Уравнения движения в физике.

Введение

Уравнения, описывающие поведение физической системы

В физике уравнения движения – это уравнения, описывающие поведение физической системы с точки зрения её движения как функции времени. Более конкретно, уравнения движения описывают поведение физической системы в виде набора математических функций, выраженных через динамические переменные. Эти переменные обычно представляют собой пространственные координаты и время, но могут включать компоненты импульса. Наиболее общим выбором являются обобщённые координаты, которые могут быть любыми удобными переменными, характеризующими физическую систему. В классической механике функции определяются в евклидовом пространстве, но в теории относительности заменяются на искривлённые пространства. Если динамика системы известна, то уравнения являются решениями дифференциальных уравнений, описывающих движение этой динамики.

Типы

Существует два основных описания движения: динамика и кинематика. Динамика является более общей, поскольку учитываются импульс, силы и энергия частиц. В этом случае термин «динамика» может относиться как к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяет система (например, второй закон Ньютона или уравнения Эйлера-Лагранжа), так и к решениям этих уравнений. Однако кинематика проще. Она рассматривает только переменные, выведенные из положений объектов и времени. При постоянном ускорении эти упрощенные уравнения движения обычно называют уравнениями SUVAT, которые возникают из определений кинематических величин: перемещение (s), начальная скорость (u), конечная скорость (v), ускорение (a) и время (t). Дифференциальное уравнение движения, обычно представляющее собой физический закон (например, F = ma) и использующее определения физических величин, применяется для составления уравнения задачи. Решение этого дифференциального уравнения приводит к общему решению с произвольными константами, отражающими семейство решений. Частное решение можно получить, задав начальные условия, которые фиксируют значения констант. Формально, в общем случае уравнение движения M является функцией положения объекта 'r', его скорости (первой производной 'r' по времени, ) и его ускорения (второй производной 'r' по времени, ) и времени t. Евклидовы векторы в 3D обозначаются полужирным шрифтом. Это эквивалентно утверждению, что уравнение движения в 'r' является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (ОДУ) относительно 'r', где t – время, а каждая точка над переменной обозначает производную по времени. Начальные условия задаются постоянными значениями в , Решение 'r'(t) уравнения движения с заданными начальными условиями описывает систему для всех моментов времени t после . Другие динамические переменные, такие как импульс 'p' объекта, или величины, выведенные из 'r' и 'p', например, угловой момент, могут использоваться вместо 'r' в качестве искомой величины в уравнении движения, хотя положение объекта в момент времени t является наиболее востребованной величиной. Иногда уравнение будет линейным и, следовательно, более вероятно будет иметь точное решение. В общем случае уравнение будет нелинейным и не может быть решено точно, поэтому необходимо использовать различные приближения. Решения нелинейных уравнений могут демонстрировать хаотическое поведение в зависимости от чувствительности системы к начальным условиям.

There are two main descriptions of motion: dynamics and kinematics. Dynamics is general, since the momenta, forces and energy of the particles are taken into account. In this instance, sometimes the term dynamics refers to the differential equations that the system satisfies (e. g., Newton's second law or Euler–Lagrange equations), and sometimes to the solutions to those equations. However, kinematics is simpler. It concerns only variables derived from the positions of objects and time. In circumstances of constant acceleration, these simpler equations of motion are usually referred to as the SUVAT equations, arising from the definitions of kinematic quantities: displacement (s), initial velocity (u), final velocity (v), acceleration (a), and time (t). A differential equation of motion, usually identified as some physical law (for example, F = ma) and applying definitions of physical quantities, is used to set up an equation for the problem. Solving the differential equation will lead to a general solution with arbitrary constants, the arbitrariness corresponding to a family of solutions. A particular solution can be obtained by setting the initial values, which fixes the values of the constants. To state this formally, in general an equation of motion M is a function of the position 'r' of the object, its velocity (the first time derivative of 'r', ), and its acceleration (the second derivative of 'r', ), and time t. Euclidean vectors in 3D are denoted throughout in bold. This is equivalent to saying an equation of motion in 'r' is a second order ordinary differential equation (ODE) in 'r',

where t is time, and each overdot denotes one time derivative. The initial conditions are given by the constant values at ,

