Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Термин из классической механики
Term from classical mechanics
В классической механике площадная скорость (также называемая угловой скоростью или секторной скоростью) — это псевдовектор, величина которого равна скорости изменения площади, описываемой частицей при движении по кривой. Она измеряется в квадратных метрах в секунду (м²/с) в системе СИ и имеет размерность квадрат длины, делённую на время (L²T⁻¹). На прилегающем рисунке предположим, что частица движется по синей кривой. В некоторый момент времени t частица находится в точке B, а через короткий промежуток времени t + Δt — в точке C. Область, описываемая частицей, заштрихована зелёным цветом и ограничена отрезками AB и AC, а также кривой, по которой движется частица. Величина площадной скорости (то есть угловая скорость) равна площади этой области, делённой на интервал времени Δt, при стремлении Δt к нулю. Направление вектора считается нормальным к плоскости, содержащей радиус-вектор и вектор скорости частицы, в соответствии с правилом правой руки. Сохранение площадной скорости — общее свойство движения в центральном силовом поле и, в рамках классической механики, эквивалентно сохранению углового момента.
In classical mechanics, areal velocity (also called sector velocity or sectorial velocity) is a pseudovector whose length equals the rate of change at which area is swept out by a particle as it moves along a curve. It has SI units of square meters per second (m2/s) and dimension of square length per time L2 T 1. In the adjoining figure, suppose that a particle moves along the blue curve. At a certain time t, the particle is located at point B, and a short while later, at time t + Δt, the particle has moved to point C. The region swept out by the particle is shaded in green in the figure, bounded by the line segments AB and AC and the curve along which the particle moves. The areal velocity magnitude (i. e., the areal speed) is this region's area divided by the time interval Δt in the limit that Δt becomes vanishingly small. The vector direction is postulated to be normal to the plane containing the position and velocity vectors of the particle, following a convention known as the right hand rule. Conservation of areal velocity is a general property of central force motion, and, within the context of classical mechanics, is equivalent to the conservation of angular momentum.
Связь с угловым моментом
Площадная скорость тесно связана с угловым моментом. Любой объект обладает орбитальным угловым моментом относительно начала координат, и этот момент, вплоть до скалярного множителя, равен площадной скорости объекта относительно того же начала координат. Важным свойством углового момента является его сохранение под действием центральных сил (то есть сил, направленных радиально к началу координат или от него). Исторически закон сохранения углового момента формулировался исключительно в терминах площадной скорости. Частным случаем этого является второй закон Кеплера, который утверждает, что площадная скорость планеты, при выборе Солнца в качестве начала координат, постоянна во времени. Поскольку сила гравитации, действующая на планету, является приблизительно центральной силой (ввиду малой массы планеты по сравнению с массой Солнца), угловой момент планеты (и, следовательно, площадная скорость) должен оставаться (приблизительно) постоянным. Исаак Ньютон первым осознал динамическую значимость второго закона Кеплера. Используя свои законы движения, он доказал в 1684 году, что любая планета, притягиваемая к фиксированному центру, заметает равные площади за равные промежутки времени. По этой причине закон сохранения углового момента исторически назывался "принципом равных площадей". Позднее закон сохранения углового момента был расширен и обобщён для более сложных ситуаций, которые нелегко описать с помощью понятия площадной скорости. Поскольку современная формулировка закона сохранения углового момента включает в себя гораздо больше, чем просто второй закон Кеплера, обозначение "принцип равных площадей" было исключено из современных работ. + Орбиты планет с различной эксцентриситетом. Красный луч вращается с постоянной угловой скоростью и с тем же периодом обращения, что и планета. S: Солнце в главном фокусе, C: Центр эллипса, S': Вторичный фокус. В каждом случае площадь всех изображённых секторов одинакова. Низкий Высокий
Areal velocity is closely related to angular momentum. Any object has an orbital angular momentum about an origin, and this turns out to be, up to a multiplicative scalar constant, equal to the areal velocity of the object about the same origin. A crucial property of angular momentum is that it is conserved under the action of central forces (i. e. forces acting radially toward or away from the origin). Historically, the law of conservation of angular momentum was stated entirely in terms of areal velocity. A special case of this is Kepler's second law, which states that the areal velocity of a planet, with the sun taken as origin, is constant with time. Because the gravitational force acting on a planet is approximately a central force (since the mass of the planet is small in comparison to that of the sun), the angular momentum of the planet (and hence the areal velocity) must remain (approximately) constant. Isaac Newton was the first scientist to recognize the dynamical significance of Kepler's second law. With the aid of his laws of motion, he proved in 1684 that any planet that is attracted to a fixed center sweeps out equal areas in equal intervals of time. For this reason, the law of conservation of angular momentum was historically called the "principle of equal areas". The law of conservation of angular momentum was later expanded and generalized to more complicated situations not easily describable via the concept of areal velocity. Since the modern form of the law of conservation of angular momentum includes much more than just Kepler's second law, the designation "principle of equal areas" has been dropped in modern works. + Orbits of planets with varying eccentricities. The red ray rotates at a constant angular velocity and with the same orbital time period as the planet, S: Sun at the primary focus, C: Centre of ellipse, S': The secondary focus. In each case, the area of all sectors depicted is identical. Low High
Связь с магнитными диполями
Площадная скорость также тесно связана с понятием магнитных диполей в классической электродинамике. Каждый электрический ток обладает (псевдо)векторной величиной, называемой магнитным дипольным моментом относительно заданной точки отсчета. В частном случае, когда ток состоит из единственного движущегося точечного заряда, магнитный дипольный момент относительно любой заданной точки отсчета оказывается, с точностью до скалярного множителя, равным площадной скорости этого заряда относительно той же точки отсчета. В более общем случае, когда ток состоит из большого, но конечного числа движущихся точечных зарядов, магнитный дипольный момент является суммой дипольных моментов каждого из зарядов и, следовательно, пропорционален сумме площадных скоростей всех зарядов. В пределе непрерывности, когда число зарядов в токе становится бесконечно большим, сумма переходит в интеграл; то есть магнитный дипольный момент непрерывного тока относительно заданной точки отсчета равен, с точностью до скалярного множителя, интегралу площадной скорости по траектории тока. Если траектория тока представляет собой замкнутый контур и ток одинаков во всех точках контура, то этот интеграл оказывается независимым от выбранной точки отсчета, и магнитный дипольный момент становится фундаментальной константой, характеризующей этот контур тока.
Areal velocity is also closely related to the concept of magnetic dipoles in classical electrodynamics. Every electric current possesses a (pseudo)vectorial quantity called a magnetic dipole moment about a given origin. In the special case that the current consists of a single moving point charge, the magnetic dipole moment about any given origin turns out to be, up to a scalar factor, equal to the areal velocity of the charge about the same origin. In the more general case where the current consists of a large but finite number of moving point charges, the magnetic dipole moment is the sum of the dipole moments of each of the charges, and hence, is proportional to the sum of the areal velocities of all the charges. In the continuity limit where the number of charges in the current becomes infinite, the sum becomes an integral; i. e., the magnetic dipole moment of a continuous current about a given origin is, up to a scalar factor, equal to the integral of the areal velocity along the current path. If the current path happens to be a closed loop and if the current is the same at all points in the loop, this integral turns out to be independent of the chosen origin, so that the magnetic dipole moment becomes a fundamental constant associated with the current loop.