более распространенной псевдодальностной многосторонней трилатерацией.

Получение диапазонов

Для аналогичных диапазонов и погрешностей измерений система навигации и слежения, основанная на мультилатерации истинной дальности, обеспечивает обслуживание значительно большей 2D-площади или 3D-объема, чем системы, основанные на мультилатерации псевдодальности. Однако измерение истинной дальности часто сложнее или дороже, чем измерение псевдодальности. Для расстояний до нескольких миль и неподвижных объектов истинную дальность можно измерить вручную. Это практиковалось в геодезии на протяжении нескольких тысяч лет, например, с использованием веревок и цепей. Для больших расстояний и/или движущихся объектов обычно требуется радио/радарная система. Эта технология была впервые разработана около 1940 года в связи с разработкой радара. С тех пор используются три метода: Двустороннее измерение дальности, одна сторона активна. Это метод, используемый традиционными радарами (иногда называемыми первичными радарами) для определения дальности несотрудничающей цели, и теперь используемый в лазерных дальномерах. Его основные ограничения заключаются в следующем: (a) цель не идентифицирует себя, и в ситуации с несколькими целями может произойти ошибочное присвоение сигнала; (b) возвращаемый сигнал ослабляется (по отношению к переданному сигналу) в зависимости от четвертой степени дальности до станции, (следовательно, на расстояниях в десятки миль и более станции обычно требуют передатчиков высокой мощности и/или больших/чувствительных антенн); и (c) многие системы используют распространение в линии прямой видимости, что ограничивает их дальность менее чем 20 милями, когда обе стороны находятся на одинаковой высоте над уровнем моря. Двустороннее измерение дальности, обе стороны активны. Сообщается, что этот метод впервые был использован для навигации в системе управления самолетами Y-Gerät, принятой на вооружение Люфтваффе в 1941 году. В настоящее время он используется во всем мире в управлении воздушным движением, например, в вторичном радиолокационном слежении и навигации DME/DME. Он требует, чтобы обе стороны имели как передатчики, так и приемники, и может потребовать решения проблем с помехами. Одностороннее измерение дальности. Время пролета (TOF) электромагнитной энергии между несколькими станциями и объектом измеряется на основе передачи одной стороной и приема другой. Это самый последний разработанный метод, ставший возможным благодаря развитию атомных часов; он требует синхронизированных часов на объекте (пользователе) и станциях. Он был успешно продемонстрирован (экспериментально) с Loran-C и GPS. Этот 2D-сценарий достаточно важен, что термин "трилатерация" часто применяется ко всем приложениям, включающим известную базовую линию и два измерения дальности. Базовая линия, содержащая центры окружностей, является линией симметрии. Правильные и неоднозначные решения перпендикулярны базовой линии и равноудалены от нее (на противоположных сторонах). Обычно неоднозначное решение легко идентифицировать. Например, если P – это объект, любое движение к базовой линии или от нее будет противоположным движению неоднозначного решения; таким образом, достаточно грубого измерения курса объекта. Второй пример: геодезисты хорошо знают, по какую сторону от базовой линии находится P. Третий пример: в приложениях, где P – это воздушное судно, а C1 и C2 находятся на земле, неоднозначное решение обычно находится под землей. При необходимости внутренние углы треугольника C1C2P можно найти, используя тригонометрический закон косинусов. Также, при необходимости, координаты P можно выразить в другой, более известной системе координат, например, в универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM), при условии, что координаты C1 и C2 известны в этой второй системе. Оба этих действия часто выполняются в геодезии при использовании метода трилатерации. После определения координат P линии C1P и C2P можно использовать в качестве новых базовых линий для обследования дополнительных точек. Таким образом, большие площади или расстояния можно обследовать на основе нескольких меньших треугольников – так называемой теодолитной ходы. Неявным предположением для справедливости вышеуказанного уравнения является то, что и относятся к одному и тому же положению P. Когда P – это объект, то обычно и должны измеряться с точностью до допуска по синхронизации, который зависит от скорости объекта и допустимой погрешности положения объекта. В качестве альтернативы, движение объекта между измерениями дальности может быть учтено, часто с помощью счисления. Также возможно тригонометрическое решение (случай "сторона-сторона-сторона"). Также возможно графическое решение. Графическое решение иногда используется во время навигации в реальном времени в виде наложения на карту.

