Сұйық ағындарының талдауы мен шешімі

Кіріспе

Сұйықтық ағындарын қамтитын проблемаларды талдау және шешу. Есептеулік сұйықтық динамикасы (CFD) – сандық талдау және дерек құрылымдарын қолдана отырып, сұйықтық ағындарын қамтитын проблемаларды талдау және шешуге арналған сұйықтық механикасының бір саласы. Компьютерлер сұйықтың еркін ағынын және шекаралық шарттармен анықталған беттермен сұйықтың (сұйықтықтар мен газдардың) өзара әрекеттесуін модельдеуге қажетті есептеулерді жүргізу үшін пайдаланылады. Жоғары жылдамдықты суперкомпьютерлердің көмегімен жақсырақ шешімдерге қол жеткізуге болады, және бұл ең ірі және күрделі проблемаларды шешу үшін көбінесе қажет. Ағымдағы зерттеулер күрделі модельдеу сценарийлерінің, мысалы, трансоникалық немесе турбулентті ағындардың дәлдігі мен жылдамдығын арттыратын бағдарламалық жасақтаманы ұсынады. Мұндай бағдарламалық жасақтаманың алғашқы тексеруі көбінесе жел тоннельдері сияқты тәжірибелік құралдарды пайдалану арқылы жүзеге асырылады. Сонымен қатар, нақты проблеманың бұрынғы талдамалық немесе эмпирикалық талдауын салыстыру үшін қолдануға болады. Соңғы растау көбінесе ұшу сынақтары сияқты толық масштабты сынақтар арқылы жүргізіледі. CFD аэродинамика және ғарыш талдауы, гипердыбыстық, ауа райының модельдеуі, табиғи ғылымдар және экологиялық инженерия, өнеркәсіптік жүйелерді жобалау және талдау, биологиялық инженерия, сұйықтық ағыны және жылу алмасу, қозғалтқыш және жану талдауы, сондай-ақ фильмдер мен ойындар үшін визуализация эффектілері сияқты көптеген ғылыми-зерттеу және инженерлік проблемаларды шешуде қолданылады.