The solution 'r'(t) to the equation of motion, with specified initial values, describes the system for all times t after Other dynamical variables like the momentum 'p' of the object, or quantities derived from 'r' and 'p' like angular momentum, can be used in place of 'r' as the quantity to solve for from some equation of motion, although the position of the object at time t is by far the most sought after quantity. Sometimes, the equation will be linear and is more likely to be exactly solvable. In general, the equation will be non linear, and cannot be solved exactly so a variety of approximations must be used. The solutions to nonlinear equations may show chaotic behavior depending on how sensitive the system is to the initial conditions.

История

Кинематика, динамика и математические модели Вселенной развивались постепенно на протяжении трех тысячелетий благодаря множеству мыслителей, имена лишь немногих из которых нам известны. В античности жрецы, астрологи и астрономы предсказывали солнечные и лунные затмения, солнцестояния и равноденствия Солнца, а также период обращения Луны. Однако у них не было ничего, кроме набора алгоритмов, направляющих их. Уравнения движения не были сформулированы еще тысячу лет. Средневековые ученые в XIII веке, например, в относительно новых университетах Оксфорда и Парижа, опирались на древних математиков (Евклида и Архимеда) и философов (Аристотеля) для разработки нового корпуса знаний, ныне известного как физика. В Оксфорде колледж Мертон приютил группу ученых, посвятивших себя естественным наукам, главным образом физике, астрономии и математике, сопоставимых по значимости с интеллектуалами Парижского университета. Томас Брэдвардин расширил аристотелевские понятия, такие как расстояние и скорость, приписав им интенсивность и протяженность. Брэдвардин предложил экспоненциальный закон, включающий силу, сопротивление, расстояние, скорость и время. Николас Оресм развил аргументы Брэдвардина. Школа Мертона доказала, что количество движения тела, движущегося равноускоренно, равно количеству равномерного движения со скоростью, достигнутой в середине ускоренного движения. Для исследователей кинематики до Галилея, поскольку малые промежутки времени не могли быть измерены, связь между временем и движением оставалась неясной. Они использовали время как функцию расстояния, а при свободном падении – большую скорость как результат большей высоты. Лишь Доминго де Сото, испанский теолог, в своем комментарии к «Физике» Аристотеля, опубликованном в 1545 году, после определения неравномерно-равномерного движения (то есть равноускоренного движения) – слово «скорость» не использовалось – как пропорционального времени, верно указал, что этот вид движения идентичен свободно падающим телам и снарядам, не доказывая эти положения и не предлагая формулу, связывающую время, скорость и расстояние. Комментарии де Сото замечательно точны в отношении определений ускорения (ускорение было скоростью изменения движения (скорости) во времени) и наблюдения о том, что ускорение будет отрицательным при подъеме. Подобные дискуссии распространились по всей Европе, формируя работы Галилео Галилея и других, и способствовали заложению основ кинематики. Галилей геометрически вывел уравнение в своей работе, используя правило Мертона, ныне известное как частный случай одного из уравнений кинематики. Галилей первым показал, что траектория снаряда является параболой. Галилей понимал центробежную силу и дал правильное определение импульса. Этот акцент на импульсе как на фундаментальной величине в динамике имеет первостепенное значение. Он измерял импульс произведением скорости и веса; масса – более позднее понятие, разработанное Гюйгенсом и Ньютоном. В «Дискурсах» Галилей утверждает, что при колебании простого маятника «каждый импульс, приобретенный при спуске по дуге, равен тому, который заставляет то же тело подниматься по той же дуге». Его анализ снарядов показывает, что Галилей усвоил первый и второй законы движения. Он не обобщил их и не сделал применимыми к телам, не подверженным земному притяжению. Этот шаг был вкладом Ньютона. Термин «инерция» использовал Кеплер, применив его к телам в состоянии покоя. (Первый закон движения часто называют законом инерции.) Галилей не полностью понял третий закон движения, закон равенства действия и противодействия, хотя и исправил некоторые ошибки Аристотеля. Вместе со Стивином и другими Галилей также писал о статике. Он сформулировал принцип параллелограмма сил, но не в полной мере осознал его возможности. Галилей также интересовался законами маятника, первые наблюдения о которых он сделал в молодости. В 1583 году, молясь в соборе в Пизе, его внимание привлекло движение большой лампы, зажженной и оставленной в движении, сопоставляя свой собственный пульс для отсчета времени. Ему период казался одинаковым, даже после значительного уменьшения движения, открыв изохронизм маятника. Более тщательные эксперименты, проведенные им позже и описанные в его «Дискурсах», показали, что период колебаний изменяется пропорционально квадратному корню длины, но не зависит от массы маятника. Таким образом, мы приходим к Рене Декарту, Исааку Ньютону, Готфриду Лейбницу и другим; и к развитым формам уравнений движения, которые начинают признаваться как современные. Позже уравнения движения также появились в электродинамике, при описании движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях, сила Лоренца является общим уравнением, которое служит определением того, что подразумевается под электрическим и магнитным полем. С появлением специальной теории относительности и общей теории относительности теоретические модификации пространства-времени означали, что классические уравнения движения также были модифицированы с учетом конечной скорости света и кривизны пространства-времени. Во всех этих случаях дифференциальные уравнения были выражены через функцию, описывающую траекторию частицы в пространстве и времени, под влиянием сил или преобразований энергии. Однако уравнения квантовой механики также можно рассматривать как «уравнения движения», поскольку они являются дифференциальными уравнениями волновой функции, которая описывает поведение квантового состояния аналогичным образом, используя пространственные и временные координаты частиц. Существуют аналоги уравнений движения и в других областях физики, для совокупностей физических явлений, которые можно рассматривать как волны, жидкости или поля.