For similar ranges and measurement errors, a navigation and surveillance system based on true range multilateration provide service to a significantly larger 2 D area or 3 D volume than systems based on pseudo range multilateration. However, it is often more difficult or costly to measure true=ranges than it is to measure pseudo ranges. For distances up to a few miles and fixed locations, true range can be measured manually. This has been done in surveying for several thousand years e. g., using ropes and chains. For longer distances and/or moving vehicles, a radio/radar system is generally needed. This technology was first developed circa 1940 in conjunction with radar. Since then, three methods have been employed:
Two way range measurement, one party active This is the method used by traditional radars (sometimes termed primary radars) to determine the range of a non cooperative target, and now used by laser rangefinders. Its major limitations are that: (a) the target does not identify itself, and in a multiple target situation, mis assignment of a return can occur; (b) the return signal is attenuated (relative to the transmitted signal) by the fourth power of the vehicle station range (thus, for distances of tens of miles or more, stations generally require high power transmitters and/or large/sensitive antennas); and (c) many systems utilize line of sight propagation, which limits their ranges to less than 20 miles when both parties are at similar heights above sea level. Two way range measurement, both parties active This method was reportedly first used for navigation by the Y Gerät aircraft guidance system fielded in 1941 by the Luftwaffe. It is now used globally in air traffic control – e. g., secondary radar surveillance and DME/DME navigation. It requires that both parties have both transmitters and receivers, and may require that interference issues be addressed. One way range measurement The time of flight (TOF) of electromagnetic energy between multiple stations and the vehicle is measured based on transmission by one party and reception by the other. This is the most recently developed method, and was enabled by the development of atomic clocks; it requires that the vehicle (user) and stations having synchronized clocks. It has been successfully demonstrated (experimentally) with Loran C and GPS. This 2 D scenario is sufficiently important that the term trilateration is often applied to all applications involving a known baseline and two range measurements. The baseline containing the centers of the circles is a line of symmetry. The correct and ambiguous solutions are perpendicular to and equally distant from (on opposite sides of) the baseline. Usually, the ambiguous solution is easily identified. For example, if P is a vehicle, any motion toward or away from the baseline will be opposite that of the ambiguous solution; thus, a crude measurement of vehicle heading is sufficient. A second example: surveyors are well aware of which side of the baseline that P lies. A third example: in applications where P is an aircraft and C1 and C2 are on the ground, the ambiguous solution is usually below ground. If needed, the interior angles of triangle C1 C2 P can be found using the trigonometric law of cosines. Also, if needed, the coordinates of P can be expressed in a second, better known coordinate system—e. g., the Universal Transverse Mercator (UTM) system—provided the coordinates of C1 and C2 are known in that second system. Both are often done in surveying when the trilateration method is employed. Once the coordinates of P are established, lines C1 P and C2 P can be used as new baselines, and additional points surveyed. Thus, large areas or distances can be surveyed based on multiple, smaller triangles—termed a traverse. An implied assumption for the above equation to be true is that and relate to the same position of P. When P is a vehicle, then typically and must be measured within a synchronization tolerance that depends on the vehicle speed and the allowable vehicle position error. Alternatively, vehicle motion between range measurements may be accounted for, often by dead reckoning. A trigonometric solution is also possible (side side side case). Also, a solution employing graphics is possible. A graphical solution is sometimes employed during real time navigation, as an overlay on a map.

