Введение

Математическая модель турбулентности

Симуляция крупных вихрей (LES) – это математическая модель турбулентности, используемая в вычислительной гидродинамике. Она была впервые предложена в 1963 году Джозефом Смагоринским для моделирования атмосферных воздушных потоков и впервые исследована Деардорфом (1970). В настоящее время LES применяется в широком спектре инженерных задач, включая горение, акустику и моделирование приземного атмосферного слоя. Моделирование турбулентных потоков путем численного решения уравнений Навье-Стокса требует разрешения очень широкого диапазона временных и пространственных масштабов, все из которых влияют на картину течения. Такое разрешение можно достичь с помощью прямого численного моделирования (DNS), но DNS требует значительных вычислительных ресурсов, и его стоимость делает невозможным моделирование практических инженерных систем со сложной геометрией или конфигурацией потока, таких как турбулентные струи, насосы, транспортные средства и шасси. Основная идея LES заключается в снижении вычислительных затрат за счет отбрасывания самых малых пространственных масштабов, разрешение которых наиболее ресурсоемко, посредством фильтрации нижних частот уравнений Навье-Стокса. Эта фильтрация нижних частот, которую можно рассматривать как усреднение по времени и пространству, эффективно исключает информацию о малых масштабах из численного решения. Однако эта информация не является несущественной, и ее влияние на картину течения необходимо моделировать, что является активной областью исследований для задач, в которых малые масштабы могут играть важную роль, например, течения вблизи стенок и реактивные течения.

Определение и свойства фильтра

Фильтр LES может применяться к пространственному и временному полю и выполнять операцию пространственной фильтрации, операцию временной фильтрации или обе. Фильтрованное поле, обозначаемое чертой над переменной, определяется как:

где – ядро свёртки фильтра. Это также может быть записано как:

Ядро фильтра имеет связанную с ним шкалу длины отсечения и шкалу времени отсечения . Шкали, меньшие этих, исключаются из . Используя вышеуказанное определение фильтра, любое поле можно разделить на отфильтрованную и подфильтрованную (обозначаемую штрихом) части, как:

Важно отметить, что операция фильтрации в больших вихревых симуляциях не удовлетворяет свойствам оператора Рейнольдса.

Фильтрованные управляющие уравнения

Основные уравнения LES получаются путем фильтрации уравнений в частных производных, описывающих поле течения. Существуют различия между уравнениями LES для несжимаемых и сжимаемых сред, что приводит к определению новой операции фильтрации.

Численные методы для ЛЭС

Моделирование больших вихрей включает решение дискретизированных фильтрованных управляющих уравнений с использованием вычислительной гидродинамики. LES разрешает масштабы от размера области до размера фильтра, и, следовательно, необходимо разрешать существенную долю турбулентных флуктуаций с высоким волновым числом. Это требует либо схем численного решения высокого порядка точности, либо мелкой сетки, если используются схемы низкого порядка точности. В главе 13 работы Поупа показано, что для схем дискретизации низкого порядка, таких как используемые в методах конечных объемов, ошибка отсечения может быть сопоставима с вкладом субфильтровых масштабов, если ширина фильтра значительно превышает шаг сетки. Хотя схемы с четным порядком точности имеют ошибку отсечения, они не являются диссипативными, и поскольку модели субфильтровых масштабов являются диссипативными, схемы с четным порядком точности не оказывают такого сильного влияния на вклад моделей субфильтровых масштабов, как диссипативные схемы.

Функциональные модели (эдди-вискозности)

Функциональные модели проще, чем структурные, и фокусируются исключительно на рассеивании энергии с физически корректной скоростью. Они основаны на подходе с использованием искусственной вискозности вихрей, где эффекты турбулентности суммируются в турбулентную вязкость. Этот подход рассматривает диссипацию кинетической энергии на субсетчатых масштабах аналогично молекулярной диффузии. В этом случае девиаторная часть моделируется следующим образом:

где – турбулентная вискозность вихрей, а – тензор скоростей деформации. На основе размерного анализа, вискозность вихрей должна иметь размерность . Большинство SGS-моделей вискозности вихрей моделируют вискозность вихрей как произведение характерного масштаба длины и характерного масштаба скорости.