Негізгі деректер

CFD проблемаларының негізгі негізі – көптеген бір фазалы (газ немесе сұйық, бірақ екеуі де емес) сұйықтық ағындарын анықтайтын Навье–Стокс теңдеулері. Бұл теңдеулерді тұтқырлық әрекеттерін сипаттайтын терминдерді алып тастау арқылы Эйлер теңдеулеріне оңайлатуға болады. Бұдан әрі жеңілдету, бұрқасындылықты сипаттайтын терминдерді алып тастау арқылы толық потенциал теңдеулеріне келіп тіреледі. Соңында, субсоникалық және суперсоникалық ағымдардағы (трансоникалық немесе гиперсоникалық емес) шағын өзгерістер үшін бұл теңдеулерді сызықтық потенциал теңдеулерін алу үшін сызықтыққа келтіруге болады. Тарихи тұрғыдан алғанда, әдістер алғаш рет сызықтық потенциал теңдеулерін шешу үшін жасалды. 1930 жылдары цилиндр маңындағы ағынды қанат маңындағы ағынға конформациялық түрлендіруді пайдаланатын екі өлшемді (2D) әдістер әзірленді. Қазіргі заманғы CFD-ге ұқсас есептеулердің ең ерте мысалдарының бірі – Льюис Фрай Ричардсонның есептеулері, себебі бұл есептеулер шекті айырмашылықтарды пайдаланып, физикалық кеңістікті жасушаларға бөлді. Олар үлкен сәтсіздікке ұшыраса да, бұл есептеулер Ричардсонның «Сандық процестің көмегімен ауа райын болжау» кітабымен бірге қазіргі заманғы CFD және сандық метеорологияның негізін қалады. Шын мәнінде, 1940 жылдары ENIAC-ті пайдалана отырып жасалған CFD-нің алғашқы есептеулері Ричардсонның 1922 жылғы кітабындағы әдістерге жақын әдістерді қолданды. Қолда бар компьютерлік қуат үш өлшемді әдістерді дамытуға мүмкіндік берді. Вероятно, суақтың ағынын модельдеу үшін компьютерлерді қолданудағы алғашқы жұмыс, Навье–Стокс теңдеулері бойынша, Лос-Аламос Ұлттық зертханасында, T3 тобында орындалды. Бұл топты CFD-нің пионері саналатын Фрэнсис Х. Харлоу басқарды. 1957 жылдан 1960 жылдардың соңына дейін бұл топ екі өлшемді сұйықтық ағындарын симуляциялау үшін сандық әдістердің әртүрлі түрлерін, мысалы, жасушадағы бөлшектер әдісі, жасушадағы сұйықтық, бұрқасынды ағын функциясының әдісі және маркер мен жасуша әдісін әзірледі. Фроммның 2D, өткінші, сығылмайтын ағын үшін айналу ағындылық функциясы әдісі әлемдегі қатты бұрмаланатын сығылмайтын ағындыларды алғашқы емдеу болды. Үш өлшемді модельді алғашқы мақала 1967 жылы Джон Хесс және А. М. О. Смит Дуглас Авиакомпаниясынан жариялады. Бұл әдіс геометрияның бетін панельдерге бөлді, осы бағдарламалар класы Панельдік әдістер деп аталды. Олардың әдісі оңайлатылған, өйткені ол көтергіш ағындыларды қамтымайды, сондықтан негізінен кеме корпустары мен ұшақ фюзеляждарына қолданылды. Алғашқы көтергіш панель коды (A230) 1968 жылы Пол Рубберт пен Гари Саарис Boeing Aircraft компаниясының мақаласында сипатталды. Уақыт өте келе, Boeing (PANAIR, A502), Lockheed (Quadpan), Douglas (HESS), McDonnell Aircraft (MACAERO), NASA (PMARC) және Analytical Methods (WBAERO, USAERO және VSAERO) компанияларында үш өлшемді панель кодтары дамыды. Кейбіреулері (PANAIR, HESS және MACAERO) жоғары тәртіптегі кодтар болды, олар беттік сингулярлықтардың жоғары тәртіптегі үлестірілімдерін қолданды, ал басқалары (Quadpan, PMARC, USAERO және VSAERO) әрбір беттік панельде бірден-бір сингулярлықтарды қолданды. Төменгі реттік кодтардың артықшылығы сол кездегі компьютерлерде әлдеқайда жылдам жұмыс істеуі болды. Бүгінгі таңда VSAERO көп тапсырыс кодына айналды және осы кластың ең көп қолданылатын бағдарламасы болып табылады. Ол көптеген су асты кемелерін, су үстіндегі кемелерді, автомобильдерді, тікұшақтарды, ұшақтарды және соңғы уақытта жел турбиналарын жасау үшін пайдаланылды. Оның бауырлас коды USAERO – бұл тұрақсыз панель әдісі, ол сондай-ақ жоғары жылдамдықты пойыздар мен жарыс яхталарын модельдеу үшін пайдаланылды. NASA PMARC коды VSAERO-ның ерте нұсқасынан және CMARC деп аталатын PMARC туындысынан коммерциялық түрде қол жетімді. Екі өлшемді саласында аэродинамикалық талдау және жобалау үшін бірқатар Панельдік кодтар әзірленді. Кодтар әдетте шекаралық қабатты талдауды қамтиды, сондықтан тұтқырлық әсерлерін модельдеуге болады. Бұл кодты 1980 жылдардың басында пайда болған PROFILE бағдарламасы әзірледі. Көп ұзамай Марк Дреланың XFOIL коды пайда болды. PROFILE және XFOIL екі өлшемді панельдік кодтарды, аэродинамикалық талдау жұмыстарын жүргізу үшін біріктірілген шекаралық қабат кодтарымен біріктіреді. PROFILE конформациялық түрлендіру әдісін кері аэродинамикалық конструкция үшін қолданады, ал XFOIL конформациялық түрлендіру және аэродинамикалық конструкция үшін кері панель әдісін қолданады. Панельдік кодтар мен толық потенциал кодтарының арасындағы аралық қадам Трансоникалық кішігірім бұзылу теңдеулерін пайдаланатын кодтар болды. Әсіресе, 1980 жылдардың басында Чарли Боппе Grumman Aircraft компаниясынан әзірлеген үш өлшемді WIBCO коды кеңінен қолданылды. Панельдік әдістер трансоникалық жылдамдықтардағы сызықтық емес ағынды есептей алмағандықтан дамытушылар толық потенциал кодтарына көшті. Толық потенциал теңдеулерін пайдаланудың жолын алғаш рет 1970 жылы Эрл Мурман мен Джулиан Коул Boeing компаниясынан жариялады. Program H-тың одан әрі дамуы Боб Мельник және оның Grumman Aerospace тобынан Grumfoil ретінде жасалды. Антоні Джеймсон, бастапқыда Grumman Aircraft және NYU-дың Courant институтында жұмыс істеді, Дэвид Коугимен бірлесіп 1975 жылы маңызды үш өлшемді толық потенциал коды FLO22-ні әзірледі. Осыдан кейін көптеген толық потенциал кодтары пайда болды, Boeing-тің Tranair (A633) кодымен аяқталды, ол әлі де кеңінен қолданылады. Келесі қадам – Эйлер теңдеулері, олар трансоникалық ағындардың дәлірек шешімдерін беруге мүмкіндік береді. Джеймсонның үш өлшемді FLO57 кодында (1981) қолданған әдістеме басқалар Lockheed-тің TEAM бағдарламасы және IAI/Analytical Methods-тің MGAERO бағдарламасын жасау үшін пайдаланылды. MGAERO ерекшелігі – құрылымдалған картезиандық торды қолдануы, ал көптеген басқа кодтар құрылымдалған денеге бейімделген торларды пайдаланады (NASA-ның өте табысты CART3D коды, Lockheed-тің SPLITFLOW коды және Georgia Tech-тің NASCART GT ерекшеліктерінен басқа). Антоні Джеймсон үш өлшемді AIRPLANE кодын да әзірледі, ол құрылымсыз төртбұрышты торларды пайдаланды. Екі өлшемді саласында Марк Дрела мен Майкл Гилз, сол кезде MIT аспиранттары, аэродинамикалық жобалау және талдау үшін ISES Euler бағдарламасын (іс жүзінде бағдарламалар жиынтығы) әзірледі. Бұл код алғаш рет 1986 жылы қол жетімді болды және бір немесе көп элементті аэродинамикалық профильдерді жобалау, талдау және оңтайландыру үшін MSES бағдарламасы ретінде одан әрі дамытылды. MSES бүкіл әлемде кеңінен қолданылады. MSES-тің туындысы, аэродинамикалық профильдерді каскадта жобалау және талдау үшін MISES, Гаррольд Янгрен MIT аспиранты кезінде әзірледі. Навье–Стокс теңдеулері дамудың соңғы мақсаты болды. NASA Ames-тің ARC2D коды сияқты екі өлшемді кодтар алғаш пайда болды. Көптеген үш өлшемді кодтар әзірленді (ARC3D, OVERFLOW, CFL3D – NASA-ның үш сәтті үлесі), олар көптеген коммерциялық пакеттерге әкелді. Соңғы уақыттарда CFD әдістері әртүрлі химиялық процестердегі гранулярлық материалдардың ағын мінез-құлқының модельдеуі үшін кең таралды. Бұл тәсіл тиімді балама ретінде пайда болды, күрделі ағын құбылыстарын терең түсінуге мүмкіндік береді және дәстүрлі тәжірибелік әдістермен байланысты шығындарды азайтады.

