Аймақтық жылдамдық және бұрыштық импульстің сақталуы
Areal velocity
Айналымдық жылдамдық – классикалық механикадағы бөлшектің қисық бойымен қозғалу кезінде ауданды өзгертү жылдамдығы. Жылдамдық м²/с өлшеніп, L²T¹ өлшеміне ие.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Классикалық механикадан термин
Term from classical mechanics
Классикалық механикада аудандық жылдамдық (секторлық жылдамдық деп те аталады) — псевдовектор, оның ұзындығы бөлшектің қисық бойымен қозғалғанда қамтитын ауданның өзгеру жылдамдығына тең. Оның SI бірліктері секундына шаршы метр (м²/с) және өлшемдері уақыт бойынша шаршы ұзындық L²T⁻¹. Қоса берілген суретте, бөлшек көк түсті қисық бойымен қозғалатынын көріңіз. Белгілі бір t уақытында бөлшек B нүктесінде орналасқан, ал кейін, t + Δt уақытында, бөлшек C нүктесіне жетеді. Бөлшек қамтитын аймақ суретте жасыл түспен көрсетілген, ол AB және AC түзу кесінділерімен және бөлшектің қозғалатын қисығымен шектелген. Аудандық жылдамдықтың шамасы (яғни, аудандық жылдамдық) — бұл аймақтың ауданы Δt уақыт аралығына бөлінгенде, Δt нөлге жақындағандағы шегі. Вектор бағыты бөлшектің координат және жылдамдық векторларын қамтитын жазықтыққа перпендикуляр болып табылады, бұл оң қол ережесі деп аталатын конвенцияға сәйкес. Аудандық жылдамдықтың сақталуы — орталық күш әсерімен қозғалыстың жалпы қасиеті және классикалық механика шеңберінде бұрыштық импульстің сақталуымен тең.
In classical mechanics, areal velocity (also called sector velocity or sectorial velocity) is a pseudovector whose length equals the rate of change at which area is swept out by a particle as it moves along a curve. It has SI units of square meters per second (m2/s) and dimension of square length per time L2 T 1. In the adjoining figure, suppose that a particle moves along the blue curve. At a certain time t, the particle is located at point B, and a short while later, at time t + Δt, the particle has moved to point C. The region swept out by the particle is shaded in green in the figure, bounded by the line segments AB and AC and the curve along which the particle moves. The areal velocity magnitude (i. e., the areal speed) is this region's area divided by the time interval Δt in the limit that Δt becomes vanishingly small. The vector direction is postulated to be normal to the plane containing the position and velocity vectors of the particle, following a convention known as the right hand rule. Conservation of areal velocity is a general property of central force motion, and, within the context of classical mechanics, is equivalent to the conservation of angular momentum.
Бұрыштық импульспен байланысы
Аралдық жылдамдық бұрыштық импульспен тығыз байланысты. Кез келген дененің орбиталық бұрыштық импульсі болады, және ол сол бастапқы нүктеге қатысты дененің ареалдық жылдамдығына тең, көбейту скалярлық тұрақтыға дейін. Бұрыштық импульстің маңызды қасиеті – ол орталық күштердің әсерінен сақталады (яғни, радиалды бағытта немесе бастапқы нүктеге қарай немесе одан алыс әрекет ететін күштер). Тарихи тұрғыдан алғанда, бұрыштық импульстің сақталу заңы толығымен ареалдық жылдамдықпен сипатталған. Бұл Кеплердің екінші заңының ерекше жағдайы, ол планетаның Күнді бастапқы нүкте ретінде алғандағы ареалдық жылдамдығы уақытқа қарай тұрақты екенін көрсетеді. Планетаға әсер ететін гравитациялық күш шамамен орталық күш болып табылады (өйткені планетаның массасы Күннің массасына қарағанда кішкентай), сондықтан планетаның бұрыштық импульсі (демек, ареалдық жылдамдығы) (шамамен) тұрақты болуы керек. Исаак Ньютон Кеплердің екінші заңының динамикалық маңыздылығын бірінші болып таныған ғалым болды. Ол 1684 жылы қозғалыс заңдарының көмегімен, белгілі бір ортаға тартылатын кез келген планета тең уақыт аралығында тең аудандарды жуып тастайтынын дәлелдеді. Осы себепті бұрыштық импульстің сақталу заңы тарихи түрде «тең аудандар принципі» деп аталды. Бұрыштық импульстің сақталу заңы кейінірек кеңейтілді және ареалдық жылдамдық түсінігі арқылы оңай сипатталмайтын күрделі жағдайларға жалпыландырылды. Бұрыштық импульстің сақталу заңының қазіргі түрі Кеплердің екінші заңынан әлдеқайда көп нәрсені қамтитындықтан, қазіргі жұмыстарда «тең аудандар принципі» деген атау алынып тасталды. + Эксцентрицитеттері әртүрлі планеталардың орбиталары. Қызыл сәуле тұрақты бұрыштық жылдамдықпен және планетамен бірдей орбиталық кезеңмен айналады, S: Күн негізгі фокуста, C: Эллипстің центрі, S': Екіншілік фокус. Әр жағдайда көрсетілген барлық секторлардың ауданы бірдей. Төмен Жоғары
