Введение
Измерение информации в квантовой теории информации.
Совместная квантовая энтропия обобщает классическую совместную энтропию на контекст квантовой теории информации. Интуитивно, для двух квантовых состояний, представленных как операторы плотности, являющиеся подсистемами квантовой системы, совместная квантовая энтропия является мерой общей неопределенности или энтропии объединенной системы. Она записывается как или , в зависимости от используемого обозначения для энтропии фон Неймана. Как и другие энтропии, совместная квантовая энтропия измеряется в битах, то есть логарифм берется по основанию 2. В данной статье мы будем использовать обозначение для совместной квантовой энтропии.
The joint quantum entropy generalizes the classical joint entropy to the context of quantum information theory. Intuitively, given two quantum states and , represented as density operators that are subparts of a quantum system, the joint quantum entropy is a measure of the total uncertainty or entropy of the joint system. It is written or , depending on the notation being used for the von Neumann entropy. Like other entropies, the joint quantum entropy is measured in bits, i. e. the logarithm is taken in base 2. In this article, we will use for the joint quantum entropy.
Предыстория
В теории информации, для любой классической случайной величины, классическая энтропия Шеннона является мерой нашей неопределенности относительно её исхода. Например, если распределение вероятностей сосредоточено в одной точке, исход величины определен, и, следовательно, её энтропия равна нулю. С другой стороны, если распределение вероятностей является равномерным на возможных значениях, интуитивно можно ожидать, что оно связано с максимальной неопределенностью. Действительно, такие равномерные распределения вероятностей имеют максимально возможную энтропию.
In quantum information theory, the notion of entropy is extended from probability distributions to quantum states, or density matrices. For a state , the von Neumann entropy is defined by
Applying the spectral theorem, or Borel functional calculus for infinite dimensional systems, we see that it generalizes the classical entropy. The physical meaning remains the same. A maximally mixed state, the quantum analog of the uniform probability distribution, has maximum von Neumann entropy. On the other hand, a pure state, or a rank one projection, will have zero von Neumann entropy. We write the von Neumann entropy (or sometimes .
В квантовой теории информации понятие энтропии расширяется с распределений вероятностей на квантовые состояния, или матрицы плотности. Для состояния энтропия фон Неймана определяется следующим образом:
In quantum information theory, the notion of entropy is extended from probability distributions to quantum states, or density matrices. For a state , the von Neumann entropy is defined by
Applying the spectral theorem, or Borel functional calculus for infinite dimensional systems, we see that it generalizes the classical entropy. The physical meaning remains the same. A maximally mixed state, the quantum analog of the uniform probability distribution, has maximum von Neumann entropy. On the other hand, a pure state, or a rank one projection, will have zero von Neumann entropy. We write the von Neumann entropy (or sometimes .
Применяя спектральную теорему или функциональное исчисление Бореля для бесконечномерных систем, мы видим, что она обобщает классическую энтропию. Физический смысл остается тем же. Максимально смешанное состояние, квантовый аналог равномерного распределения вероятностей, имеет максимальную энтропию фон Неймана. С другой стороны, чистое состояние, или проекция ранга один, будет иметь нулевую энтропию фон Неймана. Мы записываем энтропию фон Неймана (или иногда ).
In quantum information theory, the notion of entropy is extended from probability distributions to quantum states, or density matrices. For a state , the von Neumann entropy is defined by
Applying the spectral theorem, or Borel functional calculus for infinite dimensional systems, we see that it generalizes the classical entropy. The physical meaning remains the same. A maximally mixed state, the quantum analog of the uniform probability distribution, has maximum von Neumann entropy. On the other hand, a pure state, or a rank one projection, will have zero von Neumann entropy. We write the von Neumann entropy (or sometimes .
Свойства
Классическая совместная энтропия всегда больше или равна энтропии каждой отдельной системы. Это не выполняется для совместной квантовой энтропии. Если квантовое состояние демонстрирует квантовую запутанность, то энтропия каждой подсистемы может превышать совместную энтропию. Это эквивалентно тому, что условная квантовая энтропия может быть отрицательной, в то время как классическая условная энтропия никогда не может быть отрицательной. Рассмотрим максимально запутанное состояние, такое как состояние Белла. Если является состоянием Белла, например, то общая система представляет собой чистое состояние с энтропией 0, в то время как каждая отдельная подсистема является максимально смешанным состоянием с максимальной энтропией фон Неймана. Таким образом, совместная энтропия объединенной системы меньше, чем энтропия подсистем. Это происходит потому, что для запутанных состояний нельзя однозначно определить состояния подсистем, что приводит к положительной энтропии. Следует отметить, что описанное явление невозможно для разделяемого чистого состояния. В этом случае редуцированные состояния подсистем также являются чистыми. Следовательно, все энтропии равны нулю.
then the total system is a pure state, with entropy 0, while each individual subsystem is a maximally mixed state, with maximum von Neumann entropy Thus the joint entropy of the combined system is less than that of subsystems. This is because for entangled states, definite states cannot be assigned to subsystems, resulting in positive entropy. Notice that the above phenomenon cannot occur if a state is a separable pure state. In that case, the reduced states of the subsystems are also pure. Therefore, all entropies are zero.