Кіріспе
Топологиялық кеңістік ретінде үздіксіз топтық әрекеті бар топ
Математикада топологиялық топтар – топтар мен топологиялық кеңістіктердің біріктірілуі, яғни олар бір мезгілде топтар және топологиялық кеңістіктер болып табылады. Топтық операциялардың үздіксіздік шарты осы екі құрылымды байланыстырады және олардың бір-бірінен тәуелсіз болуына жол бермейді. Топологиялық топтар 1925-1940 жылдар аралығында жан-жақты зерттелді. Хаар және Вейль (1933 және 1940 жылдары) интегралдар мен Фурье қатарларының топологиялық топтардың өте кең класының ерекше жағдайлары екенін көрсетті. Топологиялық топтар, үздіксіз топтық әрекеттермен бірге, үздіксіз симметрияларды зерттеу үшін қолданылады, мысалы, физика саласында көптеген қолданысқа ие. Функционалдық анализде кез келген топологиялық векторлық кеңістік – скалярлық көбейтудің үздіксіздігін қосымша қасиет ретінде қамтитын аддитивті топологиялық топ болып табылады. Осының салдарынан, топологиялық топтар теориясының көптеген нәтижелерін функционалдық анализде қолдануға болады.
Гомоморфизмдер
Топологиялық топтардың гомоморфизмі – G → H үздіксіз топтық гомоморфизмін білдіреді. Топологиялық топтар, олардың гомоморфизмдерімен бірге, санат құрайды. Топологиялық топтар арасындағы топтық гомоморфизм үздіксіз болады, және тек қана егер ол бір нүктеде үздіксіз болса. Топологиялық топтардың изоморфизмі – бұл топтық изоморфизм, сонымен қатар жатқылық топологиялық кеңістіктердің гомеоморфизмі болып табылады. Бұл жай ғана үздіксіз топтық изоморфизмді талап етуден күштірек, себебі кері гомоморфизм де үздіксіз болуы керек. Қарапайым топтар ретінде изоморфты, бірақ топологиялық топтар ретінде емес болатын топологиялық топтардың мысалдары бар. Шындығында, кез келген дискретті емес топологиялық топ, дискретті топологиямен қарастырылғанда, топологиялық топ болып табылады. Жақын жатқан топтар бірдей, бірақ топологиялық топтар ретінде изоморфизм жоқ.
Topological groups, together with their homomorphisms, form a category. A group homomorphism between topological groups is continuous if and only if it is continuous at some point. An isomorphism of topological groups is a group isomorphism that is also a homeomorphism of the underlying topological spaces. This is stronger than simply requiring a continuous group isomorphism—the inverse must also be continuous. There are examples of topological groups that are isomorphic as ordinary groups but not as topological groups. Indeed, any non discrete topological group is also a topological group when considered with the discrete topology. The underlying groups are the same, but as topological groups there is not an isomorphism.
Мысалдар
Әрбір топты дискретті топология арқылы қарастыру арқылы тривиальды түрде топологиялық топқа айналдыруға болады; мұндай топтар дискретті топтар деп аталады. Осы мағынада, топологиялық топтар теориясы қалыпты топтар теориясын қамтиды. Индискретті топология (яғни тривиальды топология) кез келген топты топологиялық топқа айналдырады. Нақты сандар әдеттегі топологиямен қосу бойынша топологиялық топты құрайды. Евклидтік n-кеңістік ^(n) қосу бойынша топологиялық топ болып табылады, ал жалпы алғанда, кез келген топологиялық векторлық кеңістік (абельдік) топологиялық топты құрайды. Абельдік топологиялық топтардың басқа мысалдары – шеңбер тобы S^(1) немесе кез келген натурал сан n үшін тор (S^(1))^(n). Классикалық топтар – абельдік емес топологиялық топтардың маңызды мысалдары. Мысалы, нақты коэффициенттері бар n×n матрицаларының барлық инверттік матрицаларының жалпы сызықтық тобы GL(n, ℝ) Евклид кеңістігінің ішкі кеңістігі ретінде қарастырылатын топологиясы бар топологиялық топ ретінде қарастырылуы мүмкін. Тағы бір классикалық топ – ортогоналды топ O(n), ол ^(n)-ден өзіне дейінгі барлық сызықтық түрлендірулердің тобы, ол барлық векторлардың ұзындығын сақтайды. Ортогоналды топ топологиялық кеңістік ретінде компактты. Евклид геометриясының көп бөлігін ортогоналды топтың құрылымын немесе оған тығыз байланысты изометриялар тобы O(n) ⋉ ^(n) зерттеу ретінде қарастыруға болады. Бұған дейін аталған топтардың барлығы – Ли топтары, яғни олар топтық операциялар үздіксіз ғана емес, тегіс болатын тегіс көптүрліліктер. Ли топтары – ең жақсы түсінілген топологиялық топтар; Ли топтарына қатысты көптеген сұрақтарды Ли алгебраларына қатысты таза алгебралық сұрақтарға айналдырып, содан кейін оларды шешуге