Введение
В математической логике свойства дизъюнкции и существования являются "отличительными признаками" конструктивных теорий, таких как арифметика Хейтинга и конструктивные теории множеств (Rathjen 2005).
Определения
Свойство дизъюнкции выполняется для теории, если всякий раз, когда предложение A ∨ B является теоремой, то либо A является теоремой, либо B является теоремой. Свойство существования или свойство свидетеля выполняется для теории, если всякий раз, когда предложение 1= (∃x)A(x) является теоремой, где A(x) не содержит других свободных переменных, то существует такой терм t, что теория доказывает 1=A(t).
Сопутствующие свойства
Rathjen (2005) перечисляет пять свойств, которыми может обладать теория. К ним относятся свойство дизъюнкции (DP), свойство существования (EP) и три дополнительных свойства:
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Свойство численного существования (NEP) утверждает, что если теория доказывает φ, где φ не содержит других свободных переменных, то теория доказывает φ(n) для некоторого n. Здесь n – терм в теории, представляющий число n.
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Правило Черча (CR) утверждает, что если теория доказывает ∃e φ(e), то существует натуральное число e такое, что, если f – вычислимая функция с индексом e, то теория доказывает φ(f).
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Вариант правила Черча, CR1, утверждает, что если теория доказывает ∃e φ(e), то существует натуральное число e такое, что теория доказывает, что функция f с индексом e является тотальной и доказывает φ(f).
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Эти свойства могут быть непосредственно выражены только для теорий, обладающих способностью к квантификации над натуральными числами, а для CR1 – к квантификации над функциями из N в N. На практике можно сказать, что теория обладает одним из этих свойств, если его обладает дефиниционное расширение этой теории (Rathjen 2005).
The numerical existence property (NEP) states that if the theory proves , where φ has no other free variables, then the theory proves for some Here is a term in representing the number n.
Church's rule (CR) states that if the theory proves then there is a natural number e such that, letting be the computable function with index e, the theory proves
A variant of Church's rule, CR1, states that if the theory proves then there is a natural number e such that the theory proves is total and proves
These properties can only be directly expressed for theories that have the ability to quantify over natural numbers and, for CR1, quantify over functions from to In practice, one may say that a theory has one of these properties if a definitional extension of the theory has the property stated above (Rathjen 2005).
Непримеры и примеры
Почти по определению, теория, принимающая исключённое третье, и имеющая независимые утверждения, не обладает свойством дизъюнкции. Следовательно, все классические теории, выражающие арифметику Робинсона, не обладают им. Большинство классических теорий, таких как арифметика Пеано и ZFC, в свою очередь, также не удовлетворяют свойству существования, например, потому что они удовлетворяют утверждению о существовании принципа наименьшего числа. Однако некоторые классические теории, такие как ZFC вместе с аксиомой конструктивности, обладают более слабой формой свойства существования (Rathjen 2005). Арифметика Гейтинга хорошо известна своим свойством дизъюнкции и (числовым) свойством существования. Хотя первые результаты были получены для конструктивных теорий арифметики, многие результаты также известны для конструктивных теорий множеств (Rathjen 2005). Джон Майхилл (1973) показал, что IZF с аксиомой замены, заменённой на аксиому выбора, обладает свойством дизъюнкции, свойством численного существования и свойством существования. Майкл Ратхен (2005) доказал, что CZF обладает свойством дизъюнкции и свойством численного существования. Фрейд и Сцедров (1990) отметили, что свойство дизъюнкции выполняется в свободных алгебрах Гейтинга и свободных топосах. В категориальных терминах, в свободном топосе, это соответствует тому факту, что терминальный объект, , не является объединением двух собственных подобъектов. Вместе со свойством существования это переводится в утверждение, что является неразложимым проективным объектом – функтор, который он представляет (функтор глобальных сечений), сохраняет эпиморфизмы и копроизведения.
История
Курт Гёдель (1932) без доказательства утверждал, что интуиционистская пропозициональная логика (без дополнительных аксиом) обладает свойством дизъюнкции; этот результат был доказан и расширен на интуиционистскую предикатную логику Герхардом Гентценом (1934, 1935). Стивен Коул Клин (1945) доказал, что арифметика Хейтинга обладает свойством дизъюнкции и свойством существования. Метод Клине ввёл технику реализуемости, которая сейчас является одним из основных методов в изучении конструктивных теорий (Kohlenbach 2008; Troelstra 1973).