The fundamental basis of almost all CFD problems is the Navier–Stokes equations, which define many single phase (gas or liquid, but not both) fluid flows. These equations can be simplified by removing terms describing viscous actions to yield the Euler equations. Further simplification, by removing terms describing vorticity yields the full potential equations. Finally, for small perturbations in subsonic and supersonic flows (not transonic or hypersonic) these equations can be linearized to yield the linearized potential equations. Historically, methods were first developed to solve the linearized potential equations. Two dimensional (2D) methods, using conformal transformations of the flow about a cylinder to the flow about an airfoil were developed in the 1930s. One of the earliest type of calculations resembling modern CFD are those by Lewis Fry Richardson, in the sense that these calculations used finite differences and divided the physical space in cells. Although they failed dramatically, these calculations, together with Richardson's book Weather Prediction by Numerical Process, set the basis for modern CFD and numerical meteorology. In fact, early CFD calculations during the 1940s using ENIAC used methods close to those in Richardson's 1922 book. The computer power available paced development of three dimensional methods. Probably the first work using computers to model fluid flow, as governed by the Navier–Stokes equations, was performed at Los Alamos National Lab, in the T3 group. This group was led by Francis H. Harlow, who is widely considered one of the pioneers of CFD. From 1957 to late 1960s, this group developed a variety of numerical methods to simulate transient two dimensional fluid flows, such as particle in cell method, fluid in cell method, vorticity stream function method, and
marker and cell method. Fromm's vorticity stream function method for 2D, transient, incompressible flow was the first treatment of strongly contorting incompressible flows in the world. The first paper with three dimensional model was published by John Hess and A. M. O. Smith of Douglas Aircraft in 1967. This method discretized the surface of the geometry with panels, giving rise to this class of programs being called Panel Methods. Their method itself was simplified, in that it did not include lifting flows and hence was mainly applied to ship hulls and aircraft fuselages. The first lifting Panel Code (A230) was described in a paper written by Paul Rubbert and Gary Saaris of Boeing Aircraft in 1968. In time, more advanced three dimensional Panel Codes were developed at Boeing (PANAIR, A502), Lockheed (Quadpan), Douglas (HESS), McDonnell Aircraft (MACAERO), NASA (PMARC) and Analytical Methods (WBAERO, USAERO and VSAERO). Some (PANAIR, HESS and MACAERO) were higher order codes, using higher order distributions of surface singularities, while others (Quadpan, PMARC, USAERO and VSAERO) used single singularities on each surface panel. The advantage of the lower order codes was that they ran much faster on the computers of the time. Today, VSAERO has grown to be a multi order code and is the most widely used program of this class. It has been used in the development of many submarines, surface ships, automobiles, helicopters, aircraft, and more recently wind turbines. Its sister code, USAERO is an unsteady panel method that has also been used for modeling such things as high speed trains and racing yachts. The NASA PMARC code from an early version of VSAERO and a derivative of PMARC, named CMARC, is also commercially available. In the two dimensional realm, a number of Panel Codes have been developed for airfoil analysis and design. The codes typically have a boundary layer analysis included, so that viscous effects can be modeled. de developed the PROFILE code, partly with NASA funding, which became available in the early 1980s. This was soon followed by Mark Drela's XFOIL code. Both PROFILE and XFOIL incorporate two dimensional panel codes, with coupled boundary layer codes for airfoil analysis work. PROFILE uses a conformal transformation method for inverse airfoil design, while XFOIL has both a conformal transformation and an inverse panel method for airfoil design. An intermediate step between Panel Codes and Full Potential codes were codes that used the Transonic Small Disturbance equations. In particular, the three dimensional WIBCO code, developed by Charlie Boppe of Grumman Aircraft in the early 1980s has seen heavy use. Developers turned to Full Potential codes, as panel methods could not calculate the non linear flow present at transonic speeds. The first description of a means of using the Full Potential equations was published by Earll Murman and Julian Cole of Boeing in 1970. A further growth of Program H was developed by Bob Melnik and his group at Grumman Aerospace as Grumfoil. Antony Jameson, originally at Grumman Aircraft and the Courant Institute of NYU, worked with David Caughey to develop the important three dimensional Full Potential code FLO22 in 1975. Many Full Potential codes emerged after this, culminating in Boeing's Tranair (A633) code, which still sees heavy use. The next step was the Euler equations, which promised to provide more accurate solutions of transonic flows. The methodology used by Jameson in his three dimensional FLO57 code (1981) was used by others to produce such programs as Lockheed's TEAM program and IAI/Analytical Methods' MGAERO program. MGAERO is unique in being a structured cartesian mesh code, while most other such codes use structured body fitted grids (with the exception of NASA's highly successful CART3D code, Lockheed's SPLITFLOW code and Georgia Tech's NASCART GT). Antony Jameson also developed the three dimensional AIRPLANE code which made use of unstructured tetrahedral grids. In the two dimensional realm, Mark Drela and Michael Giles, then graduate students at MIT, developed the ISES Euler program (actually a suite of programs) for airfoil design and analysis. This code first became available in 1986 and has been further developed to design, analyze and optimize single or multi element airfoils, as the MSES program. MSES sees wide use throughout the world. A derivative of MSES, for the design and analysis of airfoils in a cascade, is MISES, developed by Harold Youngren while he was a graduate student at MIT. The Navier–Stokes equations were the ultimate target of development. Two dimensional codes, such as NASA Ames' ARC2D code first emerged. A number of three dimensional codes were developed (ARC3D, OVERFLOW, CFL3D are three successful NASA contributions), leading to numerous commercial packages. Recently CFD methods have gained traction for modeling the flow behavior of granular materials within various chemical processes in engineering. This approach has emerged as a cost effective alternative, offering a nuanced understanding of complex flow phenomena while minimizing expenses associated with traditional experimental methods.