болады. Ли тобы емес топологиялық топтың мысалы – рационал сандардың қосынды тобы, оның топологиясы мұраланған. Бұл саналатын кеңістік, оның дискретті топологиясы жоқ. Сандар теориясы үшін маңызды мысал – p-адик бүтін сандарының p тобы, p – жай сан үшін, яғни n шексіздікке бара жатқанда шекті топтардың кері шегі /p^(n). P тобы компактты (әсіресе Кантор жиынымен гомеоморфты), бірақ ол (нақты) Ли топтарынан толығымен ажыратылған. Жалпы алғанда, p-адик Ли топтарының теориясы бар, оның ішінде GL(n, p) сияқты компактты топтар, сондай-ақ GL(n, p) сияқты жергілікті компактты топтар бар, мұнда p – p-адик сандарының жергілікті компактты өрісі. P тобы – проконекті топ; ол өнімнің ішкі тобына изоморфты, сондықтан оның топологиясы өнім топологиясымен индукцияланады, онда шекті топтарға дискретті топология беріледі. Сандар теориясында маңызды проконекті топтардың тағы бір үлкен класы – абсолютті Галуа топтары. Кейбір топологиялық топтарды шексіз өлшемді Ли топтары ретінде қарастыруға болады; бұл фразаны әртүрлі мысалдардың бірнеше отбасыларын қамту үшін бейресми түсінуге болады. Мысалы, Банах кеңістігі немесе Гильберт кеңістігі сияқты топологиялық векторлық кеңістік – қосу бойынша абельдік топологиялық топ. Басқа да шексіз өлшемді топтар, олардың зерттелу деңгейі әртүрлі, – бұрандалы топтар, Кац-Муди топтары, диффеоморфизм топтары, гомеоморфизм топтары және өлшегіш топтар. Көбейтуші бірлікке ие кез келген Банах алгебрасында инверттік элементтердің жиынтығы көбейту бойынша топологиялық топты құрайды. Мысалы, Гильберт кеңістігіндегі инверттік шектелген операторлардың тобы осылай пайда болады.
The classical groups are important examples of non abelian topological groups. For instance, the general linear group GL(n,) of all invertible n by n matrices with real entries can be viewed as a topological group with the topology defined by viewing GL(n,) as a subspace of Euclidean space ^(n×n). Another classical group is the orthogonal group O(n), the group of all linear maps from ^(n) to itself that preserve the length of all vectors. The orthogonal group is compact as a topological space. Much of Euclidean geometry can be viewed as studying the structure of the orthogonal group, or the closely related group O(n) ⋉ ^(n) of isometries of ^(n). The groups mentioned so far are all Lie groups, meaning that they are smooth manifolds in such a way that the group operations are smooth, not just continuous. Lie groups are the best understood topological groups; many questions about Lie groups can be converted to purely algebraic questions about Lie algebras and then solved. An example of a topological group that is not a Lie group is the additive group of rational numbers, with the topology inherited from
This is a countable space, and it does not have the discrete topology. An important example for number theory is the group p of p adic integers, for a prime number p, meaning the inverse limit of the finite groups /p^(n) as n goes to infinity. The group p is well behaved in that it is compact (in fact, homeomorphic to the Cantor set), but it differs from (real) Lie groups in that it is totally disconnected. More generally, there is a theory of p adic Lie groups, including compact groups such as GL(n,p) as well as locally compact groups such as GL(n,p), where p is the locally compact field of p adic numbers. The group p is a pro finite group; it is isomorphic to a subgroup of the product in such a way that its topology is induced by the product topology, where the finite groups are given the discrete topology. Another large class of pro finite groups important in number theory are absolute Galois groups. Some topological groups can be viewed as infinite dimensional Lie groups; this phrase is best understood informally, to include several different families of examples. For example, a topological vector space, such as a Banach space or Hilbert space, is an abelian topological group under addition. Some other infinite dimensional groups that have been studied, with varying degrees of success, are loop groups, Kac–Moody groups, Diffeomorphism groups, homeomorphism groups, and gauge groups. In every Banach algebra with multiplicative identity, the set of invertible elements forms a topological group under multiplication. For example, the group of invertible bounded operators on a Hilbert space arises this way.
