Кіріспе
Математикада нақты сандардың n-тіктер жиынтығы, яғни нақты сандардың n тізбегінің жиынтығы, сондай-ақ координаттық вектор деп аталады. Арнайы жағдайлар нақты түзу R¹ деп аталады, нақты координаттық жазықтық R² және нақты координаттық үш өлшемді кеңістік R³. Компоненттік қосу және скалярлық көбейту арқылы бұл нақты векторлық кеңістік болып табылады. Нақты векторлық кеңістіктің элементтерінің кез келген базисіне сәйкес координаттар, сол векторлық кеңістіктің өлшемімен бірдей нақты координаттық кеңістік құрайды. Сол сияқты, n өлшемді Евклид кеңістігінің нүктелерінің декарттық координаттары (Евклидтік түзу, E; Евклидтік жазықтық, E²; Евклидтік үш өлшемді кеңістік, E³) n өлшемді нақты координаттық кеңістік құрайды.
In mathematics, the real coordinate space or real coordinate n space, of dimension n, denoted or , is the set of all ordered n tuples of real numbers, that is the set of all sequences of n real numbers, also known as coordinate vectors. Special cases are called the real line 'R'^(1), the real coordinate plane 'R'^(2), and the real coordinate three dimensional space 'R'^(3). With component wise addition and scalar multiplication, it is a real vector space. The coordinates over any basis of the elements of a real vector space form a real coordinate space of the same dimension as that of the vector space. Similarly, the Cartesian coordinates of the points of a Euclidean space of dimension n, 'E'^(n) (Euclidean line, 'E'; Euclidean plane, 'E'^(2); Euclidean three dimensional space, 'E'^(3)) form a real coordinate space of dimension n.
These one to one correspondences between vectors, points and coordinate vectors explain the names of coordinate space and coordinate vector. It allows using geometric terms and methods for studying real coordinate spaces, and, conversely, to use methods of calculus in geometry. This approach of geometry was introduced by René Descartes in the 17th century. It is widely used, as it allows locating points in Euclidean spaces, and computing with them.
Бұл векторлар, нүктелер және координаттық векторлар арасындағы бір-бірге сәйкестік координаттық кеңістік және координаттық вектор атауларын түсіндіреді. Бұл нақты координаттық кеңістіктерді зерттеу үшін геометриялық терминдер мен әдістерді пайдалануға және керісінше, геометрияда есептеу әдістерін қолдануға мүмкіндік береді. Геометрияның бұл тәсілін Рене Декарт 17 ғасырда енгізді. Ол Евклид кеңістіктеріндегі нүктелерді анықтауға және олармен есептеулер жасауға мүмкіндік беретіндіктен кеңінен қолданылады.
In mathematics, the real coordinate space or real coordinate n space, of dimension n, denoted or , is the set of all ordered n tuples of real numbers, that is the set of all sequences of n real numbers, also known as coordinate vectors. Special cases are called the real line 'R'^(1), the real coordinate plane 'R'^(2), and the real coordinate three dimensional space 'R'^(3). With component wise addition and scalar multiplication, it is a real vector space. The coordinates over any basis of the elements of a real vector space form a real coordinate space of the same dimension as that of the vector space. Similarly, the Cartesian coordinates of the points of a Euclidean space of dimension n, 'E'^(n) (Euclidean line, 'E'; Euclidean plane, 'E'^(2); Euclidean three dimensional space, 'E'^(3)) form a real coordinate space of dimension n.
These one to one correspondences between vectors, points and coordinate vectors explain the names of coordinate space and coordinate vector. It allows using geometric terms and methods for studying real coordinate spaces, and, conversely, to use methods of calculus in geometry. This approach of geometry was introduced by René Descartes in the 17th century. It is widely used, as it allows locating points in Euclidean spaces, and computing with them.
Бағдарлау
Нақты сандар, көптеген басқа өрістерден өзгеше, реттелген өріс құрайды, бұл "R"^(n) кеңістігінде бағдарлау құрылымын тудырады. "R"^(n) кеңістігінен өзіне толық рангілі кез келген сызықтық түрлендіру, оның матрицасының детерминантының таңбасына байланысты кеңістіктің бағдарын сақтайды немесе өзгертеді. Егер координаттарды (яғни, базистің элементтерін) ауыстырса, нәтижедегі бағдарлау ауыстырудың жұптығына байланысты болады. "R"^(n) диффеоморфизмдері немесе оның домендері, нөлдік Якобианнан аулақ болу қабілеттеріне байланысты, бағдарды сақтайтын және бағдарды өзгертетін деп жіктеледі. Бұл дифференциалдық формалар теориясына маңызды салдарлары бар, оның қолданыстары электродинамиканы қамтиды. Осы құрылымның тағы бір көрінісі – "R"^(n) кеңістігіндегі нүктелік симметрия, n-нің жұптығына байланысты әртүрлі қасиеттерге ие. Егер n жұп болса, онда бағдарлау сақталады, ал n тақ болса, онда өзгертіледі (сондай-ақ, бұрылмалы айналуды қараңыз).
