Введение
В математике дифференциальная топология — это область, изучающая топологические и гладкие свойства гладких многообразий. В этом смысле дифференциальная топология отличается от тесно связанной области дифференциальной геометрии, которая рассматривает геометрические свойства гладких многообразий, включая понятия размера, расстояния и формы. В отличие от этого, дифференциальная топология занимается более общими свойствами, такими как число дыр в многообразии, его тип гомотопии или структура его группы диффеоморфизмов. Поскольку многие из этих общих свойств могут быть описаны алгебраически, дифференциальная топология тесно связана с алгебраической топологией. Центральной целью дифференциальной топологии является классификация всех гладких многообразий с точностью до диффеоморфизма. Поскольку размерность является инвариантом гладких многообразий относительно типа диффеоморфизма, эта классификация часто изучается путем классификации (связных) многообразий в каждом измерении по отдельности:
In mathematics, differential topology is the field dealing with the topological properties and smooth properties of smooth manifolds. In this sense differential topology is distinct from the closely related field of differential geometry, which concerns the geometric properties of smooth manifolds, including notions of size, distance, and rigid shape. By comparison differential topology is concerned with coarser properties, such as the number of holes in a manifold, its homotopy type, or the structure of its diffeomorphism group. Because many of these coarser properties may be captured algebraically, differential topology has strong links to algebraic topology. The central goal of the field of differential topology is the classification of all smooth manifolds up to diffeomorphism. Since dimension is an invariant of smooth manifolds up to diffeomorphism type, this classification is often studied by classifying the (connected) manifolds in each dimension separately:
In dimension 1, the only smooth manifolds up to diffeomorphism are the circle, the real number line, and allowing a boundary, the half closed interval and fully closed interval In dimension 2, every closed surface is classified up to diffeomorphism by its genus, the number of holes (or equivalently its Euler characteristic), and whether or not it is orientable. This is the famous classification of closed surfaces. Already in dimension two the classification of non compact surfaces becomes difficult, due to the existence of exotic spaces such as Jacob's ladder. In dimension 3, William Thurston's geometrization conjecture, proven by Grigori Perelman, gives a partial classification of compact three manifolds. Included in this theorem is the Poincaré conjecture, which states that any closed, simply connected three manifold is homeomorphic (and in fact diffeomorphic) to the 3 sphere. Beginning in dimension 4, the classification becomes much more difficult for two reasons. Firstly, every finitely presented group appears as the fundamental group of some 4 manifold, and since the fundamental group is a diffeomorphism invariant, this makes the classification of 4 manifolds at least as difficult as the classification of finitely presented groups. By the word problem for groups, which is equivalent to the halting problem, it is impossible to classify such groups, so a full topological classification is impossible. Secondly, beginning in dimension four it is possible to have smooth manifolds that are homeomorphic, but with distinct, non diffeomorphic smooth structures. This is true even for the Euclidean space , which admits many exotic structures. This means that the study of differential topology in dimensions 4 and higher must use tools genuinely outside the realm of the regular continuous topology of topological manifolds. One of the central open problems in differential topology is the four dimensional smooth Poincaré conjecture, which asks if every smooth 4 manifold that is homeomorphic to the 4 sphere, is also diffeomorphic to it. That is, does the 4 sphere admit only one smooth structure? This conjecture is true in dimensions 1, 2, and 3, by the above classification results, but is known to be false in dimension 7 due to the Milnor spheres. Important tools in studying the differential topology of smooth manifolds include the construction of smooth topological invariants of such manifolds, such as de Rham cohomology or the intersection form, as well as smoothable topological constructions, such as smooth surgery theory or the construction of cobordisms. Morse theory is an important tool which studies smooth manifolds by considering the critical points of differentiable functions on the manifold, demonstrating how the smooth structure of the manifold enters into the set of tools available. Oftentimes more geometric or analytical techniques may be used, by equipping a smooth manifold with a Riemannian metric or by studying a differential equation on it. Care must be taken to ensure that the resulting information is insensitive to this choice of extra structure, and so genuinely reflects only the topological properties of the underlying smooth manifold. For example, the Hodge theorem provides a geometric and analytical interpretation of the de Rham cohomology, and gauge theory was used by Simon Donaldson to prove facts about the intersection form of simply connected 4 manifolds. In some cases techniques from contemporary physics may appear, such as topological quantum field theory, which can be used to compute topological invariants of smooth spaces. Famous theorems in differential topology include the Whitney embedding theorem, the hairy ball theorem, the Hopf theorem, the Poincaré–Hopf theorem, Donaldson's theorem, and the Poincaré conjecture.
