Кіріспе
Гидродинамикалық симуляция әдісі. Су беті SPH әдісімен үлгіленген цилиндрдің айналасындағы ағын. 1977 жылы Люси және басқалар бұл әдісті бастапқыда астрофизикалық мәселелерді шешу үшін қолданды. Кейіннен бұл әдіс астрофизика, баллистика, вулканология және океанография сияқты көптеген ғылыми салаларда қолданыс тапты. Бұл торсыз Лагранж әдісі (координаталар сұйықтықпен бірге қозғалады), және әдістің дәлдігін тығыздық сияқты факторларға қарай оңай реттеуге болады.
[[File:Sph flow cylinder fs. jpg|thumb|Flow around cylinder with free surface modelled with SPH. See and Lucy in 1977, initially for astrophysical problems. It has been used in many fields of research, including astrophysics, ballistics, volcanology, and oceanography. It is a meshfree Lagrangian method (where the co ordinates move with the fluid), and the resolution of the method can easily be adjusted with respect to variables such as density.
Артықшылықтар
SPH құрылымы бойынша бұл торсыз әдіс, ол күрделі шекаралық динамикамен сипатталатын мәселелерді, мысалы, еркін беттік ағындарды немесе үлкен шекаралық орын ауыстыруларды модельдеуге өте ыңғайлы. Тордың болмауы модельді жүзеге асыруды және оны параллельдеуді, тіпті көп ядролы архитектуралар үшін де едәуір жеңілдетеді. SPH-ді кең ауқымды салаларға оңай кеңейтуге болады және "Модельдеу физикасы" кітабында талқыланғандай, басқа модельдермен біріктіруге болады. "Жұмсақ қысылатын SPH" бөлімінде айтылғандай, бұл әдіс жақсы сақтау қасиеттеріне ие. Егер маңызды метрика сұйықтықтың тығыздығымен байланысты болса (мысалы, тығыздық ауытқуларының ықтималдық тығыздық функциясы), SPH симуляцияларының бөлшектер санына шаққандағы есептеу шығыны, торға негізделген симуляциялардың жасушалар санына шаққандағы шығыннан әлдеқайда төмен. Бұл себебі SPH-да ақпараттың шоғырланған жеріне рұқсат беріледі.
Шектеулер
SPH-де кіреберістер, шығыстар және қабырғалар сияқты шекаралық шарттарды орнату, торға негізделген әдістерге қарағанда қиынырақ. Шындығында, "шекаралық шарттарды өңдеу SPH әдісінің ең қиын техникалық мәселелерінің бірі" деп айтылған. Бұл қиындықтардың бір себебі – SPH-де шекараға жақын бөлшектер уақыт өте келе өзгереді. Дегенмен, SPH үшін қабырғалық шекаралық шарттар қолжетімді. Егер қызығушылық тақырыбы тығыздыққа (мысалы, кинетикалық энергия спектріне) тікелей байланысты болмаса, SPH симуляцияларының есептеу шығындары, бөлшектер саны бойынша, торға негізделген симуляциялардың жасушалар саны бойынша шығындарынан әлдеқайда жоғары. М. Ихсен және авторлар, 2010 ж., PCISPH үшін шекаралық өңдеу және қатаң денелердің дәл өзара әрекеттесуі үшін бейімделу уақытын енгізеді. К. Бодин және авторлар, 2011 ж., стандартты күй теңдеуін тығыздық шектеуімен алмастырып, вариациялық уақыт интеграторын қолданады. Р. Хоэцлейн, 2012 ж., Fluids v.3 сұйықтықтарында үлкен көріністер үшін тиімді GPU-ға негізделген SPH әзірлейді. Н. Акинци және авторлар, 2012 ж., гидродинамикалық күштерге негізделген әмбебап шекаралық өңдеу және екі жақты SPH қатаң байланыс техникасын ұсынады; бұл тәсіл әртүрлі SPH шешушілеріне қолданылады. М. Маклин және авторлар, 2013 ж., үлкен уақыт қадамдары үшін Позицияға негізделген динамика шеңберінде қысылмайтын ағынды модельдейді. Н. Акинци және авторлар, 2013 ж., нақты физикалық құбылыстарда байқалатын әртүрлі қызықты физикалық әсерлерді модельдеуге мүмкіндік беретін әмбебап беттік керілу және екі жақты сұйықтық-қатты жабысу техникасын ұсынады. J. Kyle және E. Terrell, 2013 ж., SPH-ты Толық Фильмді Майлауға қолданады. А. Mahdavi және N. Talebbeydokhti, 2015 ж., қатты шекаралық шартты жүзеге асыру үшін гибридтік алгоритмді ұсынады және өткір қырлы бөгет үстінен ағынды модельдейді. S. Tavakkol және авторлар, 2016 ж., curvSPH-ты әзірлейді, ол бөлшектердің көлденең және тік өлшемдерін тәуелсіз етеді және қисық шекаралар бойында біркелкі масса таралуын жасайды. W. Kostorz және A. Esmail Yakas, 2020 ж., кескіш жазықтық шекараларының жанында нормалау факторларын бағалау үшін жалпы, тиімді және қарапайым әдіс ұсынады.
