Түрбуленттік ағынның математикалық үлгісі: LES туралы біліңіз. Есептеу сұйық динамикасында қолданылады, DNS-тен арзан, күрделі жүйелерді модельдеуге көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Турбулентті математикалық модель
Mathematical model for turbulence
Ірі бұйымдық симуляция (LES) – есептік сұйықтық динамикасында қолданылатын турбулентті математикалық модель. Оны алғаш рет 1963 жылы Джозеф Смагоринский атмосфералық ауа ағымдарын модельдеу үшін ұсынды, ал алғаш зерттеген – Дирдорф (1970). Қазіргі уақытта LES жану, акустика және атмосфералық шекаралық қабатты модельдеу сияқты инженерлік қолданулардың кең ауқымында қолданылады. Турбулентті ағындарды Навье-Стокстің теңдеулерін сандық түрде шешу арқылы модельдеу үшін өте кең уақыт және ұзындық масштабтарын анықтау қажет, олардың барлығы ағын өрісіне әсер етеді. Мұндай анықтамаға тікелей сандық симуляция (DNS) арқылы қол жеткізуге болады, бірақ DNS есептеу жағынан қымбат, және оның құны күрделі геометриясы немесе ағын конфигурациялары бар практикалық инженерлік жүйелерді, мысалы, турбулентті ағындар, сорғылар, көлік құралдары және қону шассилерін модельдеуге кедерілді. LES-тің негізгі идеясы – ең кішкентай ұзындық масштабтарын елемеу арқылы есептеу шығындарын азайту, оларды Навье-Стокстің теңдеулерін төмен өткізу сүзгісі арқылы анықтау ең қымбат. Уақыт және кеңістікті орташалау ретінде қарастырылатын мұндай төмен өткізу сүзгісі сандық шешімнен ұсақ масштабты ақпаратты тиімді түрде жояды. Алайда, бұл ақпарат маңызды емес емес, және оның ағын өрісіне тигізетін әсерін модельдеу қажет, бұл шағын масштабтар маңызды рөл атқаратын мәселелер үшін зерттеудің белсенді саласы болып табылады, мысалы, қабырғаға жақын ағындар, реакциялық ағындар.
Large eddy simulation (LES) is a mathematical model for turbulence used in computational fluid dynamics. It was initially proposed in 1963 by Joseph Smagorinsky to simulate atmospheric air currents, and first explored by Deardorff (1970). LES is currently applied in a wide variety of engineering applications, including combustion, acoustics, and simulations of the atmospheric boundary layer. The simulation of turbulent flows by numerically solving the Navier–Stokes equations requires resolving a very wide range of time and length scales, all of which affect the flow field. Such a resolution can be achieved with direct numerical simulation (DNS), but DNS is computationally expensive, and its cost prohibits simulation of practical engineering systems with complex geometry or flow configurations, such as turbulent jets, pumps, vehicles, and landing gear. The principal idea behind LES is to reduce the computational cost by ignoring the smallest length scales, which are the most computationally expensive to resolve, via low pass filtering of the Navier–Stokes equations. Such a low pass filtering, which can be viewed as a time and spatial averaging, effectively removes small scale information from the numerical solution. This information is not irrelevant, however, and its effect on the flow field must be modelled, a task which is an active area of research for problems in which small scales can play an important role, such as near wall flows, reacting flows,
Сүзгі анықтамасы мен қасиеттері
LES сүзгісі кеңістіктік және уақыт өрісіне қолданылып, кеңістіктік сүзгілеу, уақыт сүзгілеу немесе екеуінің де операцияларын жүзеге асыруға мүмкіндік береді. Сүзгіленген өріс, жолақпен белгіленеді:
An LES filter can be applied to a spatial and temporal field and perform a spatial filtering operation, a temporal filtering operation, or both. The filtered field, denoted with a bar, is defined as:
мұнда – сүзгінің конволюциялық ядросы. Бұл былайша да жазылуы мүмкін:
where is the filter convolution kernel. This can also be written as:
Сүзгі ядросының кесілу ұзындығы мен кесілу уақыт өлшемі болады. Бұл мәндерден кіші өлшемдер алынып тасталады. Жоғарыдағы сүзгі анықтамасын қолдана отырып, кез келген өріс сүзгіленген және суб-сүзгіленген (сызықшамен белгіленеді) бөліктерге бөлінеді, яғни
The filter kernel has an associated cutoff length scale and cutoff time scale Scales smaller than these are eliminated from Using the above filter definition, any field may be split up into a filtered and sub filtered (denoted with a prime) portion, as
Ірі бұрқақты модельдеу сүзгілеу операциясы Рейнольдс операторының қасиеттерін қанағаттандырмайтынын ескеру қажет.