Kinematics, dynamics and the mathematical models of the universe developed incrementally over three millennia, thanks to many thinkers, only some of whose names we know. In antiquity, priests, astrologers and astronomers predicted solar and lunar eclipses, the solstices and the equinoxes of the Sun and the period of the Moon. But they had nothing other than a set of algorithms to guide them. Equations of motion were not written down for another thousand years. Medieval scholars in the thirteenth century — for example at the relatively new universities in Oxford and Paris — drew on ancient mathematicians (Euclid and Archimedes) and philosophers (Aristotle) to develop a new body of knowledge, now called physics. At Oxford, Merton College sheltered a group of scholars devoted to natural science, mainly physics, astronomy and mathematics, who were of similar stature to the intellectuals at the University of Paris. Thomas Bradwardine extended Aristotelian quantities such as distance and velocity, and assigned intensity and extension to them. Bradwardine suggested an exponential law involving force, resistance, distance, velocity and time. Nicholas Oresme further extended Bradwardine's arguments. The Merton school proved that the quantity of motion of a body undergoing a uniformly accelerated motion is equal to the quantity of a uniform motion at the speed achieved halfway through the accelerated motion. For writers on kinematics before Galileo, since small time intervals could not be measured, the affinity between time and motion was obscure. They used time as a function of distance, and in free fall, greater velocity as a result of greater elevation. Only Domingo de Soto, a Spanish theologian, in his commentary on Aristotle's Physics published in 1545, after defining "uniform difform" motion (which is uniformly accelerated motion) – the word velocity was not used – as proportional to time, declared correctly that this kind of motion was identifiable with freely falling bodies and projectiles, without his proving these propositions or suggesting a formula relating time, velocity and distance. De Soto's comments are remarkably correct regarding the definitions of acceleration (acceleration was a rate of change of motion (velocity) in time) and the observation that acceleration would be negative during ascent. Discourses such as these spread throughout Europe, shaping the work of Galileo Galilei and others, and helped in laying the foundation of kinematics. Galileo deduced the equation in his work geometrically, using the Merton rule, now known as a special case of one of the equations of kinematics. Galileo was the first to show that the path of a projectile is a parabola. Galileo had an understanding of centrifugal force and gave a correct definition of momentum. This emphasis of momentum as a fundamental quantity in dynamics is of prime importance. He measured momentum by the product of velocity and weight; mass is a later concept, developed by Huygens and Newton. In the swinging of a simple pendulum, Galileo says in Discourses that "every momentum acquired in the descent along an arc is equal to that which causes the same moving body to ascend through the same arc." His analysis on projectiles indicates that Galileo had grasped the first law and the second law of motion. He did not generalize and make them applicable to bodies not subject to the earth's gravitation. That step was Newton's contribution. The term "inertia" was used by Kepler who applied it to bodies at rest. (The first law of motion is now often called the law of inertia.) Galileo did not fully grasp the third law of motion, the law of the equality of action and reaction, though he corrected some errors of Aristotle. With Stevin and others Galileo also wrote on statics. He formulated the principle of the parallelogram of forces, but he did not fully recognize its scope. Galileo also was interested by the laws of the pendulum, his first observations of which were as a young man. In 1583, while he was praying in the cathedral at Pisa, his attention was arrested by the motion of the great lamp lighted and left swinging, referencing his own pulse for time keeping. To him the period appeared the same, even after the motion had greatly diminished, discovering the isochronism of the pendulum. More careful experiments carried out by him later, and described in his Discourses, revealed the period of oscillation varies with the square root of length but is independent of the mass the pendulum. Thus we arrive at René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, et al. ; and the evolved forms of the equations of motion that begin to be recognized as the modern ones. Later the equations of motion also appeared in electrodynamics, when describing the motion of charged particles in electric and magnetic fields, the Lorentz force is the general equation which serves as the definition of what is meant by an electric field and magnetic field. With the advent of special relativity and general relativity, the theoretical modifications to spacetime meant the classical equations of motion were also modified to account for the finite speed of light, and curvature of spacetime. In all these cases the differential equations were in terms of a function describing the particle's trajectory in terms of space and time coordinates, as influenced by forces or energy transformations. However, the equations of quantum mechanics can also be considered "equations of motion", since they are differential equations of the wavefunction, which describes how a quantum state behaves analogously using the space and time coordinates of the particles. There are analogs of equations of motion in other areas of physics, for collections of physical phenomena that can be considered waves, fluids, or fields.

