Кіріспе
Математикалық логикада дизъюнкция және барлық қасиеттері – Хайтинг арифметикасы және конструктивті жиын теориялары сияқты конструктивті теориялардың "ерекше белгілері".
Анықтамалар
Дисъюнкциялық қасиет теория қанағаттандырылса, егер A ∨ B сөйлем теорема болса, онда A немесе B теорема болады. Барлық қасиет немесе куәлік қасиет теория қанағаттандырылса, егер 1=(∃x)A(x) сөйлем теорема болса, мұнда A(x)-та басқа бос айнымалылар болмаса, онда теория 1=A(t) дәлелдейді, мұнда t – бір термин.
Қарым-қатынас қасиеттері
Раджен (2005) теорияның ие болуы мүмкін бес қасиетті тізбектей келеді. Оларға дисъюнкция қасиеті (DP), болмыс қасиеті (EP) және үш қосымша қасиет жатады:
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Сандық болмыс қасиеті (NEP) мынаны күйдіреді: егер теория φ-ны дәлелдейтін болса, онда φ-да басқа бос айнымалылар болмаса, теория кейбір n үшін дәлелдейді. Мұнда n санын көрсететін термин бар.
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Черч ережесі (CR) мынаны күйдіреді: егер теория -ны дәлелдейтін болса, онда e табиғи саны бар, сонда e индексі бар есептеуге болатын функция болса, теория -ны дәлелдейді.
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Черч ережесінің түрі CR1 мынаны күйдіреді: егер теория -ны дәлелдейтін болса, онда e табиғи саны бар, сонда теория толық екенін және -ны дәлелдейтінін көрсетеді.
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Бұл қасиеттерді тек табиғи сандар бойынша квантификациялай алатын және CR1 үшін -ден -ге дейінгі функциялар бойынша квантификациялай алатын теориялар үшін тікелей айтуға болады. Іс жүзінде, теорияның жоғарыда аталған қасиеттерінің бірі бар екенін айтуға болады, егер теорияның анықтамалық кеңейтілуі аталған қасиетке ие болса (Rathjen 2005).
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Үлгі емес және мысалдар
Қарама-қарсылықты қабылдайтын және тәуелсіз тұжырымдарға ие теория, анықтама бойынша, дизъюнкция қасиетіне ие болмайды. Сондықтан Робинсон арифметикасын көрсететін барлық классикалық теорияларда ол жоқ. Пеано арифметикасы және ZFC сияқты көптеген классикалық теориялар да болмыс қасиетін растамайды, мысалы, олар ең кіші сан принципінің болуын растайды. Бірақ ZFC плюс конструктивтілік аксиомасы сияқты кейбір классикалық теориялар болмыс қасиетінің әлсіз түріне ие (Rathjen 2005). Хейтинг арифметикасы дизъюнкция қасиеттерімен және (сандық) болмыс қасиеттерімен белгілі. Алғашқы нәтижелер арифметиканың конструктивті теориялары үшін алынса, көптеген нәтижелер конструктивті жиын теориялары үшін де белгілі (Rathjen 2005). Джон Михилл (1973) IZF-де алмастыру аксиомасы жинақтау аксиомасымен ауыстырылғанда дизъюнкция қасиеті, сандық болмыс қасиеті және болмыс қасиеті бар екенін көрсетті. Майкл Ратхен (2005) CZF-де дизъюнкция қасиеттері мен сандық болмыс қасиеттері бар екенін дәлелдеді. Фрейд және Сцедров (1990) дизъюнкция қасиетінің еркін Хейтинг алгебраларында және еркін топостарда болатынын байқады. Категориялық тұрғыдан алғанда, еркін топоста бұл терминалдық объектінің , екі тиісті субъектінің қосындысы емес екендігіне сәйкес келеді. Ол болмыс қасиетімен бірге ол бөлшектік емес проективті объект екендігі туралы тұжырымға аударады – ол көрсететін функтор (жаһандық қима функторы) эпиморфизмдерді және коөнімдерді сақтайды.
Тарих
Курт Гёдель (1932) қосымша аксиомаларсыз интуиционисттік пропозициялық логиканың дизъюнкция қасиетіне ие екенін дәлелсіз айтты; бұл нәтижені Герхард Гентцен (1934, 1935) интуиционисттік предикат логикасы үшін дәлелдеп, кеңейтті. Стивен Коул Клин (1945) Хейтинг арифметикасының дизъюнкция және экзистенция қасиеттері бар екенін дәлелдеді. Клиннің әдісі іске асырылатындық техникасын енгізді, ол қазір конструктивті теорияларды зерттеудегі басты әдістердің бірі болып табылады (Kohlenbach 2008; Troelstra 1973).