Сұйықтық ағыны теңдеулерінің иерархиясы

CFD сұйықтық ағынын басқаратын теңдеулерді шешуге қолданылатын есептеу әдістемелерінің жиынтығы ретінде қарастырылуы мүмкін (төменде талқыланады). CFD-ні қолдану кезіндегі маңызды қадам – қолданылатын нақты мәселе үшін қандай физикалық болжамдар мен байланысты теңдеулер жиынтығын анықтау. Бұл қадамды көрсету үшін, төменде физикалық болжамдар/оңайлатулар келтірілген, олар бір фазалы (көп фазалы және екі фазалы ағынға қараңыз), бір түрлі (яғни, бір химиялық түрден тұрады), реакцияға түспейтін және (әйтпесе көрсетілмесе) сығымдалатын ағын теңдеулерінде қолданылады. Жылу сәулеленуі ескерілмейді, ал гравитациялық күштен туындаған дене күштері ескеріледі (әйтпесе көрсетілмесе). Бұдан әрі, осы ағын түрі үшін келесі талқылау CFD арқылы шешілетін ағын теңдеулерінің иерархиясын көрсетеді. Кейбір келесі теңдеулер бірнеше тәсілмен туындауы мүмкін. Сақтау заңдары (CL): Бұл CFD-де қарастырылатын ең негізгі теңдеулер, мысалы, барлық келесі теңдеулер олардан туындатылуы мүмкін. Бір фазалы, бір түрлі, сығымдалатын ағын үшін массаның, импульстің және энергияның сақталуы қарастырылады. Ұздіксіз сақтау заңдары (CCL): CL-ден бастаңыз. Масса, импульс және энергия жергілікті түрде сақталады деп есептеңіз: Бұл шамалар сақталады және бір жерден екінші жерге "телепорттануға" болмайды, бірақ үздіксіз ағын арқылы ғана қозғала алады (үздіксіздік теңдеуін қараңыз). Басқаша айтқанда, CL-ден бастап үздіксіз орта деп есептеуге болады (үздіксіз механиканы қараңыз). Нәтижесіндегі теңдеулер жүйесі жабық емес, себебі оны шешу үшін қосымша қатынастар/теңдеулер қажет: (а) тұтқырлық кернеу тензоры үшін құраушы қатынастар; (б) диффузиялық жылу ағыны үшін құраушы қатынастар; (в) күй теңдеуі (EOS), мысалы, идеал газ заңы; және (г) температураны энтальпия немесе ішкі энергия сияқты шамалармен байланыстыратын калориялық күй теңдеуі. Сығымдалатын Навье-Стокстің теңдеулері (C NS): CCL-ден бастаңыз. Ньютондық тұтқырлық кернеу тензорын (Ньютондық сұйықтыққа қараңыз) және Фурье жылу ағынын (жылу ағынына қараңыз) алыңыз. C NS-тің жабық теңдеулер жүйесіне ие болу үшін оны EOS және калориялық EOS-пен толықтыру қажет. Сығымдалмайтын Навье-Стокстің теңдеулері (I NS): C NS-тен бастаңыз. Тығыздық әрқашан және барлық жерде тұрақты деп есептеңіз. I NS-ті алудың тағы бір жолы – Мах саны өте кішкентай деп есептеу. Әлсіз сығымдалатын Навье-Стокстің теңдеулері (WC NS): C NS-тен бастаңыз. Тығыздықтың өзгеруі қысымға емес, температураға ғана байланысты деп есептеңіз. Мысалы, идеал газ үшін , мұндағы – әрқашан және барлық жерде тұрақты анықталған сілтемелік қысым, – тығыздық, – нақты газ тұрақтысы және – температура. Нәтижесінде WC NS акустикалық толқындарды қамтымайды. WC NS-де энергияны сақтау теңдеуіндегі қысымдық жұмыс және тұтқырлықтық жылу бөлінуін елемеу де жиі кездеседі. WC NS сондай-ақ төмен Мах санының жуықтауымен C NS деп те аталады. Буссинеск теңдеулері: C NS-тен бастаңыз. Тығыздықтың өзгеруі әрқашан және барлық жерде елеусіз деп есептеңіз, бірақ импульстің сақталу теңдеуінің гравитациялық мүшесінде (сығыздық гравитациялық үдеуді көбейтеді). Сондай-ақ, тұтқырлық, жылу өткізгіштігі және жылу сыйымдылығы сияқты әртүрлі сұйықтық қасиеттері әрқашан және барлық жерде тұрақты деп есептеңіз. Буссинеск теңдеулері микро масштабты метеорологияда кеңінен қолданылады. Сығымдалатын Рейнольдс орташаланған Навье-Стокстің теңдеулері және сығымдалатын Фавр орташаланған Навье-Стокстің теңдеулері (C RANS және C FANS): C NS-тен бастаңыз. Кез келген ағын айнымалысы , мысалы тығыздық, жылдамдық және қысым , түрінде бейнеленеді деп есептеңіз, мұндағы – ансамбльдің орташа шамасы, міндетті түрде кіші емес. Егер – классикалық ансамбльдің орташа шамасы болса (Рейнольдс ыдырауын қараңыз), Рейнольдс орташаланған Навье-Стокстің теңдеулерін аламыз. Егер – тығыздықпен салмақталған ансамбльдің орташа шамасы болса, Фавр орташаланған Навье-Стокстің теңдеулері алынады. EE-ден бастаңыз. Кез келген ағын айнымалысы , мысалы тығыздық, жылдамдық және қысым , түрінде бейнеленеді деп есептейік, мұндағы – сілтемелік немесе базалық күйдегі ағын айнымалысының мәні, ал – осы күйден бұзылу немесе ауытқу. Бұдан әрі, бұл бұзылу белгілі бір сілтемелік мәнмен салыстырғанда өте кішкентай деп есептеңіз. Соңында, EE сияқты "өзінің" теңдеуін қанағаттандырады деп есептеңіз. LEE және оның көптеген нұсқалары есептеу аэроакустикасында кеңінен қолданылады. Дыбыстық толқын немесе акустикалық толқын теңдеуі: LEE-ден бастаңыз. және градиенттерінің барлығын елемеңіз және сілтемелік немесе базалық күйдегі Мах саны өте кішкентай деп есептеңіз. Бір өлшемді Эйлер теңдеулері немесе бір өлшемді газ динамикалық теңдеулер (1D EE): EE-ден бастаңыз. Барлық ағын шамалары тек бір кеңістік өлшеміне ғана тәуелді деп есептеңіз. Фанно ағыны теңдеуі: Тұрақты қимасы және адиабатикалық қабырғалары бар құбыр ішіндегі ағынды қарастырыңыз. 1D EE-ден бастаңыз. Тұрақты ағын, гравитациялық әсерлер жоқ деп есептеңіз және импульстің сақталу теңдеуіне қабырғалық үйкелістің әсерін қалпына келтіру үшін эмпириялық мүше енгізіңіз (EE-де елемелген). Фанно ағыны теңдеуін жабу үшін осы үйкеліс мүшесі үшін модель қажет. Мұндай жабу мәселеге байланысты болжамдарды қамтиды. Рейли ағыны теңдеуі. Тұрақты қимасы және адиабатикалық қабырғалары бар құбыр ішіндегі ағынды қарастырыңыз. 1D EE-ден бастаңыз. Тұрақты ағын, гравитациялық әсерлер жоқ деп есептеңіз және энергияны сақтау теңдеуіне қабырғалық жылу алмасуының немесе жылу көздерінің әсерін қалпына келтіру үшін эмпириялық мүше енгізіңіз (EE-де елемелген).