Areal velocity is closely related to angular momentum. Any object has an orbital angular momentum about an origin, and this turns out to be, up to a multiplicative scalar constant, equal to the areal velocity of the object about the same origin. A crucial property of angular momentum is that it is conserved under the action of central forces (i. e. forces acting radially toward or away from the origin). Historically, the law of conservation of angular momentum was stated entirely in terms of areal velocity. A special case of this is Kepler's second law, which states that the areal velocity of a planet, with the sun taken as origin, is constant with time. Because the gravitational force acting on a planet is approximately a central force (since the mass of the planet is small in comparison to that of the sun), the angular momentum of the planet (and hence the areal velocity) must remain (approximately) constant. Isaac Newton was the first scientist to recognize the dynamical significance of Kepler's second law. With the aid of his laws of motion, he proved in 1684 that any planet that is attracted to a fixed center sweeps out equal areas in equal intervals of time. For this reason, the law of conservation of angular momentum was historically called the "principle of equal areas". The law of conservation of angular momentum was later expanded and generalized to more complicated situations not easily describable via the concept of areal velocity. Since the modern form of the law of conservation of angular momentum includes much more than just Kepler's second law, the designation "principle of equal areas" has been dropped in modern works. + Orbits of planets with varying eccentricities. The red ray rotates at a constant angular velocity and with the same orbital time period as the planet, S: Sun at the primary focus, C: Centre of ellipse, S': The secondary focus. In each case, the area of all sectors depicted is identical. Low High
Магниттік диполдармен байланысы
Аралдық жылдамдық классикалық электродинамикадағы магниттік дипольдер тұжырымдамасымен тығыз байланысты. Кез келген электр тогы берілген нүктеге қатысты магниттік диполь моменті деп аталатын (псевдо)векторлық шамаға ие. Егер ток бір ғана қозғалатын нүктелік зарядтан тұрса, онда кез келген нүктеге қатысты магниттік диполь моменті скалярлық коэффициентке дейін сол нүктеге қатысты зарядтың аралдық жылдамдығына тең болады. Ток көптеген, бірақ шекті сандағы қозғалатын нүктелік зарядтардан тұрған жағдайда, магниттік диполь моменті зарядтардың әрқайсысының диполь моменттерінің қосындысы болып табылады, демек, ол барлық зарядтардың аралдық жылдамдықтарының қосындысына пропорционалды. Токтағы зарядтардың саны шексіз болатын үздіксіздік лимитінде қосынды интегралға айналады; яғни, берілген нүктеге қатысты үздіксіз токтын магниттік диполь моменті скалярлық коэффициентке дейін ток жолы бойынша аралдық жылдамдық интегралына тең. Егер ток жолы жабық контур болса және ток контурдың барлық нүктелерінде бірдей болса, онда бұл интеграл таңдалған нүктеге тәуелді болмайды, сондықтан магниттік диполь моменті ток контурымен байланысты негізгі тұрақты болады.
Areal velocity is also closely related to the concept of magnetic dipoles in classical electrodynamics. Every electric current possesses a (pseudo)vectorial quantity called a magnetic dipole moment about a given origin. In the special case that the current consists of a single moving point charge, the magnetic dipole moment about any given origin turns out to be, up to a scalar factor, equal to the areal velocity of the charge about the same origin. In the more general case where the current consists of a large but finite number of moving point charges, the magnetic dipole moment is the sum of the dipole moments of each of the charges, and hence, is proportional to the sum of the areal velocities of all the charges. In the continuity limit where the number of charges in the current becomes infinite, the sum becomes an integral; i. e., the magnetic dipole moment of a continuous current about a given origin is, up to a scalar factor, equal to the integral of the areal velocity along the current path. If the current path happens to be a closed loop and if the current is the same at all points in the loop, this integral turns out to be independent of the chosen origin, so that the magnetic dipole moment becomes a fundamental constant associated with the current loop.