Введение
Пространство, образованное n-кортежами действительных чисел.
В математике, реальное координатное пространство или реальное координатное n-пространство размерности n, обозначаемое или , представляет собой множество всех упорядоченных n-кортежей действительных чисел, то есть множество всех последовательностей из n действительных чисел, также известных как координатные векторы. Частными случаями являются реальная прямая 'R'^(1), реальная координатная плоскость 'R'^(2) и реальное координатное трехмерное пространство 'R'^(3). С поэлементным сложением и умножением на скаляр, оно является вещественным векторным пространством. Координаты относительно любого базиса элементов вещественного векторного пространства образуют вещественное координатное пространство той же размерности, что и само векторное пространство. Аналогично, декартовы координаты точек евклидова пространства размерности n, 'E'^(n) (евклидова прямая, 'E'; евклидова плоскость, 'E'^(2); евклидово трехмерное пространство, 'E'^(3)) образуют вещественное координатное пространство размерности n.
Эти взаимно однозначные соответствия между векторами, точками и координатным вектором объясняют названия "координатное пространство" и "координатный вектор". Они позволяют использовать геометрические термины и методы для изучения вещественных координатных пространств и, наоборот, применять методы математического анализа в геометрии. Этот подход к геометрии был введен Рене Декартом в XVII веке. Он широко используется, поскольку позволяет задавать положение точек в евклидовых пространствах и выполнять с ними вычисления.
Ориентация
Тот факт, что действительные числа, в отличие от многих других полей, образуют упорядоченное поле, наделяет пространство Rⁿ структурой ориентации. Любое линейное отображение полного ранга из Rⁿ в себя либо сохраняет, либо меняет ориентацию пространства, в зависимости от знака определителя его матрицы. Если переставить координаты (или, другими словами, элементы базиса), то результирующая ориентация будет зависеть от четности перестановки. Диффеоморфизмы Rⁿ или областей в нем, благодаря тому, что их якобиан отличен от нуля, также классифицируются как сохраняющие и меняющие ориентацию. Это имеет важные последствия для теории дифференциальных форм, которая находит применение, в частности, в электродинамике. Другим проявлением этой структуры является то, что точечное отражение в Rⁿ обладает различными свойствами в зависимости от четности n. Для четного n оно сохраняет ориентацию, а для нечетного n меняет ее (см. также несобственное вращение).
Аффиновое пространство
Rⁿ, понимаемый как аффинное пространство, является тем же пространством, где Rⁿ как векторное пространство действует посредством сдвигов (трансляций). И наоборот, вектор следует понимать как «разность между двумя точками», обычно изображаемую направленным отрезком, соединяющим эти точки. Суть в том, что в аффинном n-пространстве нет канонического выбора начала координат, поскольку его можно сдвинуть в любую точку.
Выпуклость
В реальном векторном пространстве, таком как Rⁿ, можно определить выпуклый конус, содержащий все неотрицательные линейные комбинации его векторов. Соответствующим понятием в аффинном пространстве является выпуклое множество, допускающее только выпуклые комбинации (неотрицательные линейные комбинации, сумма которых равна 1). В терминах универсальной алгебры, векторное пространство представляет собой алгебру над универсальным векторным пространством R∞, состоящим из конечных последовательностей коэффициентов, соответствующих конечным суммам векторов, а аффинное пространство – алгебру над универсальной аффинной гиперплоскостью в этом пространстве (конечных последовательностей, суммирующихся до 1). Конус является алгеброй над универсальным ортом (конечных последовательностей неотрицательных чисел), а выпуклое множество – алгеброй над универсальным симплексом (конечных последовательностей неотрицательных чисел, суммирующихся до 1). Это геометризует аксиомы, выражая их через "суммы с (возможными) ограничениями на координаты". Другим понятием из выпуклого анализа является выпуклая функция из Rⁿ в действительные числа, определяемая неравенством между её значением в выпуклой комбинации точек и суммой значений в этих точках с теми же коэффициентами.
В алгебраической и дифференциальной геометрии
Хотя определение многообразия не требует, чтобы его модельное пространство было Rⁿ, этот выбор наиболее распространен и практически исключителен в дифференциальной геометрии. С другой стороны, теоремы о вложении Уитни утверждают, что любое вещественное дифференцируемое m-мерное многообразие можно вложить в R²ᵐ.
Другие появления
Другие структуры, рассматриваемые на R^(n), включают в себя псевдоевклидово пространство, симплектическую структуру (при четном n) и контактную структуру (при нечетном n). Все эти структуры, хотя и могут быть определены без использования координат, допускают стандартные (и достаточно простые) формы в координатах. R^(n) также является вещественным векторным подпространством комплексного координатного пространства, инвариантным относительно комплексного сопряжения; см. также комплексификацию.
