Введение

В математике уравнение репликатора — это детерминированная монотонная нелинейная и неинновационная динамика игры, используемая в эволюционной теории игр. Уравнение репликатора отличается от других уравнений, применяемых для моделирования репликации, таких как уравнение квазивидов, тем, что оно позволяет функции приспособленности учитывать распределение типов в популяции, а не задавать приспособленность конкретного типа как постоянную величину. Это важное свойство позволяет уравнению репликатора отражать суть естественного отбора. В отличие от уравнения квазивидов, уравнение репликатора не учитывает мутации и, следовательно, не способно создавать новые типы или чистые стратегии.

Вывод детерминированной и стохастической динамики репликатора

Предположим, что число индивидуумов типа равно и что общее число индивидуумов равно . Определим пропорцию каждого типа как . Предположим, что изменение каждого типа регулируется геометрическим броуновским движением: где – приспособленность, связанная с типом . Средняя приспособленность типов . Процессы Винера предполагаются некоррелированными. Для , лемма Ито дает нам: Частные производные тогда: где – дельта-функция Кронекера. Эти соотношения подразумевают, что: Каждый из компонентов этого уравнения может быть рассчитан как: Тогда уравнение стохастической динамики репликатора для каждого типа дано: Предполагая, что члены тождественно равны нулю, восстанавливается уравнение детерминированной динамики репликатора.

Анализ

Анализ различается для непрерывного и дискретного случаев: в первом используются методы дифференциальных уравнений, а во втором – стохастические методы. Поскольку уравнение репликатора нелинейно, точное решение получить сложно (даже для простых вариантов непрерывной формы), поэтому уравнение обычно анализируется с точки зрения стабильности. Уравнение репликатора (в непрерывной и дискретной формах) удовлетворяет основной теореме эволюционной теории игр, которая характеризует стабильность равновесий этого уравнения. Решение уравнения часто представляется множеством эволюционно стабильных состояний популяции. В общем случае, при невырожденных условиях, может существовать не более одного внутреннего эволюционно стабильного состояния (ESS), хотя на границе симплекса может быть множество равновесий. Все грани симплекса являются инвариантными, что соответствует отсутствию инноваций в уравнении репликатора: однажды вымершая стратегия не может быть восстановлена. Решения фазовых портретов для непрерывного линейного уравнения репликатора пригодности были классифицированы в двух- и трехмерных случаях. Классификация становится сложнее в пространствах большей размерности, поскольку число различных портретов быстро возрастает.

Отношения с другими уравнениями

Уравнение непрерывного репликатора для типов эквивалентно уравнению обобщенного Лотка-Вольтерра в размерностях . Преобразование выполняется заменой переменных:

где – переменная Лотка-Вольтерра. Непрерывная репликаторная динамика также эквивалентна уравнению Прайса.

Уравнение дискретного репликатора

Когда рассматривается неструктурированная бесконечная популяция с неперекрывающимися поколениями, следует использовать дискретные формы уравнения репликатора. Математически, две простые феноменологические версии согласуются с дарвиновским принципом естественного отбора или любым аналогичным эволюционным явлением. Здесь знак штриха обозначает следующий момент времени. Однако дискретный характер уравнений накладывает ограничения на элементы матрицы выплат. Примечательно, что для простого случая игр двух игроков с двумя стратегиями репликаторное отображение типа I способно демонстрировать бифуркацию с удвоением периода, приводящую к хаосу, и также дает представление о том, как обобщить понятие эволюционно стабильного состояния для учета периодических решений этого отображения.