Біркелкі кеңістік
Әрбір топологиялық топты екі түрлі жолмен біркелкі кеңістік ретінде қарастыруға болады; сол жақ біркелкілік барлық сол жақтан көбейтулерді біркелкі үздіксіз бейнелеулерге айналдырады, ал оң жақ біркелкілік барлық оң жақтан көбейтулерді біркелкі үздіксіз бейнелеулерге айналдырады. Егер G абельдік емес болса, онда бұл екі біркелкілік бірдей болуы міндетті емес. Бұл біркелкі құрылымдар топологиялық топтарда толықтық, біркелкі үздіксіздік және біркелкі жинақталу сияқты ұғымдарды қарастыруға мүмкіндік береді.
Кіші топтар
Топологиялық топтың кез келген кіші тобы, егер оған субкеңістік топологиясы берілсе, өзі топологиялық топ болып табылады. Кез келген ашық H кіші тобы G-де жабық болады, себебі H-ның толықтыруы – G \ H үшін g ∈ G \ H болатын ашық жиындардың бірігуімен берілген ашық жиын. Егер H, G-нің кіші тобы болса, онда H-ның жабылуы да кіші топ болып табылады. Сол сияқты, егер H, G-нің нормальді кіші тобы болса, онда H-ның жабылуы G-де нормальді болады.
If H is a subgroup of G then the closure of H is also a subgroup. Likewise, if H is a normal subgroup of G, the closure of H is normal in G.
Квотиенттер мен қалыпты кіші топтар
Егер H, G-нің кіші тобы болса, G/H сол жақ косеттерінің жиыны, үлестік топологиямен бірге, G үшін гомогендік кеңістік деп аталады. Үлестік бейнелеу әрқашан ашық болады. Мысалы, оң бүтін сан n үшін, сфера S^(n), SO(n+1) айналу тобы үшін ^(n+1) кеңістігінде гомогендік кеңістік болып табылады. G/H гомогендік кеңістігі Хаусдорф кеңістігі болады, егер және тек қана H, G-де жабық болса. Осы себептердің бірінен, топологиялық топтарды зерттегенде жабық кіші топтарға назар аудару табиғи. Егер H, G-нің нормальді кіші тобы болса, онда G/H үлестік тобы, үлестік топология берілген кезде топологиялық топқа айналады. Ол Хаусдорфтық болады, егер және тек қана H, G-де жабық болса. Мысалы, G/H үлестік тобы, S^(1) шеңбер тобына изоморфты. Кез келген топологиялық топта, сәйкестік компоненті (яғни, сәйкестік элементін қамтитын байланысты компонент) жабық нормальді кіші топ болып табылады. Егер C сәйкестік компоненті болса және a, G-нің кез келген нүктесі болса, онда сол жақ косет aC, a-ны қамтитын G-нің компоненті болады. Сондықтан, G-дегі C-нің барлық сол жақ косеттерінің (немесе оң жақ косеттерінің) жиынтығы, G-нің барлық компоненттерінің жиынтығына тең. Осыдан G/C үлестік тобы толығымен үзіліссіз екені шығады.
The quotient map is always open. For example, for a positive integer n, the sphere S^(n) is a homogeneous space for the rotation group SO(n+1) in ^(n+1), with
A homogeneous space G/H is Hausdorff if and only if H is closed in G.
Partly for this reason, it is natural to concentrate on closed subgroups when studying topological groups. If H is a normal subgroup of G, then the quotient group G/H becomes a topological group when given the quotient topology. It is Hausdorff if and only if H is closed in G.