It is important to note that the large eddy simulation filtering operation does not satisfy the properties of a Reynolds operator.
Сүзгіленген басқару теңдеулері
LES басқару теңдеулері ағын өрісін басқаратын дербес дифференциалдық теңдеулерді сүзгілеу арқылы шығарылады. Қысылмайтын және қысылатын LES басқару теңдеулері арасында айырмашылықтар бар, бұл жаңа сүзгілеу амалын анықтауға себеп болады.
The governing equations of LES are obtained by filtering the partial differential equations governing the flow field There are differences between the incompressible and compressible LES governing equations, which lead to the definition of a new filtering operation.
ЛЭС үшін сандық әдістер
Үлкен айналымдық симуляция есептеулік сұйықтық динамикасын қолдана отырып, дискретті сүзгіленген басқару теңдеулерін шешуді қамтиды. LES доменнің мөлшерінен бастап сүзгінің мөлшеріне дейінгі масштабтарды анықтайды, сондықтан жоғары толқын саны бар турбуленттік ауытқулардың маңызды бөлігін шешу қажет. Бұл үшін жоғары дәрежелі сандық схемалар немесе төмен дәрежелі сандық схемалар қолданылса, ұсақ торлы дискретизация қажет. Pope-тың 13-тарауында көрсетілгендей, төмен дәрежелі дискреттеу схемалары үшін, мысалы, шекті көлем әдістерінде қолданылатындар үшін, кесу қатесі сүзгінің ені тор аралығынан едәуір үлкен болмаса, субфильтрлік масштабтық үлестермен бірдей болуы мүмкін. Жұп дәрежелі схемалар кесу қатесіне ие болғанымен, олар диссипативті емес, ал субфильтрлік масштабтық модельдер диссипативті болғандықтан, жұп дәрежелі схемалар диссипативті схемалар сияқты субфильтрлік масштабтық модельдерге күшті әсер етпейді.
Large eddy simulation involves the solution to the discrete filtered governing equations using computational fluid dynamics. LES resolves scales from the domain size down to the filter size , and as such a substantial portion of high wave number turbulent fluctuations must be resolved. This requires either high order numerical schemes, or fine grid resolution if low order numerical schemes are used. Chapter 13 of Pope found that for low order discretization schemes, such as those used in finite volume methods, the truncation error can be the same order as the subfilter scale contributions, unless the filter width is considerably larger than the grid spacing While even order schemes have truncation error, they are non dissipative, and because subfilter scale models are dissipative, even order schemes will not affect the subfilter scale model contributions as strongly as dissipative schemes.
Функционалдық (эди-жиілік) модельдер
Функционалдық модельдер құрылымдық модельдерге қарағанда қарапайым, тек физикалық тұрғыдан дұрыс жылдамдықпен энергияны таратуға бағытталған. Олар жасанды бұрқанақты тұтқырлық тәсіліне негізделген, онда турбуленттіліктің әсері турбулентті тұтқырлыққа біріктіріледі. Бұл тәсіл кинетикалық энергияның тор көзінен төменгі масштабтағы диссипациясын молекулалық диффузияға ұқсас деп қарастырады. Осы жағдайда, deviatoric бөлігі былай моделденеді:
Functional models are simpler than structural models, focusing only on dissipating energy at a rate that is physically correct. These are based on an artificial eddy viscosity approach, where the effects of turbulence are lumped into a turbulent viscosity. The approach treats dissipation of kinetic energy at sub grid scales as analogous to molecular diffusion. In this case, the deviatoric part of is modeled as:
мұнда турбулентті бұрқанақты тұтқырлық, ал деформация жылдамдығы тензоры. Өлшемдік талдауға сүйенсек, бұрқанақты тұтқырлықтың өлшем бірліктері болуы керек. Көптеген бұрқанақты тұтқырлық SGS модельдері бұрқанақты тұтқырлықты сипаттамалық ұзындық өлшемі мен сипаттамалық жылдамдық өлшемінің көбейтіндісі ретінде моделдейді.
where is the turbulent eddy viscosity and is the rate of strain tensor. Based on dimensional analysis, the eddy viscosity must have units of Most eddy viscosity SGS models model the eddy viscosity as the product of a characteristic length scale and a characteristic velocity scale.