Кіріспе

Сандық вариациялық техника

Тығыздық матрицалық қайта қалыптандыру тобы (DMRG) – кванттық көп дене жүйелерінің төмен энергиялық физикасын жоғары дәлдікпен алуға арналған сандық вариациялық техника. Вариациялық әдіс ретінде DMRG – Гамильтонианның ең төменгі энергиялық матрицалық өнім күйінің толқындық функциясын табуға ұмтылатын тиімді алгоритм. Ол 1992 жылы Стивен Р. Уайтпен ойлап табылды және қазіргі таңда 1 өлшемді жүйелер үшін ең тиімді әдіс болып саналады.

Тарих

Стивен Р. Уайт пен Райнхард Ноактың DMRG әдісін алғаш қолданғаны – ойыншық модель болды: 1D қораптағы спин 0 бөлшегінің спектрін табу. Бұл модельді Кеннет Г. Уилсон кез келген жаңа қайта нормалау тобы әдісін сынау үшін ұсынған, себебі олардың бәрі осы қарапайым мәселеде сәтсіздікке ұшыраған. DMRG бұрынғы қайта нормалау тобы әдістерінің кемшіліктерін жойып, әр қадамда блокқа бір ғана сайт қосудың орнына, ортадағы екі сайтты екі блокпен байланыстырды, сондай-ақ әрбір қадамның соңында сақтау қажет ең маңызды күйлерді анықтау үшін тығыздық матрицасын қолданды. Ойыншық модельде табысқа жеткеннен кейін, DMRG әдісі кванттық Хайзенберг моделінде де сәтті қолданылды.

Принцип

Кванттық көп дене физикасының негізгі мәселесі – Гилберт кеңістігінің мөлшерінің өлшеммен экспоненциалды түрде өсуі. Басқаша айтқанда, егер тордың әрбір түйінінде белгілі бір өлшемді Гилберт кеңістігі бар торды қарастырсақ, онда жалпы Гилберт кеңістігінің мөлшері болады, мұнда – тордағы түйіндердің саны. Мысалы, L ұзындығындағы спин 1/2 тізбегінің 2L еркіндік дәрежесі бар. DMRG – бұл итеративтік, вариациялық әдіс, ол мақсатты күй үшін ең маңызды еркіндік дәрежелерін тиімді азайтады. Көбінесе негізгі күйге қызығушылық танытылады. Жылыну циклынан кейін әдіс жүйені екі қосалқы жүйеге немесе блокқа бөледі, олардың мөлшері міндетті түрде бірдей болуы қажет емес, және олардың арасында екі түйін орналасады. Жылыну кезінде блок үшін өкілдік ететін күйлердің жиынтығы таңдалады. Сол жақ блоктар + екі түйін + оң жақ блоктар жиынтығы – суперблок деп аталады. Енді толық жүйенің қысқартылған нұсқасы болып табылатын суперблоктің негізгі күйіне үміткер табылуы мүмкін. Оның дәлдігі нашар болуы мүмкін, бірақ әдіс итеративті және төмендегі қадамдармен жақсарады. Табылған кандидат негізгі күйі тығыздық матрицасын пайдалана отырып, әрбір блок үшін Гилберт субкеңістігіне проекцияланады, сондықтан осылай аталады. Осылайша, әрбір блок үшін тиісті күйлер жаңартылады. Енді бір блок екіншісінің есебінен өседі және процедура қайталанады. Өсіп келе жатқан блок ең үлкен мөлшерге жеткенде, оның орнына екінші блок өсе бастайды. Әр рет бастапқы (бірдей мөлшердегі) жағдайға оралғанда, біз сыпыру аяқталды дейміз. Әдетте, 1D тор үшін 1010-ға бір бөліктің дәлдігін алу үшін бірнеше сыпыру жеткілікті.

Қолданба нұсқаулығы

DMRG алгоритмін практикалық іске асыру – едәуір көлемді жұмыс. Негізгі есептеу трюктерінің бірнешеуі мыналар:

Қайта нормаланған гамильтонианның мөлшері көбінесе бірнеше немесе он мыңдаған шамасында болады, ал ізделіп отырған өзіндік күй – негізгі күй. Сондықтан, суперблоктың негізгі күйі матрицалық диагональдеудің Ланчос алгоритмі сияқты итерациялық алгоритм арқылы анықталады. Гермиттік емес матрицалармен жұмыс істегенде Арнольди әдісі де қолданылуы мүмкін. Ланчос алгоритмі әдетте шешімнің ең жақсы болжамынан басталады. Егер болжам болмаса, кездейсоқ вектор таңдалады. DMRG-де, белгілі бір DMRG қадамында алынған негізгі күй, тиісінше түрлендірілгенде, ақылға қонымды болжам болып табылады және келесі DMRG қадамында кездейсоқ бастау векторынан әлдеқайда тиімді жұмыс істейді. Симметриялы жүйелерде, жалпы спин сияқты, сақталатын кванттық сандар болуы мүмкін. Гильберт кеңістігінің әр секторында негізгі күйді табу ыңғайлы.