For example, the quotient group is isomorphic to the circle group S^(1). In any topological group, the identity component (i. e., the connected component containing the identity element) is a closed normal subgroup. If C is the identity component and a is any point of G, then the left coset aC is the component of G containing a. So the collection of all left cosets (or right cosets) of C in G is equal to the collection of all components of G.
It follows that the quotient group G/C is totally disconnected.
Жабылу және тығыздық
Кез келген коммутативті топологиялық топта, компакт жиын K пен жабық жиын C-нің көбейтіндісі (топ көбейтуші болған жағдайда) KC – жабық жиын болады. Сонымен қатар, G-нің кез келген R және S ішкі жиындары үшін (cl R)(cl S) ⊆ cl (RS). Егер H, G коммутативті топологиялық тобының кіші тобы болса және егер N, G-дегі бірлік элементінің жанындағы аймақ болса, сонда H ∩ cl N жабық болса, онда H жабық болады. Хаусдорф коммутативті топологиялық тобының кез келген дискретті кіші тобы жабық.
Изоморфизм теоремалары
Қарапайым топтар теориясының изоморфизм теоремалары топологиялық жағдайда әрқашан да орындалмайды. Себебі, биективті гомоморфизмнің топологиялық топтардың изоморфизмі болуы міндетті емес. Мысалы, бірінші изоморфизм теоремасының толыққанды түрі топологиялық топтар үшін бұрыс: егер топологиялық топтардың морфизмі болса (яғни, үздіксіз гомоморфизм), онда туынды гомоморфизм топологиялық топтардың изоморфизмі екені міндетті түрде дұрыс емес; ол биективті, үздіксіз гомоморфизм болады, бірақ ол гомеоморфизм болуы міндетті емес. Басқаша айтқанда, ол топологиялық топтар санатында керісіне ие болмауы мүмкін. Топологиялық топтар үшін бірінші изоморфизм теоремасының бір нұсқасы бар, оны былай тұжырымдауға болады: егер үздіксіз гомоморфизм болса, онда G/ker(f)-тен im(f)-ке туынды гомоморфизм изоморфизм болады, егер және тек қана f бейнесіне ашық түрде бейнеленсе. Дегенмен, үшінші изоморфизм теоремасы топологиялық топтар үшін көбінесе сөзбе-сөз орындалады, оны тексеру оңай.
Тоғыз немесе жергілікті тоғыз топтардың бейнелері
Топологиялық топтың G-дің X-ке әрекеті – G-нің X-ке жасалатын топтық әрекеті, мұнда G × X → X функциясы үздіксіз болады. Сол сияқты, G топологиялық тобының V нақты немесе кешенді топологиялық векторлық кеңістіктегі бейнелеуі – G-нің V-ге үздіксіз әрекеті, сондықтан әр g ∈ G үшін V-ден өзіне v ↦ gv функциясы сызықтық болады. Топтық әрекеттер және бейнелеу теориясы ықшам топтар үшін жақсы түсініледі, бұл шекті топтардағы жағдайды жалпылайды. Мысалы, ықшам топтың кез келген шекті өлшемді (нақты немесе кешенді) бейнелеуі – азайтылмайтын бейнелеулердің тікелей қосындысы болып табылады. Ықшам емес топтың шексіз өлшемді унитарлық бейнелеуін азайтылмайтын бейнелеулердің тікелей Гильберт кеңістігіндегі қосындысы ретінде жіктеуге болады, барлығы шекті өлшемді; бұл Питер-Вейл теоремасының бір бөлігі. Мысалы, Фурье қатарларының теориясы кешенді Гильберт кеңістігінде шеңбер тобының S^(1) унитарлық бейнелеуінің жіктелуін сипаттайды L^(2)(S^(1)). S^(1) бейнелеулерінің барлығы 1 өлшемді, z ↦ z^(n) түрінде, мұнда n – бүтін сан (S^(1) көбейту тобының * кіші тобы ретінде қарастырылады). Бұл бейнелеулердің әрқайсысы L^(2)(S^(1)) кеңістігінде 1 рет кездеседі. Барлық байланысты Ли топтарының азайтылмайтын бейнелеулері жіктелген. Атап айтқанда, әрбір азайтылмайтын