Сызықтық жүйелер және суперпозиция принципі

Кіріспе

Суперпозиция принципін қанағаттандыратын физикалық жүйе – жүйелер теориясының түсінігі. Жүйелер теориясындағы сызықтық жүйе – сызықтық операторды қолдануға негізделген жүйенің математикалық моделі. Сызықтық жүйелер көбінесе сызықтық емес жүйелерге қарағанда әлдеқайда қарапайым ерекшеліктер мен қасиеттер көрсетеді. Математикалық абстракция немесе идеализация ретінде сызықтық жүйелер автоматты басқару теориясы, сигналдарды өңдеу және телекоммуникация салаларында маңызды қолданыс табады. Мысалы, сымсыз байланыс жүйелеріндегі таралу ортасын сызықтық жүйелер арқылы модельдеуге болады.

Анықтама

Жалпы детерминистік жүйені H операторы сипаттайды, ол кірісті x(t) функциясы ретінде t-ға тәуелді шығыс y(t) деп түрлендіреді, бұл қара жәшік сипаттамасы. Жүйе сызықтық болады, егер және ғана егер ол суперпозиция принципін қанағаттандырса, немесе эквивалентті түрде аддитивтілік және гомогенділік қасиеттерін шектеусіз қанағаттандырса (яғни, барлық кірістер үшін, барлық масштабтау тұрақтылары және барлық уақыт үшін). Суперпозиция принципі жүйеге берілген кірістердің сызықтық комбинациясы, жеке кірістерге сәйкес жеке нөлдік күйдегі шығыстардың (яғни, бастапқы шарттарды нөлге теңеу) сызықтық комбинациясын тудырады дегенді білдіреді. Гомогенділік қасиетін қанағаттандыратын жүйеде кірісті масштабтау әрқашан нөлдік күйдегі жауапты сол фактормен масштабтауға әкеледі. Сызықтық жүйенің шығыс-кіріс графигі міндетті түрде бастапқы нүкте арқылы өтетін түзу сызық болуы қажет емес. Мысалы, (мысалы, тұрақты сыйымдылығы бар конденсатор немесе тұрақты индуктивтігі бар индуктор) сипатталған жүйені қарастырайық. Ол сызықтық, өйткені ол суперпозиция принципін қанағаттандырады. Дегенмен, егер кіріс синусоида болса, шығыс та синусоида болады, сондықтан оның шығыс-кіріс графигі бастапқы нүктеде орналасқан эллипс болады, түзу сызық емес. Сондай-ақ, сызықтық жүйенің шығысында гармоникалар болуы мүмкін (және кірістен кіші негізгі жиілігі болуы мүмкін), тіпті кіріс синусоида болған жағдайда да. Мысалы, сипатталған жүйені қарастырайық. Ол сызықтық, өйткені ол суперпозиция принципін қанағаттандырады. Алайда, егер кіріс түріндегі синусоида болса, тригонометриялық өнім-қосынды формулаларын қолдану арқылы шығыс болатынын оңай көрсетуге болады, яғни шығыс кіріс синусоидаларының (3 рад/с) ғана емес, сонымен қатар 2 рад/с және 4 рад/с жиіліктеріндегі синусоидалардан тұрады; сонымен қатар, шығыс синусоидаларының негізгі периодының ең кіші ортақ еселігін есептеу арқылы шығыстың негізгі бұрыштық жиілігі 1 рад/с екенін көрсетуге болады, бұл кіріс жиілігінен өзгеше.

A general deterministic system can be described by an operator, H, that maps an input, x(t), as a function of t to an output, y(t), a type of black box description. A system is linear if and only if it satisfies the superposition principle, or equivalently both the additivity and homogeneity properties, without restrictions (that is, for all inputs, all scaling constants and all time.) The superposition principle means that a linear combination of inputs to the system produces a linear combination of the individual zero state outputs (that is, outputs setting the initial conditions to zero) corresponding to the individual inputs. In a system that satisfies the homogeneity property, scaling the input always results in scaling the zero state response by the same factor. The output versus input graph of a linear system need not be a straight line through the origin. For example, consider a system described by (such as a constant capacitance capacitor or a constant inductance inductor). It is linear because it satisfies the superposition principle. However, when the input is a sinusoid, the output is also a sinusoid, and so its output input plot is an ellipse centered at the origin rather than a straight line passing through the origin. Also, the output of a linear system can contain harmonics (and have a smaller fundamental frequency than the input) even when the input is a sinusoid. For example, consider a system described by It is linear because it satisfies the superposition principle. However, when the input is a sinusoid of the form , using product to sum trigonometric identities it can be easily shown that the output is , that is, the output doesn't consist only of sinusoids of same frequency as the input (3 rad/s), but instead also of sinusoids of frequencies 2 rad/s and 4 rad/s; furthermore, taking the least common multiple of the fundamental period of the sinusoids of the output, it can be shown the fundamental angular frequency of the output is 1 rad/s, which is different than that of the input.