Введение

Период последовательности Фибоначчи по модулю целого числа

В теории чисел n-й период Пизано, обозначаемый как π(n), — это период, с которым последовательность чисел Фибоначчи, взятых по модулю n, повторяется. Периоды Пизано названы в честь Леонардо Пизано, более известного как Фибоначчи. Существование периодичности в числах Фибоначчи было отмечено Жозефом Луи Лагранжем в 1774 году.

Количество нулей в цикле

Количество нулей в цикле равно 1, 2 или 4. Пусть p – число, следующее за первым нулем после комбинации 0, 1. Пусть q – расстояние между нулями. В цикле есть ровно один нуль, если p = 1. Это возможно только если q четно или n равно 1 или 2. В противном случае в цикле два нуля, если p² ≡ 1 (mod n). Это возможно только если q четно. В противном случае в цикле четыре нуля. Это происходит, если q нечетно и n не равно 1 или 2. Для обобщенных последовательностей Фибоначчи (удовлетворяющих тому же соотношению рекуррентности, но с другими начальными значениями, например, числами Лукаса) количество нулей в цикле равно 0, 1, 2 или 4. Отношение периода Пизано n к числу нулей по модулю n в цикле дает ранг появления или точку входа Фибоначчи для n. То есть наименьший индекс k, такой что n делит F(k). Они следующие:

1, 3, 4, 6, 5, 12, 8, 6, 12, 15, 10, 12, 7, 24, 20, 12, 9, 12, 18, 30, 8, 30, 24, 12, 25, 21, 36, 24, 14, 60, 30, 24, 20, 9, 40, 12, 19, 18, 28, 30, 20, 24, 44, 30, 60, 24, 16, 12,

В статье Рено количество нулей называется «порядком» F mod m и обозначается , а «ранг появления» называется «рангом» и обозначается . Согласно гипотезе Уолла, если имеет простое разложение , то .