В измерении 1 единственными гладкими многообразиями с точностью до диффеоморфизма являются окружность, действительная числовая прямая, а также, допуская границу, полуоткрытый и полностью закрытый интервалы. В измерении 2 каждая замкнутая поверхность классифицируется с точностью до диффеоморфизма по своему роду, числу дыр (или, эквивалентно, по его характеристике Эйлера) и ориентируемости. Это знаменитая классификация замкнутых поверхностей. Уже в измерении 2 классификация некомпактных поверхностей становится сложной из-за существования экзотических пространств, таких как лестница Якоба. В измерении 3 гипотеза геометризации Уильяма Терстона, доказанная Григорием Перельманом, дает частичную классификацию компактных трехмерных многообразий. Эта теорема включает в себя гипотезу Пуанкаре, которая утверждает, что любое замкнутое, просто связное трехмерное многообразие гомеоморфно (и фактически диффеоморфно) 3-сфере. Начиная с измерения 4, классификация становится гораздо сложнее по двум причинам. Во-первых, каждая конечно представленная группа появляется как фундаментальная группа некоторого 4-многообразия, а поскольку фундаментальная группа является диффеоморфизмом-инвариантом, это делает классификацию 4-многообразий как минимум такой же сложной, как классификация конечно представленных групп. Из-за проблемы о слове для групп, которая эквивалентна проблеме останова, классифицировать такие группы невозможно, поэтому полная топологическая классификация невозможна. Во-вторых, начиная с измерения 4, могут существовать гладкие многообразия, которые гомеоморфны, но имеют различные, недиффеоморфные гладкие структуры. Это верно даже для евклидова пространства, которое допускает множество экзотических структур. Это означает, что для изучения дифференциальной топологии в измерениях 4 и выше необходимо использовать инструменты, выходящие за рамки обычной непрерывной топологии топологических многообразий. Одной из центральных нерешенных проблем в дифференциальной топологии является четырехмерная гладкая гипотеза Пуанкаре, которая спрашивает, является ли каждое гладкое 4-многообразие, гомеоморфное 4-сфере, также диффеоморфным ей. Иными словами, имеет ли 4-сфера только одну гладкую структуру? Эта гипотеза верна в измерениях 1, 2 и 3 в соответствии с вышеуказанными результатами классификации, но известно, что она неверна в измерении 7 из-за сфер Милнора. Важными инструментами для изучения дифференциальной топологии гладких многообразий являются построение гладких топологических инвариантов таких многообразий, таких как когомологии де Рама или форма пересечения, а также гладкие топологические конструкции, такие как теория гладкой хирургии или построение кобордизмов. Теория Морса является важным инструментом, который изучает гладкие многообразия, рассматривая критические точки дифференцируемых функций на многообразии, демонстрируя, как гладкая структура многообразия входит в набор доступных инструментов. Часто могут использоваться более геометрические или аналитические методы, оснащая гладкое многообразие римановой метрикой или изучая на нем дифференциальное уравнение. Необходимо следить за тем, чтобы полученная информация была нечувствительна к выбору дополнительной структуры и, следовательно, действительно отражала только топологические свойства лежащего в основе гладкого многообразия. Например, теорема Ходжа предоставляет геометрическую и аналитическую интерпретацию когомологий де Рама, а калибровочная теория была использована Саймоном Дональдсоном для доказательства фактов о форме пересечения просто связных 4-многообразий. В некоторых случаях могут использоваться методы современной физики, такие как топологическая квантовая теория поля, которая может быть использована для вычисления топологических инвариантов гладких пространств. Известные теоремы в дифференциальной топологии включают теорему Уитни о вложении, теорему о волосатом шаре, теорему Хопфа, теорему Пуанкаре-Хопфа, теорему Дональдсона и гипотезу Пуанкаре.
