Физикалық жүйенің қозғалыс теңдеулері

Кіріспе

Физикалық жүйенің мінез-құлқын сипаттайтын теңдеулер

Физикада қозғалыс теңдеулері – уақытқа тәуелді физикалық жүйенің қозғалысын сипаттайтын теңдеулер. Нақтырақ айтқанда, қозғалыс теңдеулері физикалық жүйенің мінез-құлқын динамикалық айнымалылар арқылы математикалық функциялар жиынтығы ретінде сипаттайды. Бұл айнымалылар әдетте кеңістіктік координаттар және уақыт болып табылады, бірақ импульс компоненттерін де қамтуы мүмкін. Ең жалпы таңдау – физикалық жүйенің ерекшеліктерін көрсететін кез келген қолайлы айнымалылар бола алатын жалпыланған координаттар. Функциялар классикалық механикада Евклид кеңістігінде анықталады, ал салыстырмалылық теориясында қисық кеңістікке алмастырылады. Егер жүйенің динамикасы белгілі болса, онда теңдеулер динамиканың қозғалысын сипаттайтын дифференциалдық теңдеулердің шешімдері болып табылады.

Түрлері

Қозғалыстың екі негізгі сипаттамасы бар: динамика және кинематика. Динамика жалпырақ, себебі бөлшектердің импульсі, күштері және энергиясы ескеріледі. Осы ретте, кейде динамика термині жүйе қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулерге (мысалы, Ньютонның екінші заңы немесе Эйлер-Лагранж теңдеулері) және кейде осы теңдеулердің шешімдеріне сілтеме жасайды. Ал кинематика қарапайымдау. Ол тек денелердің позициясы мен уақыттан туындайтын айнымалыларды қарастырады. Үдеу тұрақты болған жағдайларда, осы қарапайым қозғалыс теңдеулері әдетте кинематикалық шамалардың анықтамаларынан туындайтын SUVAT теңдеулері деп аталады: орын ауыстыру (s), бастапқы жылдамдық (u), соңғы жылдамдық (v), үдеу (a) және уақыт (t). Әдетте, физикалық заң ретінде (мысалы, F = ma) қарастырылатын және физикалық шамалардың анықтамаларын қолданатын қозғалыс дифференциалдық теңдеуі, мәселенің теңдеуін құру үшін пайдаланылады. Дифференциалдық теңдеуді шешу, кездейсоқ тұрақтылары бар жалпы шешімге алып келеді, ал кездейсоқтық шешімдердің отбасына сәйкес келеді. Нақты шешімді алу үшін бастапқы шарттарды қою қажет, бұл тұрақтылардың мәнін анықтайды. Формалды тұрғыдан алғанда, қозғалыс теңдеуі M, дененің 'r' орнының, оның жылдамдығының ('r' уақыт бойынша бірінші туындысы) және үдеуінің ('r' уақыт бойынша екінші туындысы) және t уақытының функциясы болып табылады. 3D кеңістіктегі Евклидтік векторлар қалың шрифтпен белгіленеді. Бұл, 'r' бойынша қозғалыс теңдеуі 'r' бойынша екінші реттік қалыпты дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) дегенмен тең, мұнда t – уақыт, ал әрбір үстіндегі нүкте бір уақыт туындысын білдіреді. Бастапқы шарттар кезіндегі тұрақты мәндермен беріледі, ал қозғалыс теңдеуінің 'r'(t) шешімі, берілген бастапқы шарттар бойынша, t уақытынан кейін жүйенің барлық уақыттарын сипаттайды. Дене импульсі 'p' сияқты басқа динамикалық айнымалылар немесе 'r' және 'p' шамаларынан туындайтын бұрыштық импульс сияқты шамалар, қозғалыс теңдеуінен шешуге арналған шама ретінде 'r' орнына қолданылуы мүмкін, бірақ t уақытындағы дененің орны ең көп ізделінетін шама болып табылады. Кейде теңдеу сызықтық болып келеді және дәл шешілуі мүмкін. Жалпы, теңдеу сызықтық емес болады және оны дәл шешу мүмкін емес, сондықтан түрлі шамалаулар қолдану керек. Сызықтық емес теңдеулердің шешімдері жүйенің бастапқы шарттарға қаншалықты сезімталдығына байланысты хаотикалық мінез-құлықты көрсетуі мүмкін.