CFD can be seen as a group of computational methodologies (discussed below) used to solve equations governing fluid flow. In the application of CFD, a critical step is to decide which set of physical assumptions and related equations need to be used for the problem at hand. To illustrate this step, the following summarizes the physical assumptions/simplifications taken in equations of a flow that is single phase (see multiphase flow and two phase flow), single species (i. e., it consists of one chemical species), non reacting, and (unless said otherwise) compressible. Thermal radiation is neglected, and body forces due to gravity are considered (unless said otherwise). In addition, for this type of flow, the next discussion highlights the hierarchy of flow equations solved with CFD. Note that some of the following equations could be derived in more than one way. Conservation laws (CL): These are the most fundamental equations considered with CFD in the sense that, for example, all the following equations can be derived from them. For a single phase, single species, compressible flow one considers the conservation of mass, conservation of linear momentum, and conservation of energy. Continuum conservation laws (CCL): Start with the CL. Assume that mass, momentum and energy are locally conserved: These quantities are conserved and cannot "teleport" from one place to another but can only move by a continuous flow (see continuity equation). Another interpretation is that one starts with the CL and assumes a continuum medium (see continuum mechanics). The resulting system of equations is unclosed since to solve it one needs further relationships/equations: (a) constitutive relationships for the viscous stress tensor; (b) constitutive relationships for the diffusive heat flux; (c) an equation of state (EOS), such as the ideal gas law; and, (d) a caloric equation of state relating temperature with quantities such as enthalpy or internal energy. Compressible Navier Stokes equations (C NS): Start with the CCL. Assume a Newtonian viscous stress tensor (see Newtonian fluid) and a Fourier heat flux (see heat flux). The C NS need to be augmented with an EOS and a caloric EOS to have a closed system of equations. Incompressible Navier Stokes equations (I NS): Start with the C NS. Assume that density is always and everywhere constant. Another way to obtain the I NS is to assume that the Mach number is very small