Два сферических размера, два или более измеренных сферических диапазона

Это классическая небесная (или астрономическая) навигационная задача, известная как задача перехвата высоты (рис. 3). Она является сферическим геометрическим эквивалентом метода трилатерации в геодезии (хотя расстояния, как правило, значительно больше). Решение этой задачи в море (не обязательно с использованием Солнца и Луны) стало возможным благодаря морскому хронометру (введённому в 1761 году) и открытию "линии положения" (LOP) в 1837 году. Метод решения, который сейчас наиболее преподают в университетах (например, в Военно-морской академии США), использует сферическую тригонометрию для решения косоугольного сферического треугольника на основе секстантных измерений "высоты" двух небесных тел. Эту задачу также можно решить с помощью векторного анализа. Исторически применялись графические методы, например, метод перехвата. Они позволяют обрабатывать более двух измеренных "высот". Ввиду сложности измерений в море часто рекомендуется проводить от 3 до 5 измерений "высоты". Поскольку Земля лучше описывается как эллипсоид вращения, чем как сфера, в современных реализациях могут использоваться итеративные методы. В высотных самолетах и ракетах подсистема небесной навигации часто интегрируется с инерциальной навигационной подсистемой для автоматической навигации, например, в самолетах ВВС США SR-71 Blackbird и B-2 Spirit. Хотя Loran-C изначально задумывался как "сферическая" псевдодальностная система многостороннего определения местоположения, хорошо оснащенные пользователи (например, Канадская гидрографическая служба) также использовали его как "сферическую" систему определения местоположения по истинной дальности. Это обеспечивается (a) алгоритмом многостороннего решения, позволяющим сравнивать и усреднять измерения, полученные в разное время, и (b) использованием итеративного алгоритма решения, поскольку он (b1) допускает различное количество измерений (включая избыточные) и (b2) требует начального приближения при каждом вызове алгоритма решения.

Гибридные системы многосторонней интеграции

Гибридные системы многосторонней локации – те, которые не являются ни системами измерения истинных дальностей, ни системами измерения псевдодальностей – также возможны. Например, на рисунке 1, если центры окружностей сместить влево так, что C1 находится в , а C2 находится в , то точка интереса P находится в .

Эта форма решения явно зависит от суммы и разности и и не требует «перехода» от решения к решению. Она может быть реализована как система многосторонней локации по истинным дальностям путем измерения и , однако также может быть реализована как гибридная система многосторонней локации путем измерения и с использованием различного оборудования – например, для наблюдения с помощью многостатического радара с одним передатчиком и двумя приемниками (вместо двух моностатических радаров). Хотя исключение одного передатчика является преимуществом, существует и обратная «плата»: допуск на синхронизацию для двух станций становится зависимым от скорости распространения (обычно скорости света), а не от скорости точки P, для точного измерения обоих . Несмотря на то, что гибридные системы многосторонней локации не были внедрены в эксплуатацию, они изучались для наблюдения за воздушными судами вблизи аэропортов и в качестве резервной системы GPS-навигации для авиации.