The computational cost of SPH simulations per number of particles is significantly larger than the cost of grid based simulations per number of cells when the metric of interest is not (directly) related to density (e. g., the kinetic energy spectrum). M. Ihmsen et al., 2010, introduce boundary handling and adaptive time stepping for PCISPH for accurate rigid body interactions
K. Bodin et al., 2011, replace the standard equation of state pressure with a density constraint and apply a variational time integrator
R. Hoetzlein, 2012, develops efficient GPU based SPH for large scenes in Fluids v.3
N. Akinci et al., 2012, introduce a versatile boundary handling and two way SPH rigid coupling technique that is completely based on hydrodynamic forces; the approach is applicable to different types of SPH solvers
M. Macklin et al., 2013 simulates incompressible flows inside the Position Based Dynamics framework, for bigger timesteps
N. Akinci et al., 2013, introduce a versatile surface tension and two way fluid solid adhesion technique that allows simulating a variety of interesting physical effects that are observed in reality
J. Kyle and E. Terrell, 2013, apply SPH to Full Film Lubrication
A. Mahdavi and N. Talebbeydokhti, 2015, propose a hybrid algorithm for implementation of solid boundary condition and simulate flow over a sharp crested weir
S. Tavakkol et al., 2016, develop curvSPH, which makes the horizontal and vertical size of particles independent and generates uniform mass distribution along curved boundaries
W. Kostorz and A. Esmail Yakas, 2020, propose a general, efficient and simple method for evaluating normalization factors near piecewise planar boundaries
Астрофизика
Тегістелген бөлшектер гидродинамикасының бейімделмелі ажыратымдылығы, физикалық тұрақты шамалардың сандық сақталуы және көп мәнді құбылыстарды модельдеу мүмкіндігі оны теориялық астрофизикадағы есептеулер үшін өте ыңғайлы етеді. Галактикалардың қалыптасуы, жұлдыздардың тууы, жұлдыздардың соқтығысуы, жарылыс жұлдыздары және метеорлардың соқтығысуы симуляциялары – бұл әдістің астрофизикалық және космологиялық қолданыстарының кең ауқымының бірнеше мысалдары ғана. SPH гидродинамикалық ағындарды, оның ішінде гравитацияның әсерін модельдеу үшін қолданылады. Радиациялық ауысу және магниттік өрістер сияқты маңызды болуы мүмкін басқа астрофизикалық процестерді қосу астрономиялық қауымдастықтағы белсенді зерттеу саласы болып табылады және қандай да бір шектеулі жетістіктерге қол жеткізілді.
Интерполяциялар
Сорғыланған бөлшектер гидродинамикасы (SPH) әдісі сұйықтықты дискретті қозғалатын элементтер жиынтығына – бөлшектерге бөлу арқылы жұмыс істейді. Олардың Лагранждық сипаты олардың жылдамдықтарын интеграциялау арқылы орнын анықтауға мүмкіндік береді:
Бұл бөлшектер "тегістеу ұзындығы" деп аталатын сипаттамалық радиусы бар ядролық функция арқылы өзара әрекеттеседі, бұл радиус әдетте теңдеулерде былай белгіленеді. Бұл кез келген бөлшектің физикалық шамасын ядроның әсер ету аймағындағы барлық бөлшектердің тиісті қасиеттерін қосу арқылы алуға болады, ал ядро салмақ функциясы ретінде қолданылады. Мұны екі қадамда түсінуге болады. Біріншіден, кез келген өріс ядромен конволюция түрінде жазылады:
Жоғарыдағы жуықтаудың қатесі ретімен шамаланады. Екіншіден, интеграл бөлшектер бойынша Риман қосындысы арқылы шамаланады:
мұнда қосындыға симуляциядағы барлық бөлшектер кіреді. – бөлшектің көлемі, – бөлшектің шамасы және – орнын білдіреді. Мысалы, бөлшектің тығыздығы былай өрнектеледі:
мұнда – бөлшектің массасы, ал – бөлшектің тығыздығы, ал – дискретті қосынды арқылы интегралды шамалаудағы қателік, бөлшектің өлшеміне (яғни, кеңістіктік өлшем) және бөлшектердің кеңістіктегі орналасуына байланысты. Соңғы фактор әлі толыққанды зерттелмеген. Көбінесе қолданылатын ядролық функциялар: Гаусс функциясы, квинтикалық сплайн және Вендланд ядросы. Соңғы екі ядро шектеулі қолдауға ие (Гаусс функциясынан айырмашылығы, ол кез келген шекті қашықтықта шамалы үлес береді), олардың қолдауы пропорционалды. Бұл алыс бөлшектердің салыстырмалы түрде аз үлесін есепке алмау арқылы есептеу ресурстарын үнемдеуге мүмкіндік береді. Тегістеу ұзындығының мөлшері кеңістікте де, уақытта да тұрақты болғанымен, бұл SPH әдісінің толық мүмкіндіктерін пайдаланбайды. Әрбір бөлшекке жеке тегістеу ұзындығын тағайындап, оның уақытқа қарай өзгеруіне рұқсат ету арқылы симуляцияның ажыратымдылығы жергілікті жағдайларға байланысты автоматты түрде бейімделуі мүмкін. Мысалы, көптеген бөлшектер бір-біріне жақын орналасқан тығыз аймақта тегістеу ұзындығы салыстырмалы түрде қысқа болуы мүмкін, бұл жоғары кеңістіктік ажыратымдылықты қамтамасыз етеді. Керісінше, бөлшектер бір-бірінен алыс орналасқан және ажыратымдылығы төмен аймақтарда тегістеу ұзындығын ұлғайтуға болады, бұл қызығушылық тудыратын аймақтар үшін есептеуді оңтайландыруға мүмкіндік береді.