In mathematics, differential topology is the field dealing with the topological properties and smooth properties of smooth manifolds. In this sense differential topology is distinct from the closely related field of differential geometry, which concerns the geometric properties of smooth manifolds, including notions of size, distance, and rigid shape. By comparison differential topology is concerned with coarser properties, such as the number of holes in a manifold, its homotopy type, or the structure of its diffeomorphism group. Because many of these coarser properties may be captured algebraically, differential topology has strong links to algebraic topology. The central goal of the field of differential topology is the classification of all smooth manifolds up to diffeomorphism. Since dimension is an invariant of smooth manifolds up to diffeomorphism type, this classification is often studied by classifying the (connected) manifolds in each dimension separately:
In dimension 1, the only smooth manifolds up to diffeomorphism are the circle, the real number line, and allowing a boundary, the half closed interval and fully closed interval In dimension 2, every closed surface is classified up to diffeomorphism by its genus, the number of holes (or equivalently its Euler characteristic), and whether or not it is orientable. This is the famous classification of closed surfaces. Already in dimension two the classification of non compact surfaces becomes difficult, due to the existence of exotic spaces such as Jacob's ladder. In dimension 3, William Thurston's geometrization conjecture, proven by Grigori Perelman, gives a partial classification of compact three manifolds. Included in this theorem is the Poincaré conjecture, which states that any closed, simply connected three manifold is homeomorphic (and in fact diffeomorphic) to the 3 sphere. Beginning in dimension 4, the classification becomes much more difficult for two reasons. Firstly, every finitely presented group appears as the fundamental group of some 4 manifold, and since the fundamental group is a diffeomorphism invariant, this makes the classification of 4 manifolds at least as difficult as the classification of finitely presented groups. By the word problem for groups, which is equivalent to the halting problem, it is impossible to classify such groups, so a full topological classification is impossible. Secondly, beginning in dimension four it is possible to have smooth manifolds that are homeomorphic, but with distinct, non diffeomorphic smooth structures. This is true even for the Euclidean space , which admits many exotic structures. This means that the study of differential topology in dimensions 4 and higher must use tools genuinely outside the realm of the regular continuous topology of topological manifolds. One of the central open problems in differential topology is the four dimensional smooth Poincaré conjecture, which asks if every smooth 4 manifold that is homeomorphic to the 4 sphere, is also diffeomorphic to it. That is, does the 4 sphere admit only one smooth structure? This conjecture is true in dimensions 1, 2, and 3, by the above classification results, but is known to be false in dimension 7 due to the Milnor spheres. Important tools in studying the differential topology of smooth manifolds include the construction of smooth topological invariants of such manifolds, such as de Rham cohomology or the intersection form, as well as smoothable topological constructions, such as smooth surgery theory or the construction of cobordisms. Morse theory is an important tool which studies smooth manifolds by considering the critical points of differentiable functions on the manifold, demonstrating how the smooth structure of the manifold enters into the set of tools available. Oftentimes more geometric or analytical techniques may be used, by equipping a smooth manifold with a Riemannian metric or by studying a differential equation on it. Care must be taken to ensure that the resulting information is insensitive to this choice of extra structure, and so genuinely reflects only the topological properties of the underlying smooth manifold. For example, the Hodge theorem provides a geometric and analytical interpretation of the de Rham cohomology, and gauge theory was used by Simon Donaldson to prove facts about the intersection form of simply connected 4 manifolds. In some cases techniques from contemporary physics may appear, such as topological quantum field theory, which can be used to compute topological invariants of smooth spaces. Famous theorems in differential topology include the Whitney embedding theorem, the hairy ball theorem, the Hopf theorem, the Poincaré–Hopf theorem, Donaldson's theorem, and the Poincaré conjecture.
Описание
Дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, которые требуют лишь гладкой структуры на многообразии для своего определения. Гладкие многообразия "мягче", чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут выступать в качестве препятствий для определенных типов эквивалентностей и деформаций, существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и кривизна Римана — это инварианты, способные различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии, то есть некоторые многообразия можно плавно "сгладить", но это может потребовать искажения пространства и изменения кривизны или объема. С другой стороны, гладкие многообразия более жесткие, чем топологические многообразия. Джон Милнор обнаружил, что некоторые сферы обладают более чем одной гладкой структурой — см. статью «Экзотическая сфера» и теорему Дональдсона. Мишель Керваир продемонстрировал существование топологических многообразий, не имеющих гладкой структуры вообще. Некоторые построения в гладкой теории многообразий, такие как существование касательных расслоений, можно осуществить в топологическом контексте, но с гораздо большими усилиями, а другие — нет. Одной из основных тем в дифференциальной топологии является изучение специальных типов гладких отображений между многообразиями, а именно погружений и подпогружений, а также пересечений подмногообразий посредством трансверсальности. В более общем смысле, интерес представляют свойства и инварианты гладких многообразий, сохраняющиеся при диффеоморфизмах — еще одном особом виде гладкого отображения. Теория Морса — это другая ветвь дифференциальной топологии, в которой топологическая информация о многообразии выводится из изменений ранга якобиана функции. Список тем дифференциальной топологии можно найти по следующей ссылке: Список тем дифференциальной геометрии.