Weakly compressible Navier Stokes equations (WC NS): Start with the C NS. Assume that density variations depend only on temperature and not on pressure. For example, for an ideal gas, use , where is a conveniently defined reference pressure that is always and everywhere constant, is density, is the specific gas constant, and is temperature. As a result, the WC NS do not capture acoustic waves. It is also common in the WC NS to neglect the pressure work and viscous heating terms in the energy conservation equation. The WC NS are also called the C NS with the low Mach number approximation. Boussinesq equations: Start with the C NS. Assume that density variations are always and everywhere negligible except in the gravity term of the momentum conservation equation (where density multiplies the gravitational acceleration). Also assume that various fluid properties such as viscosity, thermal conductivity, and heat capacity are always and everywhere constant. The Boussinesq equations are widely used in microscale meteorology. Compressible Reynolds averaged Navier–Stokes equations and compressible Favre averaged Navier Stokes equations (C RANS and C FANS): Start with the C NS. Assume that any flow variable , such as density, velocity and pressure, can be represented as , where is the ensemble average is not necessarily small. If is a classic ensemble average (see Reynolds decomposition) one obtains the Reynolds averaged Navier–Stokes equations. And if is a density weighted ensemble average one obtains the Favre averaged Navier Stokes equations. Start with the EE. Assume that any flow variable , such as density, velocity and pressure, can be represented as , where is the value of the flow variable at some reference or base state, and is a perturbation or fluctuation from this state. Furthermore, assume that this perturbation is very small in comparison with some reference value. Finally, assume that satisfies "its own" equation, such as the EE. The LEE and its many variations are widely used in computational aeroacoustics. Sound wave or acoustic wave equation: Start with the LEE. Neglect all gradients of and , and assume that the Mach number at the reference or base state is very small. One dimensional Euler equations or one dimensional gas dynamic equations (1D EE): Start with the EE. Assume that all flow quantities depend only on one spatial dimension. Fanno flow equation: Consider the flow inside a duct with constant area and adiabatic walls. Start with the 1D EE. Assume a steady flow, no gravity effects, and introduce in the momentum conservation equation an empirical term to recover the effect of wall friction (neglected in the EE). To close the Fanno flow equation, a model for this friction term is needed. Such a closure involves problem dependent assumptions. Rayleigh flow equation. Consider the flow inside a duct with constant area and either non adiabatic walls without volumetric heat sources or adiabatic walls with volumetric heat sources. Start with the 1D EE. Assume a steady flow, no gravity effects, and introduce in the energy conservation equation an empirical term to recover the effect of wall heat transfer or the effect of the heat sources (neglected in the EE).

Түпкіленген көлем әдісі

Шекті көлем әдісі (FVM) – бұл КЭЖ кодтарында кеңінен қолданылатын әдіс, себебі ол жадты пайдалану және шешімнің жылдамдығы бойынша артықшылықтарға ие, әсіресе үлкен мәселелерде, жоғары Рейнольдс санындағы турбулентті ағындарда және бастапқы мүшелер басым ағындарда (мысалы, жану процесінде). Шекті көлем әдісінде басқарушы дифференциалдық теңдеулер (әдетте Навье-Сток теңдеулері, масса және энергия сақталу теңдеулері, сондай-ақ турбуленттік теңдеулер) консервативті формаға келтіріліп, дискретті бақылау көлемдерінде шешіледі. Бұл дискреттеу белгілі бір бақылау көлемі арқылы өтетін ағындардың сақталуын қамтамасыз етеді. Шекті көлем теңдеуі басқару теңдеулерін мынадай түрде береді:

мұндағы – сақталатын айнымалылардың векторы, – ағындардың векторы (Ойлер теңдеулеріне немесе Навье-Сток теңдеулеріне қараңыз), – бақылау көлемі элементінің көлемі, ал – бақылау көлемі элементінің бетінің ауданы.

Түпкіленген айырма әдісі

Шекті айырмашылық әдісі (FDM) тарихи маңызы бар. Vortex әдістері, торға негізделген әдістерге тән тегістеу әсерлерімен шектелмейтін, торсыз әдістеме ретінде әзірленді. Бірақ, практикалық тұрғыдан алғанда, Vortex әдістеріне Vortex элементтерінен жылдамдықтарды жылдам есептеу құралдары қажет – яғни, олар N дене проблемасының нақты бір түрін шешуді талап етеді (мұнда N нысанының қозғалысы өзара әсерлерімен байланысты). Бұл үлкен жетістік 1980-ші жылдары Барнс-Хат және жылдам көпполюстік әдіс (FMM) алгоритмдерінің дамуымен болды. Бұл Vortex элементтерінен жылдамдықтарды практикалық есептеуге жол ашты. Vortex әдісіне негізделген бағдарламалық құралдар, пайдаланушының минималды араласуымен күрделі сұйықтық динамикасы мәселелерін шешудің жаңа тәсілін ұсынады. Мұнда тек мәселенің геометриясын анықтау және шекаралық және бастапқы шарттарды белгілеу қажет. Бұл заманауи технологияның маңызды артықшылықтары:
Ол практикалық түрде торсыз, осылайша RANS және LES әдістерімен байланысты көптеген итерацияларды жояды. Барлық мәселелер біркелкі қарастырылады. Модельдеу немесе калибрлеу деректері қажет емес. Акустиканы дұрыс талдау үшін маңызды уақыт қатарлы симуляцияларға мүмкіндік бар. Кішкентай және үлкен масштабтар бір уақытта дәл симуляцияланады.

Шекаралық элемент әдісі

Шекаралық элементтер әдісінде сұйықтық толған шекара беттік торға жіктеледі.

Жоғары ажыратуды дискреттеу жүйелері

Жоғары ажыратымды схемалар шоктар немесе үзілістер кездескенде қолданылады. Шешімдегі күрт өзгерістерді дәл көрсету үшін, жалған тербелістер тудырмайтын екінші немесе одан жоғары дәрежелі сандық схемаларды пайдалану қажет. Мұндай жағдайларда, шешімнің жалпы өзгерісінің кемуін қамтамасыз ету үшін ағын шектегіштері қолданылады.

