Кіріспе
Математикада қайта реттеу теңсіздігі, нақты сандардың кез келген таңдауы және осы сандардың кез келген орналасуы үшін былай деп мәлімдейді:
and every permutation of the numbers we have
Informally, this means that in these types of sums, the largest sum is achieved by pairing large values with large values, and the smallest sum is achieved by pairing small values with large values. This can be formalised in the case that the are distinct, meaning that
then:
The upper bound in is attained only for permutations that keep the order of that is, or equivalently Such a can permute the indices of values that are equal; in the case every permutation keeps the order of If then the only such is the identiy. Correspondingly, the lower bound in is attained only for permutations that reverse the order of meaning that If then for all is the only permutation to do this. Note that the rearrangement inequality makes no assumptions on the signs of the real numbers, unlike inequalities such as the arithmetic geometric mean inequality.
Бұл, негізінен, мұндай қосындыларда ең үлкен қосындыға үлкен мәндерді үлкен мәндермен жұптастыру арқылы, ал ең кішкентай қосындыға кішкентай мәндерді үлкен мәндермен жұптастыру арқылы қол жеткізіледі дегенді білдіреді. Егер сандар өзгеше болса, яғни: онда жоғарғы шек тек сандардың бастапқы ретін сақтайтын орналасулар үшін ғана қол жеткізіледі, яғни немесе эквивалентті түрде . Мұндай орналасулар тең мәндердің индекстерін өзгерте алады; егер барлық мәндер тең болса, онда жалғыз осындай орналасу – бірдейлік. Сәйкесінше, төменгі шекке тек сандардың ретін кері орналату арқылы қол жеткізіледі, яғни . Егер онда барлық үшін бұл ретті кері орналатудың жалғыз жолы. Қайта реттеу теңсіздігі арифметикалық-геометриялық орташа теңсіздігі сияқты теңсіздіктерден айырмашылығы, нақты сандардың таңбалары туралы ешқандай шарт қоймайды.
and every permutation of the numbers we have
Informally, this means that in these types of sums, the largest sum is achieved by pairing large values with large values, and the smallest sum is achieved by pairing small values with large values. This can be formalised in the case that the are distinct, meaning that
then:
The upper bound in is attained only for permutations that keep the order of that is, or equivalently Such a can permute the indices of values that are equal; in the case every permutation keeps the order of If then the only such is the identiy. Correspondingly, the lower bound in is attained only for permutations that reverse the order of meaning that If then for all is the only permutation to do this. Note that the rearrangement inequality makes no assumptions on the signs of the real numbers, unlike inequalities such as the arithmetic geometric mean inequality.
Интуиция
Қайта орналастыру теңсіздігін келесідей түсінуге болады. 10 долларлық, 20 долларлық және 100 долларлық банкноттардан үш үйінді бар делік. Сіз кез келген үйіндіден 7 банкнот алып, содан кейін ол үйінді жоғалады. Екінші кезеңде сіз тағы бір үйіндіден 5 банкнот алып, оны да жоғалата аласыз. Соңғы кезеңде қалған үйіндіден 3 банкнот алуға рұқсат етіледі. Сіз пайдаңызды барынша арттыру үшін үйінділерді қандай ретпен таңдаған жөн? Әрине, ең көп пайда табу үшін доллар алуға болады. Бұл қайта орналастыру теңсіздігінің жоғарғы шегі тізбектер және үшін дәл осыны көрсетеді. Осыған орай, оны ашкөз алгоритмнің мысалы деп санауға болады.
Геометриялық түсіндіру
Ені және биіктігі сәйкес келетін тіктөртбұрышты қарастырайық, ол ені бойынша бағаналарға, ал биіктігі бойынша қатарларға бөлінген. Бағаналардың саны қатарлар санымен бірдей, сондықтан кішкентай тіктөртбұрыштар пайда болады. Сіз осы тіктөртбұрыштардан, әр бағаннан және әр қатардан бір-бірден таңдауыңыз керек. Қайта орналастыру теңсіздігіне сәйкес, таңдаған тіктөртбұрыштардың жалпы ауданын барынша арттыру үшін диагональдағы немесе антидиагональдағы тіктөртбұрыштарды таңдаған жөн.