Афиналық кеңістік
Rⁿ аффиндік кеңістік ретінде қарастырылғанда, ол сол кеңістік болып табылады, онда Rⁿ векторлық кеңістік трансляциялар арқылы әрекет етеді. Керісінше, векторды "екі нүктенің арасындағы айырма" деп түсіну керек, бұл көбінесе екі нүктені қосатын бағытталған кесіндімен көрсетіледі. Бұл айырмашылық аффиндік n кеңістігінде координаталардың бастапқы нүктесін орналастыру үшін канондық таңдаудың жоқ екенін көрсетеді, өйткені оны кез келген жерге жылжытуға болады.
Қиыршық
Нақты векторлық кеңістікте, мысалы, Rⁿ, оның векторларының барлық теріс емес сызықтық комбинацияларын қамтитын дөңгелек конусты анықтауға болады. Аффиндік кеңістіктегі сәйкес келетін ұғым – дөңгелек жиын, ол тек дөңгелек комбинацияларға (теріс емес сызықтық комбинацияларға, олардың қосындысы 1-ге тең) мүмкіндік береді. Универсалды алгебра тілінде, векторлық кеңістік – бұл коэффициенттердің шекті тізбектерінің жалпы векторлық кеңістігі R^(∞) үстіндегі алгебра, бұл векторлардың шекті қосындыларына сәйкес келеді, ал аффиндік кеңістік – бұл кеңістіктегі (қосындысы 1-ге тең шекті тізбектердің) жалпы аффиндік гипержазықтығы үстіндегі алгебра, конус – жалпы ортант (теріс емес сандардың шекті тізбектері) үстіндегі алгебра, ал дөңгелек жиын – жалпы симплекс (қосындысы 1-ге тең теріс емес сандардың шекті тізбектері) үстіндегі алгебра. Бұл аксиомаларды «координаттардағы (мүмкін) шектеулермен сомалар» тұрғысынан геометриялық түрде көрсетеді. Дөңгелек талдаудан тағы бір ұғым – Rⁿ-ден нақты сандарға дейінгі дөңгелек функция, ол нүктелердің дөңгелек комбинациясындағы мәні мен сол нүктелердегі мәндердің сол коэффициенттермен қосындысы арасындағы теңсіздік арқылы анықталады.
Алгебралық және дифференциалдық геометрияда
Көптіктің анықтамасы оның модельдік кеңістігі "R^n" болуын талап етпесе де, бұл таңдау ең көп тараған және дифференциалдық геометрияда дерлік жалғыз қолданылатын нұсқа. Екінші жағынан, Уитнидің ендіру теоремалары кез келген нақты дифференциалданатын m өлшемді көптік "R^2m"-ге ендіріле алады.
Басқа көріністер
"R"^(n)-де псевдоевклидтік кеңістік, симплекстік құрылым (жұп n) және контакттік құрылым (тақ n) сияқты басқа да құрылымдар қарастырылады. Бұл құрылымдардың бәрі координаттарға тәуелсіз түрде анықталғанымен, координаттарда стандартты (және салыстырмалы түрде қарапайым) түрін алады. "R"^(n) сондай-ақ кешендік конъюгацияға инвариантты кешенді координаталық кеңістіктің нақты векторлық ішкі кеңістігі болып табылады; кешендеу туралы да қараңыз.
Топологиялық қасиеттер
Rⁿ-ның топологиялық құрылымы (стандартты топология, Евклидтік топология немесе қалыпты топология деп аталады) тек Картазиандық көбейтіндіден ғана емес, сонымен қатар жоғарыда талқыланған Евклид метрикасымен шақырылған табиғи топологиямен да сәйкес келеді: жиын Евклид топологиясында ашық болады, егер және тек оның әрбір нүктесінің айналасында ашық шар болса. Сондай-ақ, Rⁿ — сызықтық топологиялық кеңістік (жоғарыдағы сызықтық бейнелеулердің үздіксіздігін қараңыз), және оның сызықтық құрылымымен үйлесімді бір ғана (тривиалды емес) топология бар. Rⁿ-дан өзіне дейін изометрия емес көптеген ашық сызықтық бейнелеулер болғандықтан, Rⁿ-да бірдей топологияға сәйкес келетін көптеген Евклидтік құрылымдар болуы мүмкін. Шындығында, ол тіпті сызықтық құрылымға көп тәуелді емес: Rⁿ-ның көптеген сызықтық емес диффеоморфизмдері (және басқа да гомеоморфизмдері) бар, олардың өзіне немесе оның бөліктеріне (мысалы, Евклидтік ашық шар немесе гиперкубтың ішкі бөлігі) бейнелейді. Rⁿ-ның топологиялық өлшемі n-ге тең.