There are two main descriptions of motion: dynamics and kinematics. Dynamics is general, since the momenta, forces and energy of the particles are taken into account. In this instance, sometimes the term dynamics refers to the differential equations that the system satisfies (e. g., Newton's second law or Euler–Lagrange equations), and sometimes to the solutions to those equations. However, kinematics is simpler. It concerns only variables derived from the positions of objects and time. In circumstances of constant acceleration, these simpler equations of motion are usually referred to as the SUVAT equations, arising from the definitions of kinematic quantities: displacement (s), initial velocity (u), final velocity (v), acceleration (a), and time (t). A differential equation of motion, usually identified as some physical law (for example, F = ma) and applying definitions of physical quantities, is used to set up an equation for the problem. Solving the differential equation will lead to a general solution with arbitrary constants, the arbitrariness corresponding to a family of solutions. A particular solution can be obtained by setting the initial values, which fixes the values of the constants. To state this formally, in general an equation of motion M is a function of the position 'r' of the object, its velocity (the first time derivative of 'r', ), and its acceleration (the second derivative of 'r', ), and time t. Euclidean vectors in 3D are denoted throughout in bold. This is equivalent to saying an equation of motion in 'r' is a second order ordinary differential equation (ODE) in 'r',

where t is time, and each overdot denotes one time derivative. The initial conditions are given by the constant values at ,

The solution 'r'(t) to the equation of motion, with specified initial values, describes the system for all times t after Other dynamical variables like the momentum 'p' of the object, or quantities derived from 'r' and 'p' like angular momentum, can be used in place of 'r' as the quantity to solve for from some equation of motion, although the position of the object at time t is by far the most sought after quantity. Sometimes, the equation will be linear and is more likely to be exactly solvable. In general, the equation will be non linear, and cannot be solved exactly so a variety of approximations must be used. The solutions to nonlinear equations may show chaotic behavior depending on how sensitive the system is to the initial conditions.