Қолданбалар

ДМРГ спиндік тізбектердің төмен энергиялық қасиеттерін алу үшін сәтті қолданылды: көлденең магнит өрісіндегі Исинг моделі, Гейзенберг моделі және т.б., Хаббард моделі сияқты фермиондық жүйелер, Кондо эффектісі сияқты қосымша бөлшектермен байланысты мәселелер, бозондық жүйелер және кванттық сымдармен қосылған кванттық нүктелердің физикасы. Бұл әдіс ағаш тәрізді графиктерде де қолданылатын болды және дендримерлерді зерттеуде пайдалы еді. Екі өлшемді жүйелерде, егер бір өлшемі екіншісінен әлдеқайда үлкен болса, ДМРГ жоғары дәлдік көрсетеді және сатыларды зерттеуде тиімді болып табылады. Әдіс 2D-де тепе-теңдіктегі статистикалық физиканы зерттеуге, ал 1D-де тепе-теңдіктен тыс құбылыстарды талдауға да бейімделді. ДМРГ кванттық химия саласында күшті байланысты жүйелерді зерттеу үшін де қолданылды.

Мысал: Кванттық Гейзенберг моделі

Антиферромагниттік кванттық Хайзенберг тізбегі үшін "шексіз" DMRG алгоритмін қарастырайық. Бұл әдіс кез келген трансляциялық инвариант бір өлшемді торға қолданылуы мүмкін. DMRG – бұл қайта нормалау тобының әдісі, себебі ол бір өлшемді кванттық жүйелердің Гильберт кеңістігін тиімді түрде қысқартуға мүмкіндік береді.

2-қадам: Гамильтониялық суперблокты диагональмен сызу

Осы сәтте сіз қандай да бір өлшенетін шамалар есептелетін Гамильтон операторының өзіндік күйін таңдауыңыз керек, бұл – мақсатты күй. Бастапқыда сіз негізгі күйді таңдап, оны табу үшін бірнеше жетілдірілген алгоритмдерді қолдана аласыз, солардың бірі мына еңбекте сипатталған:

Үлкен нақты симметриялық матрицалардың ең төменгі өзіндік мәндерінің және сәйкес өзіндік векторлардың итеративтік есептелуі, Эрнест Р. Дэвидсон; Есептеу физикасы журналы 17, 87-94 (1975)

Бұл қадам алгоритмнің ең көп уақыт алатын бөлігі болып табылады. Егер мақсатты күй болса, онда әртүрлі операторлардың күтілетін мәнін осы кезеңде арқылы өлшеуге болады.

3-қадам: тығыздық матрицасын азайту

Бірінші екі блок жүйесі, блок және сол жақ сайт үшін азайтылған тығыздық матрицасын құрыңыз. Анықтама бойынша, бұл матрица:

Диагональдаңыз және матрицаны құраңыз, оның қатарлары – матрицасының ең үлкен өзіндік мәндеріне сәйкес келетін өзіндік векторлар болып табылады. Осылайша, матрицасы азайтылған тығыздық матрицасының ең маңызды өзіндік күйлерінен құралады. Параметрді қарастыра отырып таңдаңыз: .

Ұзартулар

2004 жылы матрицалық өнім күйлерінің нақты уақыт эволюциясын іске асыру үшін уақыт бойынша өзгеретін блокты қысқарту әдісі әзірленді. Бұл идея кванттық компьютерді классикалық түрде модельдеуге негізделген. Содан кейін, DMRG формализмі шеңберінде нақты уақыт эволюциясын есептеу үшін жаңа әдіс құрастырылды. А. Фейгуин мен С. Р. Уайттың мақаласына жүгініңіз. Соңғы жылдары әдісті 2D және 3D кеңістіктерге тарату бойынша бірнеше ұсыныстар жасалды, бұл матрицалық өнім күйлерінің анықтамасын кеңейтеді. Ф. Верстрате мен И. Сирактың осы мақаласын қараңыз.