Введение
Подсчитывает нули векторного поля на дифференцируемом многообразии, используя его характеристику Эйлера. В математике теорема Пуанкаре — Хопфа (также известная как формула индекса Пуанкаре — Хопфа, теорема индекса Пуанкаре — Хопфа или теорема индекса Хопфа) является важной теоремой, используемой в дифференциальной топологии. Она названа в честь Анри Пуанкаре и Хайнца Хопфа. Теорема Пуанкаре — Хопфа часто иллюстрируется частным случаем теоремы о волосатом шаре, которая утверждает, что на чётномерной n-сфере не существует гладкого векторного поля без источников и стоков.
In mathematics, the Poincaré–Hopf theorem (also known as the Poincaré–Hopf index formula, Poincaré–Hopf index theorem, or Hopf index theorem) is an important theorem that is used in differential topology. It is named after Henri Poincaré and Heinz Hopf. The Poincaré–Hopf theorem is often
illustrated by the special case of the hairy ball theorem, which simply states that there is no smooth vector field on an even dimensional n sphere having no sources or sinks.
Официальное заявление
Пусть M – дифференцируемое многообразие размерности n, а X – векторное поле на M. Предположим, что x – изолированный нуль X, и зафиксируем некоторые локальные координаты вблизи x. Выберем замкнутый шар B радиуса ε, центрированный в x, так что x – единственный нуль X в B. Тогда индекс X в точке x, ind(X, x), можно определить как степень отображения X от границы B в n-мерную сферу, заданную формулой X(∂B)/||X(∂B)||.
Theorem. Let be a compact differentiable manifold. Let be a vector field on with isolated zeroes. If has boundary, then we insist that be pointing in the outward normal direction along the boundary. Then we have the formula
where the sum of the indices is over all the isolated zeroes of and is the Euler characteristic of A particularly useful corollary is when there is a non vanishing vector field implying Euler characteristic 0. The theorem was proven for two dimensions by Henri Poincaré and later generalized to higher dimensions by Heinz Hopf.
Теорема. Пусть M – компактное дифференцируемое многообразие. Пусть X – векторное поле на M с изолированными нулями. Если M имеет границу, то мы требуем, чтобы X указывало в направлении внешнего нормального вектора вдоль границы. Тогда имеет место формула:
Theorem. Let be a compact differentiable manifold. Let be a vector field on with isolated zeroes. If has boundary, then we insist that be pointing in the outward normal direction along the boundary. Then we have the formula
where the sum of the indices is over all the isolated zeroes of and is the Euler characteristic of A particularly useful corollary is when there is a non vanishing vector field implying Euler characteristic 0. The theorem was proven for two dimensions by Henri Poincaré and later generalized to higher dimensions by Heinz Hopf.
∑ ind(X, x) = χ(M),
Theorem. Let be a compact differentiable manifold. Let be a vector field on with isolated zeroes. If has boundary, then we insist that be pointing in the outward normal direction along the boundary. Then we have the formula
where the sum of the indices is over all the isolated zeroes of and is the Euler characteristic of A particularly useful corollary is when there is a non vanishing vector field implying Euler characteristic 0. The theorem was proven for two dimensions by Henri Poincaré and later generalized to higher dimensions by Heinz Hopf.
где сумма индексов берется по всем изолированным нулям X, а χ(M) – характеристика Эйлера M. Особенно полезным следствием является случай, когда существует не исчезающее векторное поле на M, что подразумевает характеристику Эйлера, равную 0. Теорема была доказана для двух измерений Анри Пуанкаре и позднее обобщена на более высокие измерения Хайнцем Хопфом.
Theorem. Let be a compact differentiable manifold. Let be a vector field on with isolated zeroes. If has boundary, then we insist that be pointing in the outward normal direction along the boundary. Then we have the formula
where the sum of the indices is over all the isolated zeroes of and is the Euler characteristic of A particularly useful corollary is when there is a non vanishing vector field implying Euler characteristic 0. The theorem was proven for two dimensions by Henri Poincaré and later generalized to higher dimensions by Heinz Hopf.
Значение
Эйлерова характеристика замкнутой поверхности — чисто топологическое понятие, в то время как индекс векторного поля — чисто аналитическое. Таким образом, эта теорема устанавливает глубокую связь между двумя, казалось бы, не связанными областями математики. Не менее интересно, что доказательство этой теоремы существенно опирается на интегрирование, и в частности, на теорему Стокса, которая утверждает, что интеграл внешней производной дифференциальной формы равен интегралу самой формы по её границе. В частном случае многообразия без границы это эквивалентно утверждению, что интеграл равен 0. Однако, рассматривая векторные поля в достаточно малой окрестности источника или стока, мы видим, что источники и стоки вносят целые значения (известные как индекс) в общую сумму, и эта сумма должна равняться 0. Этот результат можно рассматривать как одну из первых теорем в целой серии (например, теорема Атия — Сингера об индексе, теорема Де Рама, теорема Гротендика — Римана — Роха), устанавливающих глубокие связи между геометрическими и аналитическими или физическими понятиями. Они играют важную роль в современном изучении обеих этих областей.
Схема доказательства
Вложите M в некоторое высокоразмерное евклидово пространство (используйте теорему о вложении Уитни). Возьмите небольшую окрестность M в этом евклидовом пространстве, Nε. Распространите векторное поле на эту окрестность так, чтобы оно по-прежнему имело те же нули, и чтобы нули имели те же индексы. Кроме того, обеспечьте, чтобы расширенное векторное поле на границе Nε было направлено наружу. Сумма индексов нулей исходного (и нового) векторного поля равна степени гауссовой карты с границы Nε на (n-1)-мерную сферу. Таким образом, сумма индексов не зависит от конкретного векторного поля и зависит только от многообразия M. Метод: удалите все нули векторного поля вместе с небольшими окрестностями вокруг них. Затем используйте тот факт, что степень отображения с границы n-мерного многообразия на (n-1)-мерную сферу, которое можно продолжить до всего n-мерного многообразия, равна нулю. Наконец, отождествите эту сумму индексов с эйлеровой характеристикой M. Для этого постройте специальное векторное поле на M, используя триангуляцию M, для которой очевидно, что сумма индексов равна эйлеровой характеристике.
Обобщение
Все еще возможно определить индекс для векторного поля с неизолированными нулями. Конструкция этого индекса и расширение теоремы Пуанкаре — Хопфа для векторных полей с неизолированными нулями представлены в разделе 1.1.2.