Введение

Матрица, описывающая квантовую систему в чистом или смешанном состоянии.

В квантовой механике матрица плотности (или оператор плотности) — это матрица, описывающая квантовое состояние физической системы. Она позволяет вычислять вероятности исходов любого измерения, произведенного над этой системой, используя правило Борна. Это обобщение более привычных векторов состояния или волновых функций: в то время как они могут представлять только чистые состояния, матрицы плотности могут представлять и смешанные состояния. Смешанные состояния возникают в квантовой механике в двух различных ситуациях:

когда способ приготовления системы неизвестен полностью, и необходимо рассматривать статистический ансамбль возможных приготовлений, и
когда требуется описать физическую систему, находящуюся в запутанном состоянии с другой, не описывая их совместное состояние; этот случай характерен для системы, взаимодействующей с окружающей средой (например, при декогеренции). Таким образом, матрицы плотности являются важнейшими инструментами в областях квантовой механики, работающих со смешанными состояниями, таких как квантовая статистическая механика, открытые квантовые системы и квантовая информация.

C*-алгебраическая формулировка состояний

В настоящее время общепринято, что описание квантовой механики, в котором все самосопряжённые операторы представляют собой наблюдаемые, несостоятельно. По этой причине наблюдаемые отождествляются с элементами абстрактной C*-алгебры A (то есть алгебры без выделенного представления как алгебры операторов), а состояния – с положительными линейными функционалами на A. Однако, используя конструкцию GNS, можно восстановить гильбертовы пространства, реализующие A как субальгебру операторов. Геометрически, чистое состояние на C*-алгебре A – это состояние, являющееся крайней точкой множества всех состояний на A. Благодаря свойствам конструкции GNS, эти состояния соответствуют неприводимым представлениям A. Состояния C*-алгебры компактных операторов K(H) точно соответствуют операторам плотности, и, следовательно, чистые состояния K(H) являются именно чистыми состояниями в смысле квантовой механики. C*-алгебраическая формулировка охватывает как классические, так и квантовые системы. Когда система классическая, алгебра наблюдаемых становится абелевой C*-алгеброй. В этом случае состояния становятся мерами вероятности.

История

Формализм операторов плотности и матриц был введен в 1927 году Джоном фон Нейманом и независимо, но менее систематически, Львом Ландау, а позже в 1946 году Феликсом Блохом. Фон Нейман ввел матрицу плотности с целью разработки как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений. Само название "матрица плотности" связано с ее классическим соответствием вероятностной мере фазового пространства (распределению вероятностей по координате и импульсу) в классической статистической механике, введенной Вигнером в 1932 году. В отличие от этого, Ландау был вдохновлен невозможностью описать подсистему составной квантовой системы вектором состояния.