Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Көлденең күш нөлге тең болғанда
When the net force on a particle is zero
Классикалық механикада, егер бөлшекке әсер ететін жалпы күш нөл болса, онда бөлшек механикалық тепе-теңдікте болады. Механикалық тепе-теңдікті күш арқылы анықтаудан басқа, механикалық тепе-теңдіктің көптеген баламалы анықтамалары бар, олардың барлығы математикалық тұрғыдан эквивалентті. Импульс тұрғысынан, жүйе тепе-теңдікте болады, егер оның құрамындағы импульстар тұрақты болса. Жылдамдық тұрғысынан, жүйе тепе-теңдікте болады, егер жылдамдық тұрақты болса. * Айналмалы механикалық тепе-теңдікте объектінің бұрыштық импульсі сақталады және жалпы айналу моменты нөлге тең болады. Тепе-теңдіктегі барлық бөлшектердің жылдамдығы тұрақты болғандықтан, бөлшектің аталған жүйеге қатысты қозғалмайтын инерциялық санақ жүйесін табу әрқашан мүмкін.
In classical mechanics, a particle is in mechanical equilibrium if the net force on that particle is zero. In addition to defining mechanical equilibrium in terms of force, there are many alternative definitions for mechanical equilibrium which are all mathematically equivalent. In terms of momentum, a system is in equilibrium if the momentum of its parts is all constant. In terms of velocity, the system is in equilibrium if velocity is constant. * In a rotational mechanical equilibrium the angular momentum of the object is conserved and the net torque is zero. Since all particles in equilibrium have constant velocity, it is always possible to find an inertial reference frame in which the particle is stationary with respect to the frame.
Тұрақтылық
Механикалық тепе-теңдіктегі жүйелердің маңызды қасиеті – тұрақтылығы.
An important property of systems at mechanical equilibrium is their stability.
Потенциалдық энергия тұрақтылығын сынау
Жүйенің әлеуеттік энергиясын сипаттайтын функцияда жүйенің тепе-теңдіктерін есептеу арқылы анықтауға болады. Жүйе жүйенің әлеуеттік энергиясын сипаттайтын функцияның сындық нүктелерінде механикалық тепе-теңдікте болады. Бұл нүктелерді функцияның туындысы осы нүктелерде нөлге тең екендігін пайдаланып табуға болады. Жүйенің тұрақты немесе тұрақсыз екенін анықтау үшін екінші туынды сынағы қолданылады. Бір бостандық дәрежесі бар жүйенің статикалық қозғалыс теңдеуін белгілей отырып, келесі есептеулерді жасауға болады:
In a function which describes the system's potential energy, the system's equilibria can be determined using calculus. A system is in mechanical equilibrium at the critical points of the function describing the system's potential energy. These points can be located using the fact that the derivative of the function is zero at these points. To determine whether or not the system is stable or unstable, the second derivative test is applied. With denoting the static equation of motion of a system with a single degree of freedom the following calculations can be performed:
Екінші туынды < 0 Потенциалдық энергия жергілікті максимумда, яғни жүйе тұрақсыз тепе-теңдік күйінде. Егер жүйе тепе-теңдік күйінен кез келгендей аз қашықтыққа жылжыса, жүйенің күштері оны одан да алыс жылжытады. Екінші туынды > 0 Потенциалдық энергия жергілікті минимумда. Бұл тұрақты тепе-теңдік. Шағын бұзылысқа жауап ретінде тепе-теңдікті қалпына келтіретін күштер пайда болады. Егер жүйеде бірнеше тұрақты тепе-теңдік күйі мүмкін болса, кез келген тепе-теңдік, оның әлеуеттік энергиясы абсолюттік минимумнан жоғары болса, метатұрақ күйді білдіреді. Екінші туынды = 0 Күй ең төменгі рет бойынша бейтарап және егер аз мөлшерде жылжыса, тепе-теңдікте қалады. Жүйенің нақты тұрақтылығын зерттеу үшін жоғары ретті туындыларды қарастыруға болады. Егер ең төменгі нөлден өзгеше туынды тақ ретпен немесе теріс мәнге ие болса, күй тұрақсыз, ал егер ең төменгі нөлден өзгеше туынды жұп ретпен және оң мәнге ие болса, тұрақты. Егер барлық туындылар нөл болса, онда тек туындылар бойынша ешқандай қорытынды жасау мүмкін емес. Мысалы, функция (x=0-де 0 деп анықталған) барлық туындылары нөлге тең. Сонымен қатар, бұл функция x=0-де жергілікті минимумға ие, сондықтан ол тұрақты тепе-теңдік. Егер бұл функцияны таңба функциясына көбейтсек, барлық туындылар әлі де нөлге тең болады, бірақ ол тұрақсыз тепе-теңдікке айналады. Функция жергілікті тұрақты. Шын бейтарап күйде энергия өзгермейді және тепе-теңдік күйінің ені шекті болады. Бұл кейде шекті тұрақты, бейтараптық күйі немесе астабильді тепе-теңдік деп аталады. Егер бірнеше өлшемді қарастырсақ, әр түрлі бағытта әр түрлі нәтижелер алуға болады, мысалы, x бағытындағы жылжуларға қатысты тұрақтылық, бірақ y бағытындағы тұрақсыздық, бұл сідік нүктесі деп аталады. Жалпы, тепе-теңдік тек барлық бағытта тұрақты болса ғана тұрақты деп есептеледі.
