In mathematical logic, an axiom schema (plural: axiom schemata or axiom schemas) generalizes the notion of axiom.
Ресми анықтама
Аксиомалық схема – аксиомалық жүйенің метатіліндегі, бір немесе бірнеше схемалық айнымалылары бар формула. Метатілдік құрылымдар болып табылатын бұл айнымалылар жүйенің кез келген терминін немесе қосалқы формуларын білдіреді, олар белгілі бір шарттарды қанағаттандыруы қажет немесе қажет емес. Көбінесе, мұндай шарттарда кейбір айнымалылардың бос болуы немесе кейбір айнымалылардың қосалқы формуланың немесе терминнің ішінде кездеспеуі талап етіледі.
An axiom schema is a formula in the metalanguage of an axiomatic system, in which one or more schematic variables appear. These variables, which are metalinguistic constructs, stand for any term or subformula of the system, which may or may not be required to satisfy certain conditions. Often, such conditions require that certain variables be free, or that certain variables not appear in the subformula or term.
Түпкілегі аксиомалық
Схемалық айнымалы орнына қойылатын мүмкін қосалқы формулалар немесе терминдер саны шексіз болғандықтан, аксиома схема шексіз класс немесе аксиомалар жиынына сәйкес келеді. Бұл жиынды көбінесе рекурсивті түрде анықтауға болады. Схемаларсыз аксиомаланатын теория шекті аксиомаланатын теория деп аталады.
Given that the number of possible subformulas or terms that can be inserted in place of a schematic variable is infinite, an axiom schema stands for an infinite class or set of axioms. This set can often be defined recursively. A theory that can be axiomatized without schemata is said to be finitely axiomatizable.
Түпкілікті аксиоматизацияланған теориялар
ZFC-нің барлық теоремалары фон Нейман–Бернестің–Годельдің жиын теориясының да теоремалары болып табылады, бірақ соңғысын шекті түрде аксиоматизациялауға болады. Жаңа негіздер жиын теориясын стратификация ұғымы арқылы шекті түрде аксиоматизациялауға болады.
All theorems of ZFC are also theorems of von Neumann–Bernays–Gödel set theory, but the latter can be finitely axiomatized. The set theory New Foundations can be finitely axiomatized through the notion of stratification.
Жоғары дәрежелі логикада
Бірінші реттік логикадағы схемалық айнымалылар екінші реттік логикада көбінесе оңай жойылады, себебі схемалық айнымалы жиі теорияның жекелеген элементтерінің кез келген қасиеті немесе қатынасы үшін орнықтырушы болып табылады. Бұл жоғарыда айтылған индукция және алмастыру схемаларына қатысты. Жоғары реттік логика сандық айнымалыларға барлық мүмкін қасиеттер мен қатынастар арасында өзгеруге мүмкіндік береді.
Schematic variables in first order logic are usually trivially eliminable in second order logic, because a schematic variable is often a placeholder for any property or relation over the individuals of the theory. This is the case with the schemata of Induction and Replacement mentioned above. Higher order logic allows quantified variables to range over all possible properties or relations.