Механическое равновесие: когда результирующая сила равна нулю. Постоянство импульса, скорости и углового момента – ключевые признаки равновесия в физике.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Когда равнодействующая сила, действующая на частицу, равна нулю
When the net force on a particle is zero
В классической механике частица находится в механическом равновесии, если равнодействующая сила, действующая на эту частицу, равна нулю. Помимо определения механического равновесия с точки зрения силы, существует множество альтернативных определений механического равновесия, которые все математически эквивалентны. С точки зрения импульса, система находится в равновесии, если импульс всех её частей постоянен. С точки зрения скорости, система находится в равновесии, если скорость постоянна. * В состоянии вращательного механического равновесия угловой момент объекта сохраняется, а равнодействующий момент сил равен нулю. Поскольку все частицы в равновесии имеют постоянную скорость, всегда можно найти инерциальную систему отсчета, в которой частица неподвижна относительно этой системы.
In classical mechanics, a particle is in mechanical equilibrium if the net force on that particle is zero. In addition to defining mechanical equilibrium in terms of force, there are many alternative definitions for mechanical equilibrium which are all mathematically equivalent. In terms of momentum, a system is in equilibrium if the momentum of its parts is all constant. In terms of velocity, the system is in equilibrium if velocity is constant. * In a rotational mechanical equilibrium the angular momentum of the object is conserved and the net torque is zero. Since all particles in equilibrium have constant velocity, it is always possible to find an inertial reference frame in which the particle is stationary with respect to the frame.
Стабильность
Важным свойством систем, находящихся в механическом равновесии, является их устойчивость.
An important property of systems at mechanical equilibrium is their stability.
В функции, описывающей потенциальную энергию системы, равновесие системы можно определить с помощью математического анализа. Система находится в механическом равновесии в критических точках функции, описывающей потенциальную энергию системы. Эти точки можно определить, используя тот факт, что производная функции равна нулю в этих точках. Для определения того, является ли система стабильной или нестабильной, применяется тест второй производной. Обозначив статическое уравнение движения системы с одной степенью свободы, можно выполнить следующие рассуждения:
In a function which describes the system's potential energy, the system's equilibria can be determined using calculus. A system is in mechanical equilibrium at the critical points of the function describing the system's potential energy. These points can be located using the fact that the derivative of the function is zero at these points. To determine whether or not the system is stable or unstable, the second derivative test is applied. With denoting the static equation of motion of a system with a single degree of freedom the following calculations can be performed:
Вторая производная < 0: Потенциальная энергия находится в локальном максимуме, что означает, что система находится в нестабильном равновесном состоянии. Если система смещается на сколь угодно малое расстояние от равновесного состояния, силы системы заставляют ее двигаться еще дальше от него. Вторая производная > 0: Потенциальная энергия находится в локальном минимуме. Это стабильное равновесие. Реакция на малое возмущение – силы, стремящиеся восстановить равновесие. Если для системы возможно более одного стабильного равновесного состояния, любые равновесия, потенциальная энергия которых выше абсолютного минимума, представляют собой метастабильные состояния. Вторая производная = 0: Состояние нейтрально в первом приближении и практически остается в равновесии при небольшом смещении. Для исследования точной стабильности системы можно изучить производные более высокого порядка. Состояние нестабильно, если наименьшая ненулевая производная имеет нечетный порядок или отрицательное значение, стабильно, если наименьшая ненулевая производная имеет четный порядок и положительное значение. Если все производные равны нулю, то невозможно сделать какие-либо выводы, основываясь только на производных. Например, функция (определенная как 0 при x=0) имеет все производные, равные нулю. В то же время, эта функция имеет локальный минимум при x=0, следовательно, это стабильное равновесие. Если эту функцию умножить на функцию знака (Sign function), все производные все равно будут равны нулю, но она станет нестабильным равновесием. Функция локально постоянна. В истинно нейтральном состоянии энергия не изменяется, а состояние равновесия имеет конечную ширину. Это иногда называют незначительно стабильным состоянием, состоянием равнодушия или астабильным равновесием. При рассмотрении более одного измерения возможно получение различных результатов в разных направлениях, например, стабильность при смещениях в направлении x, но нестабильность в направлении y – случай, известный как седловая точка. Как правило, равновесие называют стабильным, только если оно стабильно во всех направлениях.