Тарих

Кинематика, динамика және ғаламның математикалық модельдері үш мың жылдық ішінде көптеген ойшылдардың еңбегі арқасында бірте-бірте дамыды, олардың кейбіреулерінің есімдерін ғана білеміз. Ежелгі заманда дін қызметкерлері, жолбасшылар және астрономдар Күн мен Айдың тұтылуын, Күн мен Айдың солтүстік және оңтүстік нүктелерін және Айдың айналысын болжаған. Бірақ олардың басшылыққа алатын алгоритмдерінен басқа ештеңелері болған жоқ. Қозғалыс теңдеулері мың жылға дейін жазылмады. Орта ғасыр ғалымдары XIII ғасырда – мысалы, салыстырмалы түрде жаңа Оксфорд және Париж университеттерінде – ежелгі математиктерден (Эвклид және Архимед) және философтардан (Аристотель) физика деп аталатын жаңа білім саласын дамытты. Оксфордта Мертон колледжі Париж университетінің зиялыларына ұқсас деңгейдегі табиғат ғылымдарына, негізінен физикаға, астрономияға және математикаға арналған ғалымдар тобын біріктірді. Томас Брэдвардин Аристотельдік қашықтық және жылдамдық сияқты шамаларды кеңейтіп, оларға қарқындылық және кеңдік сипаттамаларын берді. Брэдвардин күш, кедергі, қашықтық, жылдамдық және уақытқа қатысты экспоненциалды заңды ұсынды. Николас Оресме Брэдвардиннің аргументтерін одан әрі дамытты. Мертон мектебі біркелкі үдемелі қозғалысқа ұшыраған дененің қозғалысының мөлшері үдемелі қозғалыстың ортасында қол жеткізілген жылдамдықпен біркелкі қозғалыстың мөлшеріне тең екенін дәлелдеді. Галилейге дейінгі кинематика бойынша жазғандар үшін, уақыт аралықтарын өлшеу мүмкін болмағандықтан, уақыт пен қозғалыс арасындағы байланыс түсініксіз болды. Олар уақытты қашықтық функциясы ретінде пайдаланды, ал еркін құлауда жоғары жылдамдық жоғарырақ көтерілудің нәтижесі болды. Тек испан теологы Доминго де Сото 1545 жылы жарияланған Аристотельдің Физикасына түсіндірме бергенде, "біркелкі өзгермелі" қозғалысты (яғни біркелкі үдемелі қозғалысты) – жылдамдық сөзі қолданылмаған – уақытқа пропорционал деп дұрыс мәлімдеді, сондай-ақ бұл қозғалыс түрі еркін құлайтын денелер мен снарядтарға сәйкес келетінін көрсетті, бірақ осы тұжырымдарды дәлелдемеді немесе уақыт, жылдамдық және қашықтықты байланыстыратын формула ұсынбады. Де Сотоның түсініктері үдемелі қозғалыстың (жылдамдық уақыт бойынша қозғалыстың өзгеру шарасы) анықтамасы және үдемелі қозғалыс кезінде үдемелі жылдамдықтың теріс болатыны туралы байқаулары өте дұрыс болды. Мұндай пікірлер Еуропаға таралып, Галилео Галилей және басқалардың еңбектерін қалыптастырды және кинематиканың негізін салуға көмектесті. Галилей өз жұмысында теңдеуді геометриялық түрде, Мертон ережесін қолдана отырып шығарды, қазір бұл кинематика теңдеулерінің бірі ретінде белгілі. Галилей снарядтың траекториясы парабола екенін алғаш көрсетті. Галилей центробегтік күшті түсінді және импульстің дұрыс анықтамасын берді. Импульске динамиканың негізгі шамасы ретінде баса назар аудару өте маңызды. Ол импульсті жылдамдық пен салмақтың көбейтіндісімен өлшеді; масса – бұл кейін Гюйгенс және Ньютон дамытқан түсінік. Галилей қарапайым маятниктің тербелісі туралы "Дискурстар" еңбегінде былай дейді: "Ар қимасымен төмен түскенде алынған әрбір импульс сол қима арқылы жоғары көтерілуіне себеп болатын импульске тең". Оның снарядтарды талдауы Галилейдің қозғалыс туралы бірінші және екінші заңдарын түсінгенін көрсетеді. Ол оларды Жердің тартылыс күші әсер етпейтін денелерге қатысты жалпыламады. Бұл қадам Ньютонның үлесі болды. "Инерция" терминін Кеплер қолданды, ол оны тыныштап тұрған денелерге қатысты қолданды. (Қозғалыс туралы бірінші заңды қазір көбінесе инерция заңы деп атайды.) Галилей Аристотельдің кейбір қателіктерін түзегенмен, әрекет пен реакцияның теңдігі туралы үшінші заңды толық түсінбеді. Стивен және басқалармен бірге Галилей статика туралы да жазды. Ол күштердің параллелограмы қағидатын тұжырымдады, бірақ оның қолданылу аясын толыққанды танымады. Галилей де жас кезінде алғаш байқаған маятник заңдарына қызығушылық танытты. 1583 жылы Пиза соборында дұға етіп жатқанда, оның назарын үлкен шамның қозғалысы тартып алды, ол уақытты өлшеу үшін өзінің пульсін пайдаланды. Оған кезең, тіпті қозғалыс өте төмендегеннен кейін де, бірдей болып көрінді, соның нәтижесінде маятниктердің изохронизмін ашты. Кейіннен оның жүргізген және "Дискурстарда" сипатталған мұқият тәжірибелері тербеліс кезеңінің ұзындығының квадрат түбірімен өзгеретінін, бірақ маятник массасынан тәуелсіз екенін көрсетті. Осылайша біз Рене Декарт, Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц және т.б. ; және қозғалыс теңдеулерінің жетілген түрлеріне жетеміз, олар қазіргі заманғы теңдеулер ретінде таныла бастады. Кейінірек қозғалыс теңдеулері электродинамикада да пайда болды, электр және магнит өрістерінде зарядталған бөлшектердің қозғалысын сипаттағанда, Лоренц күші электр және магнит өрісінің не екенін анықтайтын жалпы теңдеу болып табылады. Арнайы салыстырмалылық және жалпы салыстырмалылық пайда болғанда, кеңістік-уақытқа қатысты теориялық өзгерістер классикалық қозғалыс теңдеулерінің де жарық жылдамдығының шектігін және кеңістік-уақыттың қисаюын ескеру үшін өзгертілді. Барлық жағдайларда дифференциалдық теңдеулер бөлшектің кеңістік және уақыт координаттарына қатысты траекториясын сипаттайтын функция тұрғысынан берілді, күштердің немесе энергияның өзгеруінің әсерінен. Алайда, кванттық механика теңдеулерін де "қозғалыс теңдеулері" деп қарастыруға болады, өйткені олар бөлшектердің кеңістік және уақыт координаттарын пайдалана отырып, кванттық күйдің қалай өзгеретінін сипаттайтын толқындық функцияның дифференциалдық теңдеулері болып табылады. Толқындар, сұйықтықтар немесе өрістер ретінде қарастырылатын физикалық құбылыстар жиынтығы үшін физиканың басқа салаларында да қозғалыс теңдеулерінің аналогтары бар.