Уақытты интеграциялау
80-90 жылдардағы үлкен үдеткіштерде нүкте тәрізді бөлшектердің сандық интеграциясы жөніндегі жұмыстардың нәтижесінде, ұзақ мерзімде дәл сақтау қасиеттеріне ие тиісті уақыт интеграторлары жасалды; олар симплектикалық интеграторлар деп аталады. SPH әдебиетінде ең көп қолданылатыны – әр бөлшектің сатылы схемасы:
мұнда – уақыт қадамы, үстіңгі индекстер – уақыт итерацияларын көрсетеді, ал – бөлшектің үдеуі, ол импульс теңдеуінің оң жағында берілген. Басқа симплектикалық интеграторлар да бар (анықтамалық оқулыққа қараңыз). Көптеген итерациялардан кейін қателердің жиналуын болдырмау үшін жоғары дәрежелі симплектикалық емес схеманың орнына симплектикалық (тіпті төмен дәрежелі) схеманы пайдалану ұсынылады. Тығыздық интеграциясы жеткілікті зерттелмеген (қосымша мәліметтер үшін төмендегі бөлімді қараңыз). Симплектикалық схемалар консервативті, бірақ ашық, сондықтан олардың сандық тұрақтылығы үшін тұрақтылық шарттары қажет, бұл Куран-Фридрихс-Леви шартына ұқсас (төменде қараңыз).
Шекаралық техникалар
Егер SPH конволюциясы шекараға жақын, яғни s · h-ден жақын жерде қолданылса, интегралдық қолдау қысқартылады. Шындығында, конволюция шекараның әсеріне ұшырағанда, конволюция екі интегралға бөлінеді,
where B('r') is the compact support ball centered at 'r', with radius s · h, and Ω('r') denotes the part of the compact support inside the computational domain, Ω ∩ B('r'). Hence, imposing boundary conditions in SPH is completely based on approximating the second integral on the right hand side. The same can be of course applied to the differential operators computation,
Several techniques has been introduced in the past to model boundaries in SPH.
мұнда B(‘r’) – радиусы s · h болатын және ‘r’ нүктесінде орталанған компактты қолдау шар, ал Ω(‘r’) – есептеу доменімен (Ω) компактты қолдаудың қиылысын білдіреді, яғни Ω ∩ B(‘r’). Сондықтан, SPH-де шекаралық шарттарды қолдану толығымен оң жақтан екінші интегралды жуықтауға негізделген. Әрине, дифференциалды операторларды есептеу кезінде де осы тәсілді қолдануға болады. Бұрын SPH-де шекараларды модельдеу үшін бірнеше техникалар ұсынылған.
where B('r') is the compact support ball centered at 'r', with radius s · h, and Ω('r') denotes the part of the compact support inside the computational domain, Ω ∩ B('r'). Hence, imposing boundary conditions in SPH is completely based on approximating the second integral on the right hand side. The same can be of course applied to the differential operators computation,
Several techniques has been introduced in the past to model boundaries in SPH.
Астрофизика
Көбінесе астрофизикада, таза гидродинамикамен қатар өзіндік гравитацияны модельдеу қажет болады. SPH-ның бөлшектерге негізделген сипаты, оны бөлшектерге негізделген гравитациялық шешімдеушімен үйлестіруге өте ыңғайлы жасайды, мысалы, ағаш тәрізді гравитациялық код, бөлшектер желісі немесе бөлшек-бөлшек-желі.
Басқалар
Дәнді материалдарды модельдеуге қолданылатын дискретті элементтер әдісі SPH әдісімен байланысты.