Rⁿ топологиясының маңызды және терең нәтижесі — Браувердің домендік инварианттығы. Rⁿ-ның (оның ішкі кеңістік топологиясымен) кез келген ішкі жиыны, егер ол Rⁿ-ның басқа ашық ішкі жиынымен гомеоморфты болса, өзі ашық болады. Мұның тікелей салдары — егер m ≠ n болса, Rᵐ, Rⁿ-мен гомеоморфты бола алмайды — бұл интуитивті түрде "көздейтін" нәтиже, бірақ оны дәлелдеу қиын. Топологиялық өлшемдердің айырмашылығына қарамастан және қарапайым түсінікке қайшы, кіші өлшемді нақты кеңістікті үздіксіз және сюръективті түрде Rⁿ-ға бейнелеуге болады. Үздіксіз (бірақ тегіс емес) кеңістікті толтыру қисығы (R¹-дің бейнесі) мүмкін.
n ≤ 1
0 ≤ n ≤ 1 жағдайлары ештеңе жаңа бермейді: R¹ – нақты сан түзуі, ал R⁰ (бос баған векторын қамтитын кеңістік) – нөлдік векторлық кеңістік ретінде қарастырылатын бір элементті жиын. Дегенмен, оларды әртүрлі n-ді сипаттайтын теориялардың тривиальды жағдайлары ретінде қосу ыңғайлы.
n = 2
(x, y) x және y нақты сандар болған жағдайда, Картезиандық жазықтық P ретінде дамытылды. П жазықтығындағы бағытталған түзу кесінділерін көрсететін Евклидтік векторлармен одан әрі құрылымдық байланыс орнатылды. Жазықтық, сондай-ақ, X² + 1 = 0 теңдеуінің түбірлерін нақты өріске қосу арқылы өріс кеңейтілуі ретінде дамытылды. Бұл түбір топты жасайды. (x, y) x + y i түрінде жазылғанда, ол кешенді сан болады. Басқа топтық әрекет, актері j деп белгіленген, y = x түзуін жазықтықтың (x, y) ↦ (y, x) түрленуіне, яғни координаттарды ауыстыруға пайдаланады. Бұл жағдайда P жазықтығының нүктелері x + y j түрінде жазылады және бөлінген кешенді сандар деп аталады. Бұл сандар jj = +1 шарты бойынша координаталық қосу және көбейту арқылы өріс емес сақинаны құрайды. P жазықтығындағы тағы бір сақиналық құрылым (x, y) үшін x + y e түрінде жазу үшін нөлдік элемент e-ді пайдаланады. e-нің P жазықтығына әсері жазықтықты түзуге дейін қысқартады: оны x координатына проекциялауға болады, содан кейін нәтижені y осіне бұруға болады: e(x + y e) = x e, өйткені e² = 0. x + y e саны – дуальді сан. Дуальді сандар сақинаны құрайды, бірақ e-нің көбейтуге керісі болмағандықтан, ол топты жасай алмайды, сондықтан бұл әрекет топтық әрекет болып табылмайды. P-ден (0, 0) нүктесін алып тастау [x : y] проективті координаттарын құрайды, олар нақты проективті түзуді, бір өлшемді кеңістікті сипаттайды. Бастапқы нүкте алынғандықтан, x/y және y/x қатынастарының кемінде біреуі бар. Сонда [x : y] = [x/y : 1] немесе [x : y] = [1 : y/x]. P₁(R) проективті түзуі – атласты құрайтын екі координаттық кестемен жабылған топологиялық көпқырлы. Екі кестемен де жабылған нүктелер үшін ауысу функциясы нүктенің ашық маңындағы көбейтуге кері операция болып табылады, бұл көпқырлыға қажетті гомеоморфизмді қамтамасыз етеді. Нақты проективті түзудің бір қолданылуы Кейли-Клейн метрикалық геометриясында кездеседі.
n = 4
'R'^(4) нүктелерін (x1, x2, x3, x4) пайдаланып елестетуге болады, мұндағы әр xk 0 немесе 1 болса, олар 4-өлшемді гиперкубтың (тесеракт, суретте көрсетілген) төбелері болып табылады. 'R'^(4)-тің алғашқы маңызды қолданылуы – кеңістік-уақыт моделі: үш кеңістіктік координата және бір уақыт координатасы. Бұл көбінесе қатысу теориясымен байланысты, бірақ Галилейден бері мұндай модельдер үшін төрт өлшем қолданылып келген. Бірақ теорияның таңдалуына байланысты құрылым да өзгереді: Галилейдің қатысу теориясында t координатасы ерекше рөл атқарады, ал Эйнштейннің қатысу теориясында ол ерекшеленбейді. Арнайы қатысу теориясы Минковский кеңістігінде қарастырылады. Жалпы қатысу теориясы қисық кеңістіктерді қолданады, оларды көп жағдайда қисық метрикасы бар 'R'^(4) ретінде қарастыруға болады. Бұл құрылымдардың ешқайсысы 'R'^(4) үшін (оң анықталған) метриканы қамтамасыз етпейді. Евклидтік 'R'^(4) математиктердің де назарын аударады, мысалы, кватерниондармен, өзі 4-өлшемді нақты алгебрамен байланысты болғандықтан. 4-өлшемді Евклид кеңістігіндегі айналымдар туралы толық ақпарат алу үшін қараңыз. Дифференциалдық геометрияда 1=n=4 – 'R'^(n) стандартты емес дифференциалдық құрылымға ие болатын жалғыз жағдай: экзотикалық R4 қараңыз.