Турбуленттік модельдер

Турбулентті ағымдарды есептеу модельдеуіндегі бір жалпы мақсат – модельделетін жүйенің инженерлік жобаларында пайдалану үшін сұйықтық жылдамдығы сияқты қажетті шамаларды болжайтын модель алу. Турбулентті ағымдар үшін ұзындық өлшемдерінің кең диапазоны және турбуленттілікке қатысты құбылыстардың күрделілігі көптеген модельдеу тәсілдерін тым қымбат етеді. Турбуленттілікке қатысты барлық өлшемдерді шешуге қажетті ажыратымдылық есептеу мүмкіндіктерінен асып түседі. Мұндай жағдайларда негізгі тәсіл – шешілмеген құбылыстарды жуықтау үшін сандық модельдер құру болып табылады. Бұл бөлім турбулентті ағымдар үшін жиі қолданылатын есептеу модельдерін қарастырады. Турбуленттік модельдерді есептеу шығындарына қарай жіктеуге болады, бұл модельденетін және шешілетін өлшемдердің диапазонына сәйкес келеді (шешілетін турбулентті өлшемдер неғұрлым көп болса, модельдеудің ажыратымдылығы соғұрлым жоғары болады, демек есептеу шығындары да жоғары болады). Егер турбулентті өлшемдердің көп бөлігі немесе барлығы модельденбесе, есептеу шығындары өте төмен, бірақ мұның орнына дәлдік төмендейді. Ұзындық және уақыт өлшемдерінің кең диапазонымен және оған байланысты есептеу шығындарымен қатар, сұйықтық динамикасының басқару теңдеулерінде сызықты емес конвекция мүшесі және сызықты емес және жергілікті емес қысым градиенті мүшесі бар. Бұл сызықты емес теңдеулерді тиісті шекаралық және бастапқы шарттармен сандық түрде шешу қажет.

Келесі:

Когерентті айналдыруды модельдеу әдісі турбулентті ағын өрісін ұйымдастырылған айналдыру қозғалысынан тұратын когерентті бөлікке және кездейсоқ фондық ағын болып табылатын когерентті емес бөлікке жіктеу арқылы қарастырады. Бұл жіктеу толқындық сүзгілеуді пайдаланып жасалады. Бұл тәсілдің үлкен едәуір ұқсастығы LES-пен, себебі ол жіктеуді қолданады және тек сүзгіленген бөлікті шешеді, бірақ сызықтық, төмен өткізгіш сүзгіні қолданбайды. Оның орнына, сүзгілеу операциясы толқындықтарға негізделген, ал сүзгі ағын өрісінің өзгеруіне сәйкес бейімделуге мүмкіндік береді. Farge және Schneider CVS әдісін екі ағын конфигурациясымен сынап көрді және ағынның когерентті бөлігінің энергия спектрі жалпы ағынның энергия спектрін көрсетті және когерентті құрылымдарға (вортэкс түтіктеріне) сәйкес келді, ал ағынның когерентті емес бөлігі біртекті фондық шуды құрады, ол ұйымдасқан құрылымдарды көрсетпеді. Голдштейн мен Васильев FDV моделін үлкен айналымды модельдеуге қолданды, бірақ толқындық сүзгінің субфильтр масштабтарынан барлық когерентті қозғалыстарды жоятынын қабылдамады. LES және CVS сүзгілерін бірге қолдану арқылы олар SFS таралуының SFS ағын өрісінің когерентті бөлігімен доминирутетінін көрсетті.

PDF әдістері

Турбуленттілік үшін ықтималдылық тығыздық функциясы (PDF) әдістері, алғаш рет Лундгрен енгізген, жылдамдықтың бір нүктелік PDF-ін қадағалауға негізделген, ол нүктедегі жылдамдықтың аралығында болу ықтималдығын көрсетеді. Бұл тәсіл газдардың кинетикалық теориясына ұқсас, онда газдың макроскопиялық қасиеттері көптеген бөлшектермен сипатталады. PDF әдістерінің ерекшелігі – оларды түрлі турбуленттік модельдер аясында қолдануға болады; басты айырмашылықтар PDF тасымалдау теңдеуінің нысанында болады. Мысалы, үлкен кескіштік симуляция контекстінде PDF сүзгіленген PDF-ке айналады. PDF әдістерін химиялық реакцияларды сипаттау үшін де қолдануға болады, әсіресе химиялық реакциялардың ағынын модельдеу үшін олар тиімді, себебі химиялық көз мүшесі жабық және модельді қажет етпейді. PDF көбінесе Лагранж бөлшектері әдісімен қадағаланады; үлкен кескіштік симуляциямен біріктірілгенде, бұл субфильтрлік бөлшектердің эволюциясы үшін Лангевин теңдеуіне алып келеді.

Вортикалды бөгеу әдісі

Вортикалды тұтқындау (ВТ) әдісі – турбулентті оянуларды модельдеуде қолданылатын Эйлерлік тәсіл. Ол сандық таралусыз тұрақты шешім алу үшін жалғыз толқынға ұқсас тәсілді пайдаланады. ВТ ең кішкентай масштабтағы ерекшеліктерді 2 тор ұяшығының ішінде анықтай алады. Осы ерекшеліктерде шекті айырмашылық теңдеуінің орнына сызықтық емес айырмашылық теңдеуі шешіледі. ВТ шоктарды анықтау әдістеріне ұқсас, онда сақталу заңдары орындалады, соның арқасында маңызды интегралдық шамалар дәл есептеледі.

Сызықтық бұрқанақ моделі

Сызықтық бұрқанақ моделі – турбулентті ағындағы конвективті араласуды модельдеуге қолданылатын әдіс. Бұл модель векторлық ағын өрісіндегі скалярлық айнымалының өзара әрекеттесуін математикалық тұрғыдан сипаттауға мүмкіндік береді. Ол көбінесе турбулентті ағынды бір өлшемді түрде бейнелеу үшін қолданылады, себебі оны кең ауқымды ұзындық өлшемдері мен Рейнольдс сандары бойынша қолдануға болады. Бұл модель әдетте күрделі ағын модельдерін құру үшін негізгі элемент ретінде пайдаланылады, өйткені ол кең ауқымды ағын жағдайларында жоғары дәлдікті қамтамасыз етеді.