Предварительные и окончательные расчеты

Точность определения местоположения системы многосторонней локации по истинной дальности, например, точность координат точки P на рис. 1, зависит от двух факторов: (1) точности измерения дальности и (2) геометрического соотношения между точкой P и станциями системы C1 и C2. Это можно понять из рис. 4. Две станции показаны точками, а BLU обозначает базовые единицы длины. (Схема симметрична относительно базовой линии и ее перпендикулярного биссектора и усечена на рисунке.) Как принято, отдельные ошибки измерения дальности считаются независимыми от дальности, статистически независимыми и одинаково распределенными. Это разумное предположение позволяет разделить влияние геометрии расположения определяемой станции и ошибок измерения дальности на ошибку в вычисленных координатах P. Здесь геометрия измерения – это просто угол, под которым пересекаются два круга, или, что эквивалентно, угол между линиями P C1 и P C2. Если точка P не лежит на окружности, то ошибка в определении ее местоположения приблизительно пропорциональна площади, ограниченной ближайшими двумя синими и двумя пурпурными окружностями. Без избыточных измерений точность системы многосторонней локации по истинной дальности не может превышать точность измерений дальности, но может быть значительно ниже, если геометрия измерения выбрана неправильно. Соответственно, в некоторых приложениях вводятся ограничения на местоположение точки P. Для двумерной декартовой (трилатерационной) ситуации эти ограничения принимают одну из двух эквивалентных форм: Допустимый внутренний угол в точке P между линиями P C1 и P C2: оптимальным является прямой угол, который достигается на расстояниях от базовой линии, равных половине или меньше длины базовой линии; могут быть установлены максимально допустимые отклонения от идеальных 90 градусов. Горизонтальное размытие точности (HDOP), которое умножает ошибку измерения дальности при определении ошибки местоположения: для двух измерений идеальное (минимальное) значение HDOP равно квадратному корню из 2, что достигается при угле 90 градусов между P C1 и P C2; может быть указано максимально допустимое значение HDOP. (Здесь равные значения HDOP – это просто геометрическое место точек на рис. 4, имеющих одинаковый угол пересечения.) Планирование системы навигации или наблюдения по истинной дальности часто включает анализ размытия точности (DOP) для принятия решений о количестве и расположении станций, а также об области обслуживания системы (в двух измерениях) или объеме обслуживания (в трех измерениях). На рис. 5 показаны горизонтальные значения DOP (HDOP) для двумерной системы многосторонней локации по истинной дальности с двумя станциями. HDOP бесконечен вдоль базовой линии и ее продолжений, поскольку фактически измеряется только одно из двух измерений. Пользователь такой системы должен находиться примерно перпендикулярно базовой линии и в пределах полосы диапазонов, зависящей от конкретного применения. Например, для определения местоположения самолета с помощью DME/DME, максимальное значение HDOP, разрешенное Федеральным управлением гражданской авиации США (FAA), вдвое превышает минимальное возможное значение, то есть равно 2,828. Как правило, основное внимание уделяется влиянию ошибок измерения дальности, а не влиянию числовых ошибок алгоритма.

The position accuracy of a true range multilateration system—e. g., accuracy of the coordinates of point P in Fig. 1 depends upon two factors: (1) the range measurement accuracy, and (2) the geometric relationship of P to the system's stations C1 and C2. This can be understood from Fig. 4. The two stations are shown as dots, and BLU denotes baseline units. (The measurement pattern is symmetric about both the baseline and the perpendicular bisector of the baseline, and is truncated in the figure.) As is commonly done, individual range measurement errors are taken to be independent of range, statistically independent and identically distributed. This reasonable assumption separates the effects of user station geometry and range measurement errors on the error in the calculated coordinates of P. Here, the measurement geometry is simply the angle at which two circles cross—or equivalently, the angle between lines P C1 and P C2. When point P is not on a circle, the error in its position is approximately proportional to the area bounded by the nearest two blue and nearest two magenta circles. Without redundant measurements, a true range multilateration system can be no more accurate than the range measurements, but can be significantly less accurate if the measurement geometry is not chosen properly. Accordingly, some applications place restrictions on the location of point P. For a 2 D Cartesian (trilateration) situation, these restrictions take one of two equivalent forms:
The allowable interior angle at P between lines P C1 and P C2: The ideal is a right angle, which occurs at distances from the baseline of one half or less of the baseline length; maximum allowable deviations from the ideal 90 degrees may be specified. The horizontal dilution of precision (HDOP), which multiplies the range error in determining the position error: For two dimensions, the ideal (minimum) HDOP is the square root of 2 , which occurs when the angle between P C1 and P C2 is 90 degrees; a maximum allowable HDOP value may be specified. (Here, equal HDOPs are simply the locus of points in Fig. 4 having the same crossing angle.) Planning a true range multilateration navigation or surveillance system often involves a dilution of precision (DOP) analysis to inform decisions on the number and location of the stations and the system's service area (two dimensions) or service volume (three dimensions). Fig. 5 shows horizontal DOPs (HDOPs) for a 2 D, two station true range multilateration system. HDOP is infinite along the baseline and its extensions, as only one of the two dimensions is actually measured. A user of such a system should be roughly broadside of the baseline and within an application dependent range band. For example, for DME/DME navigation fixes by aircraft, the maximum HDOP permitted by the U. S. FAA is twice the minimum possible value, or 2.828, Generally, emphasis is placed on the effects of range measurement errors, rather than on the effects of algorithm numerical errors.