Топологические свойства
Топологическая структура Rⁿ (называемая стандартной топологией, евклидовой топологией или обычной топологией) может быть получена не только из декартова произведения. Она также идентична естественной топологии, индуцированной евклидовой метрикой, рассмотренной выше: множество открыто в евклидовой топологии тогда и только тогда, когда оно содержит открытый шар вокруг каждой своей точки. Кроме того, Rⁿ является линейным топологическим пространством (см. непрерывность линейных отображений выше), и существует только одна возможная (нетривиальная) топология, совместимая с его линейной структурой. Поскольку существует множество открытых линейных отображений из Rⁿ в себя, которые не являются изометриями, может существовать множество евклидовых структур на Rⁿ, соответствующих одной и той же топологии. Фактически, она не сильно зависит даже от линейной структуры: существует множество нелинейных диффеоморфизмов (и других гомеоморфизмов) Rⁿ на себя или на его части, такие как открытый евклидов шар или внутренность гиперкуба. Rⁿ имеет топологическую размерность n.
Важным результатом в топологии Rⁿ, который далеко не поверхностен, является инвариантность домена Брауэра. Любое подмножество Rⁿ (с его подпространственной топологией), гомеоморфное другому открытому подмножеству Rⁿ, само является открытым. Непосредственным следствием этого является то, что Rᵐ не гомеоморфно Rⁿ, если m ≠ n – интуитивно "очевидный" результат, который, тем не менее, трудно доказать. Несмотря на разницу в топологической размерности, и вопреки наивному восприятию, возможно непрерывно и сюръективно отображать пространство меньшей размерности на Rⁿ. Возможно построение непрерывной (хотя и не гладкой) кривой, заполняющей пространство (образ R¹).
n ≤ 1
Случаи 0 ≤ n ≤ 1 ничего нового не дают: ℝ¹ является действительной прямой, а ℝ⁰ (пространство, содержащее пустой столбцовый вектор) — это сингультон, рассматриваемый как нулевое векторное пространство. Однако полезно включать их как тривиальные случаи теорий, описывающих различные значения n.
n = 2
Случай (x,y), где x и y – действительные числа, был разработан как декартова плоскость P. К этой плоскости была присоединена дополнительная структура в виде евклидовых векторов, представляющих направленные отрезки в P. Плоскость также была разработана как расширение поля путем присоединения корней уравнения X² + 1 = 0 к полю действительных чисел. Корень i действует на P как поворот на четверть окружности против часовой стрелки. Этот корень порождает группу. Когда (x,y) записывается в виде x + y i, это комплексное число. Другое групповое действие, где действующий элемент выражается как j, использует прямую y = x для инволюции, отражающей плоскость: (x,y) → (y,x), то есть для перестановки координат. В этом случае точки P записываются как x + y j и называются расщеплёнными комплексными числами. Эти числа, с поэлементным сложением и умножением, удовлетворяющим условию jj = +1, образуют кольцо, которое не является полем. Другая кольцевая структура на P использует нильпотентный элемент e для записи x + y e для (x,y). Действие e на P сводит плоскость к прямой: его можно разложить на проекцию на координату x, а затем на поворот результата на четверть окружности к оси y: e(x + y e) = x e, поскольку e² = 0. Число x + y e – двойственное число. Двойственные числа образуют кольцо, но, поскольку у e нет обратного элемента по умножению, оно не порождает группу, поэтому это действие не является групповым. Исключение точки (0,0) из P приводит к проективным координатам [x : y], описывающим реальную проективную прямую – одномерное пространство. Поскольку начало координат исключено, существует хотя бы одно из отношений x/y или y/x. Тогда [x : y] = [x/y : 1] или [x : y] = [1 : y/x]. Проективная прямая P₁(R) является топологическим многообразием, покрытым двумя координатными картами: [z : 1] → z или [1 : z] → z, которые образуют атлас. Для точек, покрываемых обеими картами, функция перехода является мультипликативным обращением в открытой окрестности точки, что обеспечивает гомеоморфизм, необходимый для многообразия. Одно из применений реальной проективной прямой можно найти в метрической геометрии Кэли — Клейна.
n = 4
R⁴ можно представить, исходя из того, что точки (x₁, x₂, x₃, x₄), где каждый xₖ равен 0 или 1, являются вершинами тессеракта (изображённого на рисунке), четырёхмерного гиперкуба (см. выше). Первое значимое применение R⁴ – это модель пространства-времени: три пространственные координаты и одна временная. Обычно это ассоциируется с теорией относительности, хотя четырёхмерные модели использовались ещё со времён Галилея. Выбор теории приводит к различным структурам: в галилеевской теории относительности координата t выделена, но в эйнштейновской теории относительности – нет. Специальная теория относительности рассматривается в пространстве Минковского. Общая теория относительности использует искривлённые пространства, которые в большинстве практических случаев можно рассматривать как R⁴ с искривлённой метрикой. Ни одна из этих структур не предоставляет (положительно определённую) метрику на R⁴. Евклидово R⁴ также привлекает внимание математиков, например, благодаря его связи с кватернионами – четырёхмерной вещественной алгеброй. Подробности можно найти в разделе, посвящённом вращениям в четырёхмерном евклидовом пространстве. В дифференциальной геометрии 1=n=4 – единственный случай, когда Rⁿ допускает нестандартную дифференциальную структуру: см. экзотическое R⁴.