бейнелеудің сипаттамасы Вейль сипаттама формуласымен беріледі. Жалпы алғанда, жергілікті ықшам топтар гармониялық талдаудың бай теориясына ие, себебі олар Haar шарасымен берілген шара және интегралдың табиғи түсінігін қабылдайды. Жергілікті ықшам топтың кез келген унитарлық бейнелеуін азайтылмайтын унитарлық бейнелеулердің тікелей интегралы ретінде сипаттауға болады. (Егер G I типінде болса, жіктелу негізінен бірегей, оған абельдік топтар және жартылай қарапайым Ли топтары сияқты ең маңызды мысалдар кіреді.) Негізгі мысал – Фурье түрлендірмесі, ол L^(2) Гильберт кеңістігіндегі қосымша топтың әрекетін азайтылмайтын унитарлық бейнелеулердің тікелей интегралы ретінде жіктейді. Бейнелеу теориясының маңызды мақсаты, Лэнглендтің қабылданатын бейнелеулердің жіктелуімен байланысты, жартылай қарапайым Ли топтары үшін унитарлық дуалды (барлық азайтылмайтын унитарлық бейнелеулер кеңістігін) табу болып табылады. Унитарлық дуал көптеген жағдайларда белгілі, мысалы, SL2(R) бейнелеу теориясы, бірақ барлығы емес. Жергілікті ықшам абельдік топ G үшін кез келген азайтылмайтын унитарлық бейнелеудің өлшемі 1 болады. Бұл жағдайда унитарлық дуал топ болып табылады, шын мәнінде басқа жергілікті ықшам абельдік топ. Понтрягин дуалдығы бойынша жергілікті ықшам абельдік топ G үшін G-нің дуалы – бастапқы G тобы. Мысалы, бүтін сандардың дуалды тобы – шеңбер тобы S^(1), ал нақты сандар тобы өзінің дуалымен изоморфты. Кез келген жергілікті ықшам топ G-де азайтылмайтын унитарлық бейнелеулердің жеткілікті саны бар; мысалы, G нүктелерін ажырату үшін жеткілікті бейнелеулер (Гельфанд-Райков теоремасы). Керісінше, жергілікті ықшамдығы жоқ топологиялық топтар үшін бейнелеу теориясы осы уақытқа дейін тек ерекше жағдайларда ғана дамыды және жалпы теорияны күту орынсыз болуы мүмкін. Мысалы, Гильберт кеңістігіндегі әрбір бейнелеу тривиалды болатын көптеген абельдік Банах-Ли топтары бар.
The irreducible unitary representations of are all 1 dimensional, of the form x ↦ e^(2πiax) for a ∈
The irreducible unitary representations of a locally compact group may be infinite dimensional. A major goal of representation theory, related to the Langlands classification of admissible representations, is to find the unitary dual (the space of all irreducible unitary representations) for the semisimple Lie groups. The unitary dual is known in many cases such as [[representation theory of SL2(R), but not all. For a locally compact abelian group G, every irreducible unitary representation has dimension 1. In this case, the unitary dual is a group, in fact another locally compact abelian group. Pontryagin duality states that for a locally compact abelian group G, the dual of is the original group G.
For example, the dual group of the integers is the circle group S^(1), while the group of real numbers is isomorphic to its own dual. Every locally compact group G has a good supply of irreducible unitary representations; for example, enough representations to distinguish the points of G (the Gelfand–Raikov theorem). By contrast, representation theory for topological groups that are not locally compact has so far been developed only in special situations, and it may not be reasonable to expect a general theory. For example, there are many abelian Banach–Lie groups for which every representation on Hilbert space is trivial.
