Кіріспе

Математикада репликатор теңдеуі – эволюциялық ойын теориясында қолданылатын, детерминистік, монотонды, сызықтық емес және инновациялық емес ойын динамикасы. Репликатор теңдеуі репликацияны модельдеуге арналған басқа теңдеулерден, мысалы квазитүрлік теңдеуден, оның ерекшелігі – жарамдылық функциясы популяция типтерінің таралуын ескеруге мүмкіндік береді, ал квазитүрлік теңдеуде әрбір типтің жарамдылығы тұрақты болып қабылданады. Осы маңызды қасиет репликатор теңдеуіне табиғи іріктеудің мәнін түсіруге мүмкіндік береді. Квазитүрлік теңдеуден өзгеше, репликатор теңдеуі мутацияны қамтымайды, сондықтан жаңа типтерді немесе таза стратегияларды жасау мүмкін емес.

Детерминистік және стохастикалық репликатор динамикасының деривациясы

Болжайық, типтің жеке адамдарының саны – , ал жеке адамдардың жалпы саны – . Әр түрдің үлесін былай анықтаймыз: . Әр түрдегі өзгеріс геометриялық Браун қозғалысымен басқарылады деп есептейміз: , мұнда – типке байланысты жарамдылық. Типтердің орташа жарамдылығы: . Винер процестерінің өзара байланысты еместігі қабылданады. Онда, Ито леммасы бойынша: Бөліктік туындылары: , мұнда – Kronecker дельта функциясы. Бұл қатынастар мынаны білдіреді: Бұл теңдеудегі әрбір компонентті келесідей есептеуге болады: Содан кейін, әр тип үшін стохастикалық репликатор динамикасының теңдеуі: Егер терминдер бірдей нөлге тең болса, детерминистік репликатор динамикасының теңдеуі алынады.

Талдау

Талдау үздіксіз және дискретті жағдайларда өзгеше болады: біріншісінде дифференциалдық теңдеулердің әдістері пайдаланылады, ал екіншісінде әдістер ықтималдық сипатқа ие. Репликатор теңдеуі сызықтық емес болғандықтан, нақты шешім табу қиын (жаңа өзгеріссіз қарапайым түрлерінде де), сондықтан теңдеу көбінесе тұрақтылық тұрғысынан талданады. Репликатор теңдеуі (үздіксіз және дискретті түрлерінде) эволюциялық ойын теориясының халық теоремасын қанағаттандырады, ол теңдеудің тепе-теңдіктерінің тұрақтылығын сипаттайды. Теңдеудің шешімі көбінесе популяцияның эволюциялық тұрақты күйлерінің жиынтығымен беріледі. Жалпы, дегенерацияланбаған жағдайларда, бір ішкі эволюциялық тұрақты күй (ЭСС) болуы мүмкін, бірақ симплекстің шекарасында көптеген тепе-теңдіктер болуы мүмкін. Симплекстің барлық жақтары алға инвариантты болып табылады, бұл репликатор теңдеуінде жаңарудың болмауына сәйкес келеді: стратегия жойылғаннан кейін оны қайта тірілтудің жолы жоқ. Сызықтық жарамдылық репликатор теңдеуінің фазалық портреттерінің шешімдері екі және үш өлшемді жағдайларда жіктеледі. Жоғары өлшемдерде жіктеу қиынырақ, өйткені ерекше портреттердің саны жылдам өседі.

Басқа теңдеулермен байланысы

Типтердегі үздіксіз репликатор теңдеуі өлшемдер бойынша жалпыланған Лотка-Волтерра теңдеуімен эквиваленті. Трансформация келесі айнымалылардың өзгеруі арқылы жүзеге асырылады:

мұндағы – Лотка-Волтерра айнымалысы. Үздіксіз репликатор динамикасы сондай-ақ Price теңдеуімен эквиваленті.

Дискрет репликатор теңдеуі

Ұрпақтары бір-бірімен шағылыспайтын құрылымдалмаған шексіз популяцияны қарастырғанда, репликатор теңдеуінің дискретті формаларымен жұмыс істеу қажет. Математикалық тұрғыдан алғанда, екі қарапайым феноменологиялық нұсқа Дарвиннің табиғи іріктеу принципіне немесе кез келген ұқсас эволюциялық құбылыстарға сәйкес келеді. Мұндағы «прайм» (prime) белгісі келесі уақыт қадамын көрсетеді. Дегенмен, теңдеулердің дискретті сипаты төлем матрицасы элементтеріне шектеулер қояды. Қызығы, екі ойыншының екі стратегиялық ойынының қарапайым жағдайында I типті репликатор картасы хаосқа алып келетін кезеңді екі еселеуді көрсетуге қабілетті, сондай-ақ картаның периодтық шешімдерін қабылдау үшін эволюциялық тұрақты күй тұжырымдамасын қалай жалпылауға болатыны туралы ақпарат береді.