Second derivative < 0 The potential energy is at a local maximum, which means that the system is in an unstable equilibrium state. If the system is displaced an arbitrarily small distance from the equilibrium state, the forces of the system cause it to move even farther away. Second derivative > 0 The potential energy is at a local minimum. This is a stable equilibrium. The response to a small perturbation is forces that tend to restore the equilibrium. If more than one stable equilibrium state is possible for a system, any equilibria whose potential energy is higher than the absolute minimum represent metastable states. Second derivative = 0 The state is neutral to the lowest order and nearly remains in equilibrium if displaced a small amount. To investigate the precise stability of the system, higher order derivatives can be examined. The state is unstable if the lowest nonzero derivative is of odd order or has a negative value, stable if the lowest nonzero derivative is both of even order and has a positive value. If all derivatives are zero then it is impossible to derive any conclusions from the derivatives alone. For example, the function (defined as 0 in x=0) has all derivatives equal to zero. At the same time, this function has a local minimum in x=0, so it is a stable equilibrium. If this function is multiplied by the Sign function, all derivatives will still be zero but it will become an unstable equilibrium. Function is locally constant In a truly neutral state the energy does not vary and the state of equilibrium has a finite width. This is sometimes referred to as a state that is marginally stable, or in a state of indifference, or astable equilibrium. When considering more than one dimension, it is possible to get different results in different directions, for example stability with respect to displacements in the x direction but instability in the y direction, a case known as a saddle point. Generally an equilibrium is only referred to as stable if it is stable in all directions.
Статикалық анықталмаған жүйе
Кейде денеге әсер ететін күштер туралы, оның тепе-теңдікте екенін немесе жоқ екенін анықтауға жеткілікті мәлімет болмайды. Мұндай жағдайда, ол статикалық белгісіздікке ие жүйе болып табылады.
Sometimes there is not enough information about the forces acting on a body to determine if it is in equilibrium or not. This makes it a statically indeterminate system.
Мысалдар
Стационарлық объект (немесе объектілер жиынтығы) "статикалық тепе-теңдікте" болады, бұл механикалық тепе-теңдіктің ерекше жағдайы. Үстелдегі қағаз салмағы статикалық тепе-теңдіктің мысалы. Басқа мысалдарға тас балансының мүсіні немесе Женга ойынындағы блоктардан құралған үйінді кіреді, егер мүсін немесе блоктардың үйіндісі құлауға дайын болмаса. Қозғалыстағы заттар да тепе-теңдікте болуы мүмкін. Тұрақты жылдамдықпен сырғанап түсетін бала механикалық тепе-теңдікте болады, бірақ статикалық тепе-теңдікте емес (жердің немесе сырғанақтың координаттық жүйесінде). Механикалық тепе-теңдіктің тағы бір мысалы – адамның пружинаны белгілі бір нүктеге дейін басып тұруы. Ол оны кез келген нүктеге итеріп, сол жерде ұстап тұра алады, сол кезде қысым күші мен пружинаның қарсы әрекеті теңеседі. Осы жағдайда жүйе механикалық тепе-теңдікте болады. Қысым күші алынғанда пружина бастапқы күйіне оралады. Біртекті дөңгелек денелердің (жазық бетте гравитация әсерімен тыныш тұрғанда) статикалық тепе-теңдіктерінің ең аз саны ерекше қызығушылық тудырады. Жазық жағдайда ең аз саны 4-ке тең, ал үш өлшемде бір тұрақты және бір тұрақсыз тепе-теңдік нүктесі бар объектіні жасауға болады. Мұндай объектіні gömböc деп атайды.
A stationary object (or set of objects) is in "static equilibrium," which is a special case of mechanical equilibrium. A paperweight on a desk is an example of static equilibrium. Other examples include a rock balance sculpture, or a stack of blocks in the game of Jenga, so long as the sculpture or stack of blocks is not in the state of collapsing. Objects in motion can also be in equilibrium. A child sliding down a slide at constant speed would be in mechanical equilibrium, but not in static equilibrium (in the reference frame of the earth or slide). Another example of mechanical equilibrium is a person pressing a spring to a defined point. He or she can push it to an arbitrary point and hold it there, at which point the compressive load and the spring reaction are equal. In this state the system is in mechanical equilibrium. When the compressive force is removed the spring returns to its original state. The minimal number of static equilibria of homogeneous, convex bodies (when resting under gravity on a horizontal surface) is of special interest. In the planar case, the minimal number is 4, while in three dimensions one can build an object with just one stable and one unstable balance point. Such an object is called a gömböc.