Kinematics, dynamics and the mathematical models of the universe developed incrementally over three millennia, thanks to many thinkers, only some of whose names we know. In antiquity, priests, astrologers and astronomers predicted solar and lunar eclipses, the solstices and the equinoxes of the Sun and the period of the Moon. But they had nothing other than a set of algorithms to guide them. Equations of motion were not written down for another thousand years. Medieval scholars in the thirteenth century — for example at the relatively new universities in Oxford and Paris — drew on ancient mathematicians (Euclid and Archimedes) and philosophers (Aristotle) to develop a new body of knowledge, now called physics. At Oxford, Merton College sheltered a group of scholars devoted to natural science, mainly physics, astronomy and mathematics, who were of similar stature to the intellectuals at the University of Paris. Thomas Bradwardine extended Aristotelian quantities such as distance and velocity, and assigned intensity and extension to them. Bradwardine suggested an exponential law involving force, resistance, distance, velocity and time. Nicholas Oresme further extended Bradwardine's arguments. The Merton school proved that the quantity of motion of a body undergoing a uniformly accelerated motion is equal to the quantity of a uniform motion at the speed achieved halfway through the accelerated motion. For writers on kinematics before Galileo, since small time intervals could not be measured, the affinity between time and motion was obscure. They used time as a function of distance, and in free fall, greater velocity as a result of greater elevation. Only Domingo de Soto, a Spanish theologian, in his commentary on Aristotle's Physics published in 1545, after defining "uniform difform" motion (which is uniformly accelerated motion) – the word velocity was not used – as proportional to time, declared correctly that this kind of motion was identifiable with freely falling bodies and projectiles, without his proving these propositions or suggesting a formula relating time, velocity and distance. De Soto's comments are remarkably correct regarding the definitions of acceleration (acceleration was a rate of change of motion (velocity) in time) and the observation that acceleration would be negative during ascent. Discourses such as these spread throughout Europe, shaping the work of Galileo Galilei and others, and helped in laying the foundation of kinematics. Galileo deduced the equation in his work geometrically, using the Merton rule, now known as a special case of one of the equations of kinematics. Galileo was the first to show that the path of a projectile is a parabola. Galileo had an understanding of centrifugal force and gave a correct definition of momentum. This emphasis of momentum as a fundamental quantity in dynamics is of prime importance. He measured momentum by the product of velocity and weight; mass is a later concept, developed by Huygens and Newton. In the swinging of a simple pendulum, Galileo says in Discourses that "every momentum acquired in the descent along an arc is equal to that which causes the same moving body to ascend through the same arc." His analysis on projectiles indicates that Galileo had grasped the first law and the second law of motion. He did not generalize and make them applicable to bodies not subject to the earth's gravitation. That step was Newton's contribution. The term "inertia" was used by Kepler who applied it to bodies at rest. (The first law of motion is now often called the law of inertia.) Galileo did not fully grasp the third law of motion, the law of the equality of action and reaction, though he corrected some errors of Aristotle. With Stevin and others Galileo also wrote on statics. He formulated the principle of the parallelogram of forces, but he did not fully recognize its scope. Galileo also was interested by the laws of the pendulum, his first observations of which were as a young man. In 1583, while he was praying in the cathedral at Pisa, his attention was arrested by the motion of the great lamp lighted and left swinging, referencing his own pulse for time keeping. To him the period appeared the same, even after the motion had greatly diminished, discovering the isochronism of the pendulum. More careful experiments carried out by him later, and described in his Discourses, revealed the period of oscillation varies with the square root of length but is independent of the mass the pendulum. Thus we arrive at René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, et al. ; and the evolved forms of the equations of motion that begin to be recognized as the modern ones. Later the equations of motion also appeared in electrodynamics, when describing the motion of charged particles in electric and magnetic fields, the Lorentz force is the general equation which serves as the definition of what is meant by an electric field and magnetic field. With the advent of special relativity and general relativity, the theoretical modifications to spacetime meant the classical equations of motion were also modified to account for the finite speed of light, and curvature of spacetime. In all these cases the differential equations were in terms of a function describing the particle's trajectory in terms of space and time coordinates, as influenced by forces or energy transformations. However, the equations of quantum mechanics can also be considered "equations of motion", since they are differential equations of the wavefunction, which describes how a quantum state behaves analogously using the space and time coordinates of the particles. There are analogs of equations of motion in other areas of physics, for collections of physical phenomena that can be considered waves, fluids, or fields.

