Кіріспе
Дифференциалдағы көптүрліліктегі векторлық өрістің 0-дерін санап, оның Эйлер сипаттамасын қолданады. Математикада Поанкаре-Хопф теоремасы (Поанкаре-Хопф индекс формуласы, Поанкаре-Хопф индекс теоремасы немесе Хопф индекс теоремасы деп те аталады) – дифференциалдық топологияда қолданылатын маңызды теорема. Ол Анри Пуанкаре және Хайнц Хопфтың есімімен аталған. Поанкаре-Хопф теоремасы көбінесе "шашты шар" теоремасының ерекше жағдайымен түсіндіріледі, ол жұп өлшемді n сферада көздері немесе ағыздары жоқ тегіс векторлық өріс болмайтынын көрсетеді.
In mathematics, the Poincaré–Hopf theorem (also known as the Poincaré–Hopf index formula, Poincaré–Hopf index theorem, or Hopf index theorem) is an important theorem that is used in differential topology. It is named after Henri Poincaré and Heinz Hopf. The Poincaré–Hopf theorem is often
illustrated by the special case of the hairy ball theorem, which simply states that there is no smooth vector field on an even dimensional n sphere having no sources or sinks.
Ресми мәлімдеме
Болсын – дифференциалданатын көптік, өлшемі , және – осы көптік үстіндегі векторлық өріс. Егер – өрістің оқшауланған нөлі болса, онда оның жанындағы жергілікті координаттарды белгілейміз. Ортасы – нүктесінде орналасқан жабық шарды таңдайық, сонда – өрістің осы шар ішіндегі жалғыз нөлі болады. – нүктесіндегі өрістің индексі деп – шардың шекарасынан – сфераға жүретін бейнелеудің дәрежесін атаймыз.
Theorem. Let be a compact differentiable manifold. Let be a vector field on with isolated zeroes. If has boundary, then we insist that be pointing in the outward normal direction along the boundary. Then we have the formula
where the sum of the indices is over all the isolated zeroes of and is the Euler characteristic of A particularly useful corollary is when there is a non vanishing vector field implying Euler characteristic 0. The theorem was proven for two dimensions by Henri Poincaré and later generalized to higher dimensions by Heinz Hopf.
Теорема. Болсын – компактты дифференциалданатын көптік. Болсын – осы көптік үстіндегі оқшауланған нөлдері бар векторлық өріс. Егер көптіктің шекарасы болса, онда біз өрістің шекара бойымен сыртқа қарай бағытталғанын талап етеміз. Онда бізде мына формула бар:
Theorem. Let be a compact differentiable manifold. Let be a vector field on with isolated zeroes. If has boundary, then we insist that be pointing in the outward normal direction along the boundary. Then we have the formula
where the sum of the indices is over all the isolated zeroes of and is the Euler characteristic of A particularly useful corollary is when there is a non vanishing vector field implying Euler characteristic 0. The theorem was proven for two dimensions by Henri Poincaré and later generalized to higher dimensions by Heinz Hopf.
мұндағы индекстердің қосындысы – өрістің барлық оқшауланған нөлдері бойынша алынады, ал – A-ның Эйлер сипаттамасы. Айрықша пайдалы салдары – Эйлер сипаттамасы 0-ге тең болатын, жоғалып кетпейтін векторлық өріс болған жағдайда. Бұл теореманы екі өлшем үшін Анри Пуанкаре, ал кейіннен Хайнц Хопф жоғары өлшемдерге жалпылады.
Theorem. Let be a compact differentiable manifold. Let be a vector field on with isolated zeroes. If has boundary, then we insist that be pointing in the outward normal direction along the boundary. Then we have the formula
where the sum of the indices is over all the isolated zeroes of and is the Euler characteristic of A particularly useful corollary is when there is a non vanishing vector field implying Euler characteristic 0. The theorem was proven for two dimensions by Henri Poincaré and later generalized to higher dimensions by Heinz Hopf.
Маңыздылығы
Жабық беттің Эйлер сипаты – таза топологиялық ұғым, ал векторлық өрістің индексі – таза аналитикалық. Осылайша, бұл теорема математиканың көріне бір-бірімен байланысты емес сияқты екі саласы арасында терең байланыс орнатады. Бұл теореманың дәлелі интеграцияға, әсіресе Стоукс теоремасына көп сүйенетіні қызығушылық тудырады. Стоукс теоремасы дифференциалдық форманың сыртқы туындысының интегралы, сол форманың шекарадағы интегралына тең дейді. Шекарасы жоқ көптеген жағдайларда, бұл интегралдың 0-ге тең екенін білдіреді. Бірақ, көздің немесе тұнбаның жеткілікті кішкентай аймағындағы векторлық өрістерді қарастырғанда, көздер мен тұнбалардың жалпы сомаға бүтін сандық үлестер (индекс деп аталады) қосатынын көреміз, және олардың барлығы 0-ге тең болуы керек. Бұл нәтиже геометриялық және аналитикалық немесе физикалық ұғымдар арасындағы терең байланысты орнататын көптеген теоремалардың (мысалы, Атия-Сингер индекс теоремасы, Де Рам теоремасы, Гротендик-Риман-Рох теоремасы) бірі болып саналады. Олар осы екі саланың қазіргі заманғы зерттеулерінде маңызды рөл атқарады.
Дәлелдің сызбасы
M-ді жоғары өлшемді Евклид кеңістігіне енгізіңіз. (Уитнидің ендіру теоремасын пайдаланыңыз.) Евклид кеңістігіндегі M-нің шағын аймағы Nε-ні алыңыз. Векторлық өрісті осы аймаққа дейін кеңейтіңіз, осылайша оның нөлдері сақталсын және нөлдердің индекстері өзгермесін. Сонымен қатар, Nε шекарасындағы кеңейтілген векторлық өріс сыртқа қарай бағытталғанын қамтамасыз етіңіз. Ескі (және жаңа) векторлық өрістің нөлдерінің индекстерінің қосындысы, Nε шекарасынан 1=(n–1) өлшемді сфераға бағытталған Гаусс картасының дәрежесіне тең. Осылайша, индекстердің қосындысы нақты векторлық өріске тәуелді емес және тек M көптүрлілігіне байланысты. Тәсіл: векторлық өрістің барлық нөлдерін кішкентай аймақтарымен бірге кесіп алыңыз. Содан кейін, n өлшемді көптүрліліктің шекарасынан 1=(n–1) өлшемді сфераға бағытталған картаның дәрежесі нөлге тең екенін пайдаланыңыз, егер оны бүкіл n өлшемді көптүрлілікке кеңейтуге болады. Ақырында, индекстердің қосындысын M-нің Эйлер сипаттамасы деп анықтаңыз. Мұны істеу үшін, M-нің үшбұрытталуын пайдаланып, M-де өте нақты векторлық өріс құрастырыңыз, онда индекстердің қосындысы Эйлер сипаттамасына тең екені анық болады.
Жалпылау
Оқшауланбаған нөлдері бар векторлық өрістің индексін анықтау әлі де мүмкін. Осы индекс құрастырылуы және Poincaré–Hopf теоремасының оқшауланбаған нөлдері бар векторлық өрістерге кеңейтілуі 1.1.2 бөлімінде сипатталған.