Кіріспе

Статистикалық бағалаушы, үлгі көлемі артқан сайын нақты параметрға ықтималдық бойынша жақындайтын. Статистикада, тұрақты бағалаушы немесе асимптотикалық тұрақты бағалаушы – бұл параметр θ₀-ның бағалауын есептеу ережесі, онда қолданылған деректер саны шексіз ұлғайғанда, алынған бағалаулар тізбегі ықтималдық бойынша θ₀-ға жақындайды. Бұл бағалаулардың таралуы бағаланатын параметрдің нақты мәніне қаншама жақын болса, соншама шоғырланады дегенді білдіреді, сондықтан бағалаушының θ₀-ға кез келген жақындыққа ие болу ықтималдығы бірге теңеседі. Іс жүзінде, n өлшемді қолжетімді үлгіге сүйенетін бағалаушы құрастырылады, содан кейін деректерді жинауды жалғастырып, үлгіні шексіз кеңейту мүмкіндігі көзделеді. Осылайша, n индексімен белгіленген бағалаулар тізбегі алынады, ал тұрақтылық – үлгі көлемі шексізге ұмтылғанда туындайтын қасиет. Егер бағалаулар тізбесінің ықтималдық бойынша нақты мән θ₀-ға жақындауы математикалық тұрғыдан дәлелденсе, онда ол тұрақты бағалаушы деп аталады; әйтпесе, бағалаушы тұрақсыз деп есептеледі. Мұнда анықталған тұрақтылық кейде әлсіз тұрақтылық деп аталады. Егер ықтималдық бойынша жақындау орнына дерлік нақты жақындау қолданылса, онда бағалаушы күшті тұрақты болады. Тұрақтылық қателікпен байланысты; қателік пен тұрақтылықты қараңыз.

Нормалды кездейсоқ айнымалының үлгідегі орташа мәні

Бірде бір статистикалық тәуелсіз байқаулар тізбегі бар деп болжам жасайық {X1, X2, …} қалыпты N(μ, σ²) үлестірімінен. μ-ді алғашқы n байқаулардың негізінде бағалау үшін, үлгінің орташа мәнін қолдануға болады: Tn = (X1 + … + Xn)/n. Бұл n үлгі көлемімен индекстелген бағалаушылар тізбегін анықтайды.

Қалыпты үлестірімнің қасиеттерінен біз осы статистиканың үлгілік үлестірімін білеміз: Tn өзі қалыпты түрде таратылған, орташасы μ және дисперсиясы σ²/n. Балама түрінде, стандартты қалыпты үлестіріміне жақындайды:

n шексіздікке қарай ұмтылғанда, кез келген бекітілген ε > 0 үшін. Сондықтан, үлгінің орташа мәндерінің Tn тізбегі μ популяциялық орташасына қатысты дұрыс (естеріңізге сала кетейік, қалыпты үлестірімнің жиынтық үлестірім функциясы).

Бейтарап, бірақ дәйекті емес

Бағалаушы бейтарап болуы мүмкін, бірақ дәйекті емес. Мысалы, тәуелсіз және бірдей үлестірімді (iid) {x₁, x₂, ..., xₙ} үлгісі үшін T(X) = xₙ орташа E[X] бағалаушысы ретінде қолданылуы мүмкін. Бұл жерде T бағалаушысының үлгілеу үлестірімі негізгі үлестіріммен бірдей екенін ескеріңіз (әр n үшін, өйткені ол соңғы мәннен басқа барлық мәндерді ескермейді), сондықтан E[T(X)] = E[X] және ол бейтарап, бірақ ол ешқандай мәнге жуықтамайды. Дегенмен, егер бағалаушылар тізбегі бейтарап болса және бір мәнге жуықса, онда ол дәйекті болады, себебі ол дұрыс мәнге жуықталуы тиіс.

Бәсекеге бейім , бірақ тұрақты

Сонымен қатар, бағалаушы қате болуы мүмкін, бірақ дәйекті болуы мүмкін. Мысалы, егер орташа мән шамаланса, ол қате болады, бірақ , ол нақты мәнге жақындайды, сондықтан ол дәйекті. Маңызды мысалдарға үлгі дисперсиясы және үлгі стандартты ауытқуы жатады. Бессельдің түзетуісіз (яғни, бостандық дәрежесінің орнына үлгі мөлшерін қолданғанда), бұл екеуі де теріс қателі, бірақ дәйекті бағалаушылар. Түзетумен, түзетілген үлгі дисперсиясы қатесіз, ал түзетілген үлгі стандартты ауытқуы әлі де қателі, бірақ одан аз, және екеуі де дәйекті: түзету коэффициенті үлгі мөлшері өскен сайын 1-ге жуықталады. Міне, тағы бір мысал. Бұл мән үшін бағалаушылар тізбегі болсын. Біз , , және қате нөлге жақындамайтынын көреміз.