Біркелкі жылдамдық

Тұрақты немесе біртекті үдеумен қозғалатын дененің түзу сызықтағы қозғалыс дифференциалдық теңдеуі қарапайым: үдеу тұрақты болғандықтан, дененің орнының екінші туындысы тұрақты болады. Осы жағдайдың нәтижелері төменде келтірілген.

Тұрақты айналмалы жылдамдық

Жоғарыдағы теңдеулердің аналогтарын айналу үшін жазуға болады. Тағы да, бұл осьтік векторлардың бәрі айналу осіне параллель болуы керек, сондықтан векторлардың ұзындықтары ғана қажет.

мұнда α – тұрақты бұрыштық үдеу, ω – бұрыштық жылдамдық, ω₀ – бастапқы бұрыштық жылдамдық, θ – бұрылу бұрышы (бұрыштық орын ауыстыру), θ₀ – бастапқы бұрыш, ал t – бастапқы күйден соңғы күйге айналуға кеткен уақыт.

Оралған заттар

Жалпы салыстырмалылық теориясында айналу қозғалысы релятивистік бұрыштық импульс тензорымен сипатталады, оның құрамында спин тензоры болады. Бұл тензорлар, дұрыс уақытқа қатысты ковариантты туындылар арқылы, қозғалыс теңдеулеріне енгізіледі. Матиссон-Папапетроу-Диксон теңдеулері гравитациялық өрісте қозғалатын айналатын денелердің қозғалысын сипаттайды.

Толқындар мен өрістерге арналған аналогтар

Бөлшектер механикасын сипаттауға арналған қозғалыс теңдеулерінен өзгеше, олар біріктірілген қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесі болса, толқындар мен өрістер динамикасын басқаратын сәйкес теңдеулер әрқашан бөлшектік дифференциалдық теңдеулер болып табылады, себебі толқындар немесе өрістер кеңістік және уақыттың функциялары болып табылады. Нақты шешім үшін, бастапқы шарттармен қатар шекаралық шарттар да көрсетілуі керек. Кейде, кейбір жағдайларда толқын немесе өріс теңдеулері "қозғалыс теңдеулері" деп те аталады.