Введение

Физическая система, удовлетворяющая принципу суперпозиции – концепция теории систем.

В теории систем линейная система – это математическая модель системы, основанная на использовании линейного оператора. Линейные системы обычно демонстрируют характеристики и свойства, значительно более простые, чем в нелинейном случае. Как математическая абстракция или идеализация, линейные системы находят важное применение в теории автоматического управления, обработке сигналов и телекоммуникациях. Например, среда распространения для беспроводных систем связи часто может быть смоделирована с помощью линейных систем.

Определение

Общая детерминированная система может быть описана оператором H, который отображает вход x(t) как функцию t в выход y(t), что является описанием типа «черный ящик». Система является линейной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет принципу суперпозиции, или, что эквивалентно, свойствам аддитивности и однородности одновременно, без каких-либо ограничений (то есть для всех входов, всех коэффициентов масштабирования и всего времени). Принцип суперпозиции означает, что линейная комбинация входных сигналов системы приводит к линейной комбинации выходных сигналов в нулевом состоянии (то есть выходов, при которых начальные условия равны нулю), соответствующих каждому отдельному входному сигналу. В системе, удовлетворяющей свойству однородности, масштабирование входного сигнала всегда приводит к масштабированию отклика в нулевом состоянии на тот же коэффициент. График зависимости выхода от входа для линейной системы не обязательно должен быть прямой линией, проходящей через начало координат. Например, рассмотрим систему, описываемую (такую как конденсатор постоянной емкости или катушка индуктивности постоянной индуктивности). Она линейна, поскольку удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда входной сигнал является синусоидой, выходной сигнал также является синусоидой, и поэтому график зависимости выходного сигнала от входного представляет собой эллипс, центрированный в начале координат, а не прямую линию, проходящую через начало координат. Кроме того, выход линейной системы может содержать гармоники (и иметь меньшую основную частоту, чем входной сигнал), даже если входной сигнал является синусоидой. Например, рассмотрим систему, описываемую. Она линейна, поскольку удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда входной сигнал является синусоидой вида , используя тригонометрические тождества преобразования произведения в сумму, легко показать, что выходной сигнал равен , то есть выходной сигнал состоит не только из синусоид с той же частотой, что и входной сигнал (3 рад/с), но также и из синусоид с частотами 2 рад/с и 4 рад/с; более того, взяв наименьшее общее кратное фундаментального периода синусоид выходного сигнала, можно показать, что основная угловая частота выходного сигнала составляет 1 рад/с, что отличается от частоты входного сигнала.