Second derivative < 0 The potential energy is at a local maximum, which means that the system is in an unstable equilibrium state. If the system is displaced an arbitrarily small distance from the equilibrium state, the forces of the system cause it to move even farther away. Second derivative > 0 The potential energy is at a local minimum. This is a stable equilibrium. The response to a small perturbation is forces that tend to restore the equilibrium. If more than one stable equilibrium state is possible for a system, any equilibria whose potential energy is higher than the absolute minimum represent metastable states. Second derivative = 0 The state is neutral to the lowest order and nearly remains in equilibrium if displaced a small amount. To investigate the precise stability of the system, higher order derivatives can be examined. The state is unstable if the lowest nonzero derivative is of odd order or has a negative value, stable if the lowest nonzero derivative is both of even order and has a positive value. If all derivatives are zero then it is impossible to derive any conclusions from the derivatives alone. For example, the function (defined as 0 in x=0) has all derivatives equal to zero. At the same time, this function has a local minimum in x=0, so it is a stable equilibrium. If this function is multiplied by the Sign function, all derivatives will still be zero but it will become an unstable equilibrium. Function is locally constant In a truly neutral state the energy does not vary and the state of equilibrium has a finite width. This is sometimes referred to as a state that is marginally stable, or in a state of indifference, or astable equilibrium. When considering more than one dimension, it is possible to get different results in different directions, for example stability with respect to displacements in the x direction but instability in the y direction, a case known as a saddle point. Generally an equilibrium is only referred to as stable if it is stable in all directions.
Статически неопределенная система
Иногда информации о силах, действующих на тело, недостаточно для определения, находится ли оно в состоянии равновесия. Это делает систему статически неопределимой.
Sometimes there is not enough information about the forces acting on a body to determine if it is in equilibrium or not. This makes it a statically indeterminate system.
Примеры
Стационарный объект (или набор объектов) находится в состоянии "статического равновесия", являющегося частным случаем механического равновесия. Бумажный пресс на столе – пример статического равновесия. Другие примеры включают скульптуру из сбалансированных камней или стопку блоков в игре Дженга, при условии, что скульптура или стопка блоков не находится в процессе разрушения. Объекты в движении также могут находиться в равновесии. Ребенок, скользящий по горке с постоянной скоростью, находится в механическом равновесии, но не в статическом (в системе отсчета Земли или горки). Другой пример механического равновесия – человек, прижимающий пружину до определенной точки. Он может сжать ее до любой точки и удерживать там, в которой сила сжатия и реакция пружины равны по величине. В этом состоянии система находится в механическом равновесии. Когда сила сжатия снимается, пружина возвращается в исходное положение. Особый интерес представляет собой минимальное число статических равновесий однородных выпуклых тел (при нахождении под действием силы тяжести на горизонтальной поверхности). В двумерном случае это число равно 4, а в трехмерном пространстве можно создать объект, имеющий только одну устойчивую и одну неустойчивую точку равновесия. Такой объект называется гёмбёц.
A stationary object (or set of objects) is in "static equilibrium," which is a special case of mechanical equilibrium. A paperweight on a desk is an example of static equilibrium. Other examples include a rock balance sculpture, or a stack of blocks in the game of Jenga, so long as the sculpture or stack of blocks is not in the state of collapsing. Objects in motion can also be in equilibrium. A child sliding down a slide at constant speed would be in mechanical equilibrium, but not in static equilibrium (in the reference frame of the earth or slide). Another example of mechanical equilibrium is a person pressing a spring to a defined point. He or she can push it to an arbitrary point and hold it there, at which point the compressive load and the spring reaction are equal. In this state the system is in mechanical equilibrium. When the compressive force is removed the spring returns to its original state. The minimal number of static equilibria of homogeneous, convex bodies (when resting under gravity on a horizontal surface) is of special interest. In the planar case, the minimal number is 4, while in three dimensions one can build an object with just one stable and one unstable balance point. Such an object is called a gömböc.