Екі фазалы ағын

Екі фазалы ағынды модельдеу әлі де дамып келеді. Әр түрлі әдістер ұсынылған, оның ішінде сұйық көлемі әдісі, деңгей жиыны әдісі және фронтты қадағалау әдісі. Бұл әдістер көбінесе өткір интерфейсті сақтау мен массаны сақтау арасындағы шартты таңдауды қамтиды. Бұл өте маңызды, себебі тығыздық, тұтқырлық және беттік кернеуді бағалау интерфейс бойынша орташа есептелген мәндерге негізделген.

Шешу алгоритмдері

Ғарыштағы дискреттеу тұрақты емес проблемалар үшін қалыпты дифференциалдық теңдеулер жүйесін, ал тұрақты проблемалар үшін алгебралық теңдеулерді тудырады. Қалыпты дифференциалдық теңдеулерді интегралдау үшін әдетте имплицитті немесе жартылай имплицитті әдістер қолданылады, нәтижесінде (көбінесе) сызықтық емес алгебралық теңдеулер жүйесі пайда болады. Ньютон немесе Пикард итерациясын қолдану сызықтық теңдеулер жүйесін береді, ол адвекция болғанда симметриясыз, ал сығымтал еместік болғанда белгісіз болады. Мұндай жүйелер, әсіресе 3D кеңістікте, тікелей шешімдерге жиі тым үлкен болып келеді, сондықтан итерациялық әдістер қолданылады, мысалы, бірінен соң бірі релаксация жасау сияқты стационарлық әдістер немесе Крылов субкеңістігі әдістері. Әдетте алдын ала шартталған GMRES сияқты Крылов әдістері, алдын ала шартталған оператор тудырған тізбектелген субкеңістіктердегі қалдық мөлшерін азайту арқылы жұмыс істейді. Көпторлық желінің көптеген проблемалар бойынша асимптотикалық жақсы өнімділік артықшылығы бар. Традициялық шешімдер және алдын ала шарттаушылар қалдықтың жоғары жиілікті компоненттерін азайтуда тиімді, бірақ төмен жиілікті компоненттерді азайту үшін көбінесе көптеген итерациялар қажет. Көп масштабта жұмыс істеу арқылы көпторлық желі қалдықтың барлық компоненттерін шамамен бірдей коэффициенттермен азайтады, бұл торға тәуелсіз итерациялар санына алып келеді. Белгісіз жүйелер үшін толық емес LU факторлау, аддитивті Шварц және көпторлық желі сияқты алдын ала шарттаушылар нашар жұмыс істейді немесе толығымен сәтсіздікке ұшырайды, сондықтан проблеманың құрылымы тиімді алдын ала шарттау үшін пайдаланылуы керек. Есептеу сұйықтық динамикасында (CFD) жиі қолданылатын әдістер – SIMPLE және Uzawa алгоритмдері, олар торға тәуелді конвергенция жылдамдықтарын көрсетеді, бірақ соңғы жетістіктер, блоктық LU факторлаумен біріктірілген көпторлық желі, нәтижесінде анықталған жүйелер үшін торға тәуелсіз конвергенция жылдамдықтарын қамтамасыз ететін алдын ала шарттауға әкелді.

Тұрақсыз аэродинамика

CFD 70-жылдардың соңында LTRAN2 енгізу арқылы маңызды табысқа қол жеткізді, бұл Баллхаус және оның әріптестері жасаған трансоникалық шағын бұзылу теориясына негізделген тербелісті қанаттарды модельдеуге арналған 2D код. Ол қозғалмалы соққы толқындарын модельдеу үшін Мурман-Коул ауысу алгоритмін пайдаланады. Кейіннен AFWAL/Boeing-тің айналмалы айырма схемасын қолдану арқылы 3D нұсқасы LTRAN3 ретінде кеңейтілді.

Биомедициналық инженерия

CFD зерттеулері аорта ағынының сипаттамаларын, эксперименталды өлшеулердің мүмкіндіктерінен асып түсетін егжей-тегжейлі деңгейде нақтылау үшін қолданылады. Бұл жағдайларды талдау үшін, МРТ немесе компьютерлік томография сияқты заманауи бейнелеу техникаларын пайдалана отырып, адамның қан тамырлар жүйесінің CAD модельдері құрылады. Осы деректерден 3D модель қайта жасалады және сұйық ағыны есептеледі. Қанның тығыздығы және тұтқырлығы сияқты қасиеттері, сондай-ақ нақты шекаралық шарттар (мысалы, жүйелік қысым) ескерілуі тиіс. Осының арқасында, түрлі салаларда жүрек-қан тамыр жүйесіндегі ағынды талдауға және оңтайландыруға болады.

CPU мен GPU арасындағы айырмашылық

Дәстүрлі түрде, ағын механикасының есептеу моделі (CFD) симуляциялары CPU-да жүргізіледі. Бірақ соңғы кезде симуляциялар GPU-да да жүргізілуде. Бұл құрылғылар әдетте баяурақ, бірақ көбірек процессорларды қамтиды. Жақсы параллелизмге ие CFD алгоритмдері (яғни, процессорлар саны артықша болғанда жылдамдық артуы байқалатын алгоритмдер) үшін бұл симуляция уақытын едәуір қысқартуға мүмкіндік береді. Сұйық бөлшектері мен торлы Болцман әдістері GPU-да жақсы масштабталатын кодтардың типикалық мысалдары болып табылады.