Однородное ускорение

Дифференциальное уравнение движения частицы с постоянным или однородным ускорением по прямой линии просто: ускорение постоянно, следовательно, вторая производная координаты объекта является постоянной. Результаты этого случая приведены ниже.

Постоянное круговое ускорение

Аналоги вышеуказанных уравнений можно записать для вращения. Опять же, эти осевые векторы должны быть параллельны оси вращения, поэтому достаточно знать только их модули, где α — постоянное угловое ускорение, ω — угловая скорость, ω₀ — начальная угловая скорость, θ — угол поворота (угловое перемещение), θ₀ — начальный угол, а t — время, затраченное на вращение от начального до конечного состояния.

Спинущие предметы

В общей теории относительности вращательное движение описывается релятивистским тензором углового момента, включающим тензор спина, который входит в уравнения движения при ковариантном дифференцировании по собственному времени. Уравнения Матиссона — Папапетру — Диксона описывают движение вращающихся объектов в гравитационном поле.

Аналоги для волн и полей

В отличие от уравнений движения, описывающих механику частиц, которые представляют собой системы связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичные уравнения, определяющие динамику волн и полей, всегда являются уравнениями в частных производных, поскольку волны или поля являются функциями пространства и времени. Для получения конкретного решения необходимо задать граничные и начальные условия. В некоторых случаях волновые или полевые уравнения также называют "уравнениями движения".