Кіріспе
Кванттық ақпарат теориясындағы ақпарат өлшемі. Бірлескен кванттық энтропия классикалық біріккен энтропияны кванттық ақпарат теориясының аясына кеңейтеді. Түсінікті болу үшін, егер екі кванттық күйлер, кванттық жүйенің бөліктері болып табылатын және тығыздық операторлары арқылы бейнеленген болса, онда бірлескен кванттық энтропия – біріккен жүйенің жалпы белгісіздігінің немесе энтропиясының өлшемі болып табылады. Ол немесе деп жазылады, қолданылатын фон Нейман энтропиясының белгісіне байланысты. Басқа энтропиялар сияқты, бірлескен кванттық энтропия биттермен өлшенеді, яғни логарифм 2-ге негізделген. Осы мақалада біз бірлескен кванттық энтропия үшін белгіні қолданамыз.
The joint quantum entropy generalizes the classical joint entropy to the context of quantum information theory. Intuitively, given two quantum states and , represented as density operators that are subparts of a quantum system, the joint quantum entropy is a measure of the total uncertainty or entropy of the joint system. It is written or , depending on the notation being used for the von Neumann entropy. Like other entropies, the joint quantum entropy is measured in bits, i. e. the logarithm is taken in base 2. In this article, we will use for the joint quantum entropy.
Өмірбаян
Ақпарат теориясында кез келген классикалық кездейсоқ шама үшін классикалық Шеннон энтропиясы – біз оның нәтижесіне қатысты қаншалықты күмәнді екенімізді өлшейтін шама. Мысалы, егер ықтималдық үлестірімі бір нүктеде жиынталған болса, оның нәтижесі анық болады, сондықтан оның энтропиясы нөлге тең. Ал егер ықтималдық үлестірімі мүмкін болатын мәндердің барлығына бірдей бөлінген болса, онда бұл жағдайда ең көп күмәнділік күтіледі. Шындығында, мұндай біркелкі ықтималдық үлестірілімдер ең жоғары мүмкін энтропияға ие. Кванттық ақпарат теориясында энтропия түсінігі ықтималдық үлестірілімдерінен кванттық күйлерге немесе тығыздық матрицаларына дейін кеңейтіледі. Кванттық күй үшін фон-Нейман энтропиясы былай анықталады:
In quantum information theory, the notion of entropy is extended from probability distributions to quantum states, or density matrices. For a state , the von Neumann entropy is defined by
Спектрлік теореманы немесе шексіз өлшемді жүйелер үшін Борель функционалдық есептеуін қолдану арқылы, оның классикалық энтропияны жалпылайтынын көреміз. Физикалық мағынасы өзгеріссіз қалады. Максималды араласқан күй, біркелкі ықтималдық үлестірімінің кванттық аналогы, максималды фон-Нейман энтропиясына ие. Ал таза күйде немесе бірінші ретті проекцияда фон-Нейман энтропиясы нөлге тең болады. Біз фон-Нейман энтропиясын (немесе кейде . деп жазамыз.
Қасиеттері
Классикалық бірлескен энтропия әрқашан әрбір жеке жүйенің энтропиясына кем дегенде тең болады. Бірақ, бұл біріккен кванттық энтропияға қатысты дұрыс емес. Егер кванттық күй кванттық байланысты көрсететін болса, онда әрбір ішкі жүйенің энтропиясы бірлескен энтропиядан жоғары болуы мүмкін. Бұл шартты кванттық энтропияның теріс болуы мүмкін екендігімен, ал классикалық шартты энтропияның ешқашан теріс болмайтындығымен байланысты. Мысалы, Белл күйі сияқты максималды байланысқан күйді қарастырайық. Егер күй Белл күйі болса, онда жалпы жүйе таза күйде болады, оның энтропиясы 0-ге тең, ал әрбір жеке ішкі жүйе максималды фон Нейман энтропиясы бар максималды аралас күйде болады. Осылайша, біріктірілген жүйенің бірлескен энтропиясы ішкі жүйелердің энтропиясынан кем болады. Себебі байланысқан күйлер үшін ішкі жүйелерге нақты күйлерді тағайындау мүмкін емес, нәтижесінде оң энтропия пайда болады. Егер күй бөлінетін таза күй болса, онда жоғарыда аталған құбылыс орын алмайды. Мұндай жағдайда, ішкі жүйелердің қысқартылған күйлері де таза болады. Сондықтан, барлық энтропиялар нөлге тең.
then the total system is a pure state, with entropy 0, while each individual subsystem is a maximally mixed state, with maximum von Neumann entropy Thus the joint entropy of the combined system is less than that of subsystems. This is because for entangled states, definite states cannot be assigned to subsystems, resulting in positive entropy. Notice that the above phenomenon cannot occur if a state is a separable pure state. In that case, the reduced states of the subsystems are also pure. Therefore, all entropies are zero.