Кіріспе

Фибоначчи тізбесінің бүтін санға қатысты модульдік кезеңі

Сандар теориясында, (n) деп белгіленетін н-ші Пизано кезеңі – n модулі бойынша алынған Фибоначчи сандарының тізбегінің қайталану периоды. Пизано кезеңдері Леонардо Пизаноның құрметіне аталған, ол Фибоначчи деп кеңінен танымал. Фибоначчи сандарының периодтық функцияларының болуын 1774 жылы Жозеф Луи Лагранж байқаған.

Циклдегі нөлдердің саны

Цикл бойынша 0 санының кездесу саны 1, 2 немесе 4-ке тең болады. p – 0, 1 комбинациясынан кейінгі алғашқы 0 саны болсын. 0-лер арасындағы қашықтық q болсын. p = 1 болса, циклде бір 0 болады. Бұл тек q жұп немесе n 1 немесе 2 болғанда ғана мүмкін. Әйтпесе, егер p² ≡ 1 (mod n) болса, циклде екі 0 болады. Бұл тек q жұп болғанда ғана мүмкін. Әйтпесе, циклде төрт 0 болады. Бұл жағдайда q тақ және n 1 немесе 2 болмаса. Жалпыланған Фибоначчи тізбектері үшін (бірдей рекурренттік қатынасты қанағаттандыратын, бірақ басқа бастапқы мәндері бар, мысалы, Лукас сандары) цикл бойынша 0 санының кездесу саны 0, 1, 2 немесе 4-ке тең болады. Пизано периодының n-ге және циклдегі n модуль бойынша нөлдер санына қатынасы n-нің пайда болу орнын немесе Фибоначчи кіріс нүктесін көрсетеді. Яғни, n F(k)-ны бөлетін ең кіші k индексі. Олар:

1, 3, 4, 6, 5, 12, 8, 6, 12, 15, 10, 12, 7, 24, 20, 12, 9, 12, 18, 30, 8, 30, 24, 12, 25, 21, 36, 24, 14, 60, 30, 24, 20, 9, 40, 12, 19, 18, 28, 30, 20, 24, 44, 30, 60, 24, 16, 12,

Реноның еңбегінде нөлдер саны F mod m "реттілігі" деп аталады, ал "пайда болу орны" – "ранг" деп аталады және белгіленеді. Уоллдың болжамына сәйкес, егер жасақ бөлшегіне жіктелсе, онда .