Кіріспе
Негізгі статистикалық модель
Кванттық механикада, кванттық бөлшектің қораптағы жағдайы кванттық идеалдық газдың қораптағы тепе-теңдік жағдайын қарастыру үшін пайдаланылуы мүмкін. Бұл газдың молекулалары бір-бірімен тек лездегі жылу алмасу соқтығыстары арқылы ғана әрекеттесетін, көптеген молекулаларды қамтитын қорапты білдіреді. Бұл қарапайым модель классикалық идеалдық газды, сондай-ақ идеалдық массивті Ферми газы, идеалдық массивті Бозе газы және қара дене сәулеленуін (фотондық газды) сипаттауға қолданылады, бұл массасыз Бозе газы ретінде қарастырылады, онда жылу алмасу фотондардың тепе-теңдік массасымен өзара әрекеттесуі арқылы жеңілдетіледі деп есептеледі. Максвелл-Болцман статистикасының, Бозе-Эйнштейн статистикасының немесе Ферми-Дирак статистикасының нәтижелерін пайдаланып және өте үлкен қораптың лимитін ескере отырып, Томас-Ферми жуықтауы (Энрико Ферми және Льюэллин Томас есімдерімен аталған) энергия күйлерінің дегенерациясын дифференциал ретінде, ал күйлер бойынша қосындыларды интеграл ретінде беруге қолданылады. Бұл газдың термодинамикалық қасиеттерін бөлу функциясы немесе үлкен бөлу функциясын қолдана отырып есептеуге мүмкіндік береді. Бұл нәтижелер массивті және массасыз бөлшектерге де қолданылады. Толық есептеулер жеке мақалаларда қамтылады, бірақ осы мақалада қарапайым мысалдар келтіріледі.
In quantum mechanics, the results of the quantum particle in a box can be used to look at the equilibrium situation for a quantum ideal gas in a box which is a box containing a large number of molecules which do not interact with each other except for instantaneous thermalizing collisions. This simple model can be used to describe the classical ideal gas as well as the various quantum ideal gases such as the ideal massive Fermi gas, the ideal massive Bose gas as well as black body radiation (photon gas) which may be treated as a massless Bose gas, in which thermalization is usually assumed to be facilitated by the interaction of the photons with an equilibrated mass. Using the results from either Maxwell–Boltzmann statistics, Bose–Einstein statistics or Fermi–Dirac statistics, and considering the limit of a very large box, the Thomas–Fermi approximation (named after Enrico Fermi and Llewellyn Thomas) is used to express the degeneracy of the energy states as a differential, and summations over states as integrals. This enables thermodynamic properties of the gas to be calculated with the use of the partition function or the grand partition function. These results will be applied to both massive and massless particles. More complete calculations will be left to separate articles, but some simple examples will be given in this article.
Нақты мысалдар
Келесі бөлімдер нақты жағдайлар бойынша нәтижелердің мысалдарын көрсетеді.
Массасыз Бозе-Эйнштейн бөлшектері (мысалы, қара дене сәулесі)
Массасыз бөлшектер үшін массасыз энергия тарату функциясы қолданылуы тиіс. Бұл функцияны жиілік тарату функциясына түрлендіру ыңғайлы:
мұнда Λ – массасыз бөлшектердің жылулық толқын ұзындығы. Спектрлік энергия тығыздығы (көлем бірлігіне шаққандағы энергия, жиілік бірлігіне шаққанда) келесідей болады:
Басқа термодинамикалық параметрлерді де массалы бөлшектер үшінгідей алуға болады. Мысалы, жиілік тарату функциясын интегралдап, N-ді шешу арқылы бөлшектердің санын табуға болады:
Ең көп кездесетін массасыз Бозе газы – қара денедегі фотон газы. «Қорапты» қара дене қуысы ретінде қарастырғанда, фотондар қабырғалармен үнемі жұтылып, қайта шығарылады. Мұндай жағдайда фотондардың саны сақталмайды. Бозе-Эйнштейн статистикасын туындыту кезінде, бөлшектер санына шектеу қойылмаса, бұл химиялық потенциалды (μ) нөлге теңеумен бірдей. Сонымен қатар, фотондардың екі спиндік күйі болғандықтан, f мәні 2-ге тең. Спектрлік энергия тығыздығы келесідей болады:
бұл Планктың қара дене сәулелену заңының спектрлік энергия тығыздығымен бірдей. Егер бұл процедура массасыз Максвелл-Болцман бөлшектері үшін орындалса, Виен таралуы қалпына келтіріледі, бұл жоғары температуралар немесе төмен тығыздықтар үшін Планк таралымына жуықтап келеді. Кейбір жағдайларда фотондарға қатысты реакциялар фотондардың санын сақтауға әкелуі мүмкін (мысалы, жарықдиодтар, «ақ» қуыстар). Мұндай жағдайларда фотондардың тарату функциясы нөлдік емес химиялық потенциалды қамтиды. (Hermann 2005)
Жылу сыйымдылығы үшін тағы бір массасыз Бозе газы – Дебье моделі. Бұл модель қораптағы фонондар газын қарастырады және фотондарға қатысты дамудан фонондардың жылдамдығы жарық жылдамдығынан кем және қораптың әрбір осі үшін рұқсат етілген максималды толқын ұзындығы бар екендігімен ерекшеленеді. Бұл фазалық кеңістікте интегралдау шексіздікке дейін жүргізілмейтінін білдіреді, нәтижелер полилогарифмдерде емес, олармен байланысты Дебье функцияларында беріледі.