Введение

Основная статистическая модель

В квантовой механике результаты, полученные для квантовой частицы в ящике, могут быть использованы для анализа равновесного состояния квантового идеального газа в ящике – ящика, содержащего большое число молекул, не взаимодействующих друг с другом, за исключением мгновенных столкновений, приводящих к термическому равновесию. Эта простая модель применима как к классическому идеальному газу, так и к различным квантовым идеальным газам, таким как идеальный ферми-газ массивных частиц, идеальный бозе-газ массивных частиц, а также излучение абсолютно черного тела (фотонный газ), которое можно рассматривать как газ бозе из безмассовых частиц, при этом термическое равновесие обычно достигается за счет взаимодействия фотонов с уравновешенной массой. Используя результаты, полученные на основе статистики Максвелла — Больцмана, статистики Бозе — Эйнштейна или статистики Ферми — Дирака, и рассматривая предел очень большого ящика, приближение Томаса — Ферми (названное в честь Энрико Ферми и Льюэллина Томаса) позволяет выразить вырождение энергетических уровней в виде дифференциала, а суммирование по состояниям – в виде интегралов. Это дает возможность вычислять термодинамические свойства газа с использованием функции разделения или большой функции разделения. Эти результаты будут применены как к частицам, обладающим массой, так и к безмассовым частицам. Более детальные вычисления будут представлены в отдельных статьях, однако в данной статье будут приведены некоторые простые примеры.

Конкретные примеры

В следующих разделах представлены примеры результатов для отдельных случаев.

Бесмассовые частицы Бозе-Эйнштейна (например, излучение черного тела)

Для частиц без массы должна использоваться функция распределения энергии для безмассовых частиц. Удобно преобразовать эту функцию в функцию распределения по частотам:

где Λ – тепловая длина волны для безмассовых частиц. Спектральная плотность энергии (энергия на единицу объема на единицу частоты) тогда равна

Другие термодинамические параметры могут быть выведены аналогично случаю массивных частиц. Например, интегрирование функции распределения по частотам и решение относительно N дает число частиц:

Наиболее распространенный бесмассовый газ Бозе – это фотонный газ в черном теле. Если считать "коробку" полостью черного тела, то фотоны постоянно поглощаются и переизлучаются стенками. В этом случае число фотонов не сохраняется. При выводе статистики Бозе–Эйнштейна, когда снимается ограничение на число частиц, это фактически эквивалентно установке химического потенциала (μ) равным нулю. Кроме того, поскольку фотоны имеют два спиновых состояния, значение f равно 2. Спектральная плотность энергии тогда равна

что является просто спектральной плотностью энергии для закона Планка излучения черного тела. Следует отметить, что распределение Вина восстанавливается, если эта процедура выполняется для безмассовых частиц Максвелла–Больцмана, что аппроксимирует распределение Планка при высоких температурах или низких плотностях. В определенных ситуациях реакции с участием фотонов приводят к сохранению числа фотонов (например, светодиоды, "белые" полости). В этих случаях функция распределения фотонов будет включать ненулевой химический потенциал. (Hermann 2005)

Другой бесмассовый газ Бозе задается моделью Дебая для теплоемкости. Эта модель рассматривает газ фононов в коробке и отличается от рассмотрения для фотонов тем, что скорость фононов меньше скорости света, и существует максимальная допустимая длина волны для каждой оси коробки. Это означает, что интегрирование по фазовому пространству нельзя проводить до бесконечности, и вместо представления результатов в виде полилогарифмов они выражаются через связанные функции Дебая.