Топологиялық топтардың гомотопиялық теориясы
Топологиялық топтар барлық топологиялық кеңістіктердің арасында, тіпті олардың гомотопиялық типі тұрғысынан да ерекше. Бір негізгі мәселе – G топологиялық тобы байланысты топологиялық кеңістікті, жіктеу кеңістігі BG-ні (жеңіл гипотезалар бойынша, G топтарының негізгі шоқтарын топологиялық кеңістіктерде жіктейді) анықтайды. G тобы гомотопиялық санатта BG-нің циклдық кеңістігіне изоморфты; бұл G-нің гомотопиялық типіне қатысты түрлі шектеулерді білдіреді. Осы шектеулердің кейбіреулері H кеңістіктерінің жалпы мағынасында қолданылады. Мысалы, G топологиялық тобының негізгі тобы абельдік болады. (Кеңірек айтқанда, G-нің гомотопиялық топтарындағы Уайтхедтің көбейтіндісі нөлге тең.) Сонымен қатар, кез келген k өрісі үшін H*(G,k) кохомология сақинасы Хопф алгебрасының құрылымын иеленеді. Хайнц Хопф пен Арманд Борельдің Хопф алгебралары туралы құрылым теоремаларын ескере отырып, бұл топологиялық топтардың мүмкін кохомология сақиналарына қатаң шектеулер қояды. Атап айтқанда, егер G – жолмен байланысты топологиялық топ болса және оның рационалды кохомология сақинасы H*(G,) әр дәрежеде шекті өлшемді болса, онда бұл сақина тіпті дәрежелі генераторлардағы полиномдық сақинаның және тақ дәрежелі генераторлардағы сыртқы алгебраның тензорлық көбейтіндісі болып табылады, яғни еркін дәрежелі коммутативтік алгебра. Атап айтқанда, байланысқан Ли тобы үшін G-нің рационалды кохомология сақинасы – біркелкі дәрежелі генераторлардағы сыртқы алгебра. Сонымен қатар, G байланысқан Ли тобының K максималды компактты кіші тобы бар, ол конъюгацияға дейін бірегей, ал K-нің G-ге қосылуы гомотопиялық теңдестік болып табылады. Осылайша, Ли топтарының гомотопиялық типтерін сипаттау компактты Ли топтарының жағдайына дейін тоғытылады. Мысалы, SL(2,ℝ)-нің ең үлкен компактты кіші тобы SO(2) шеңбер тобы болып табылады, ал SL(2,ℝ)/SO(2) біртекті кеңістігі гиперболалық жазықтықпен сәйкес келеді. Гиперболалық жазықтық жиырылатындықтан, шеңбер тобының SL(2,ℝ)-ге қосылуы гомотопиялық теңдестік болып табылады. Ақырында, компактты байланысқан Ли топтарын Вильгельм Киллинг, Эли Картан және Герман Вейл жіктеді. Нәтижесінде, Ли топтарының мүмкін гомотопиялық типтерінің толық сипаттамасы бар. Мысалы, 3 өлшемді компактты байланысқан Ли тобы – торус, топ SU(2) (S³ сферасына дифеоморфты) немесе оның фактор тобы SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (нақты проективті кеңістікке дифеоморфты).
Some of these restrictions hold in the broader context of H spaces. For example, the fundamental group of a topological group G is abelian. (More generally, the Whitehead product on the homotopy groups of G is zero.) Also, for any field k, the cohomology ring H*(G,k) has the structure of a Hopf algebra. In view of structure theorems on Hopf algebras by Heinz Hopf and Armand Borel, this puts strong restrictions on the possible cohomology rings of topological groups. In particular, if G is a path connected topological group whose rational cohomology ring H*(G,) is finite dimensional in each degree, then this ring must be a free graded commutative algebra over , that is, the tensor product of a polynomial ring on generators of even degree with an exterior algebra on generators of odd degree. In particular, for a connected Lie group G, the rational cohomology ring of G is an exterior algebra on generators of odd degree. Moreover, a connected Lie group G has a maximal compact subgroup K, which is unique up to conjugation, and the inclusion of K into G is a homotopy equivalence. So describing the homotopy types of Lie groups reduces to the case of compact Lie groups. For example, the maximal compact subgroup of SL(2,) is the circle group SO(2), and the homogeneous space SL(2,)/SO(2) can be identified with the hyperbolic plane. Since the hyperbolic plane is contractible, the inclusion of the circle group into SL(2,) is a homotopy equivalence. Finally, compact connected Lie groups have been classified by Wilhelm Killing, Élie Cartan, and Hermann Weyl. As a result, there is an essentially complete description of the possible homotopy types of Lie groups. For example, a compact connected Lie group of dimension at most 3 is either a torus, the group SU(2) (diffeomorphic to the 3 sphere S^(3)), or its quotient group SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (diffeomorphic to [[real projective space).
Толық топологиялық топ
Топологиядағы сүзгілер туралы мақалада торлар мен сүзгілердің жуысуы (конвергенциясы) туралы ақпарат, мысалы, анықтамалар мен қасиеттері келтірілген.