Кіріспе
Энумеративтік комбинаторикадағы әдіс. Энумеративтік комбинаториканың математикалық саласында кейде сәйкестіктер жиынның бір "ерекше элементін" бөліп көрсетуге негізделген дәлелдер арқылы анықталады.
In the mathematical field of enumerative combinatorics, identities are sometimes established by arguments that rely on singling out one "distinguished element" of a set.
Анықтама
Келіңіздер, A жиынының кіші жиындыларының отбасы болсын және A жиынының ерекше элементі болсын. Содан кейін, A жиынының кіші жиынын белгілі бір предикатқа байланыстыратын P(A) предикаты бар деп есептейік. P(A) предикаты орындалатын A жиынының кіші жиындары жиынымен және P(A) предикаты орындалмаса, A жиынының кіші жиындары жиынымен белгіленсін. Осылайша, екі жиын да бөлек жиындар болып табылады, сондықтан қосындылау әдісімен олардың кардиналдықтары қосылады.
Осылайша, ерекше элемент предикат бойынша жіктеуге мүмкіндік береді, бұл "бөліп жеңе" алгоритмінің қарапайым түрі. Комбинаторикада бұл рекурренттік қатынастарды құруға мүмкіндік береді. Мысалдар келесі бөлімде келтірілген.
Мысалдар
Биномдық коэффициент — n өлшемді жиынның k өлшемді кіші жиынтықтарының саны. Негізгі сәйкестік — оның бір салдары биномдық коэффициенттердің дәл Паскаль үшбұрышында кездесетін сандар екендігін көрсетеді. Кез келген k өлшемді кіші жиынтықтар жиынында: (1) ерекшеленген элементі бар барлық k өлшемді кіші жиынтықтар және (2) ерекшеленген элементі жоқ барлық k өлшемді кіші жиынтықтар болады. Егер (n + 1) өлшемді жиынның k өлшемді кіші жиынтығында ерекшеленген элемент болса, онда оның қалған k - 1 элементі біздің (n + 1) өлшемді жиынымыздың басқа n элементінен таңдалады. Оларды таңдаудың тәсілдерінің саны — . Егер k өлшемді кіші жиынтықта ерекшеленген элемент болмаса, онда оның барлық k мүшесі басқа n «ерекшеленбеген» элементтен таңдалады. Сондықтан оларды таңдаудың жолдарының саны — . Кез келген n өлшемді жиынның кіші жиын саны 2n-ге тең. Дәлел: Математикалық индукция қолданамыз. Индукцияның негізі — n = 0 жағдайында бұл тұжырымның дұрыстығы. Бос жиын 0 мүшеден және 1 кіші жиыннан тұрады, ал 20 = 1. Индукциялық гипотеза — n жағдайындағы тұжырым; оны n + 1 жағдайын дәлелдеу үшін пайдаланамыз. (n + 1) өлшемді жиында ерекшеленген элементті таңдаңыз. Әрбір кіші жиын ерекшеленген элементті қамтиды немесе қамтимайды. Егер кіші жиын ерекшеленген элементті қамтитын болса, онда оның қалған элементтері басқа n элементтен таңдалады. Индукциялық гипотеза бойынша, оны жасаудың тәсілдерінің саны 2n. Егер кіші жиын ерекшеленген элементті қамтитын болмаса, онда ол барлық ерекшеленбеген элементтер жиынының кіші жиыны болады. Индукциялық гипотеза бойынша, мұндай кіші жиынның саны 2n-ге тең. Соңында, біздің (n + 1) өлшемді жиынымыздың барлық кіші жиын тізімі 2n + 2n = 2n+1 элементтен тұрады. Bn n-ші Белл саны болсын, яғни n мүшелі жиынның бөлістерінің саны. Cn — осы жиынның барлық бөлістері арасындағы «бөліктердің» (немесе комбинатористер оларды жиі «блоктар» деп атайды) жалпы саны болсын. Мысалы, 3 өлшемді {a, b, c} жиынының бөлістерін былай жазуға болады:
Proof: In a size (n + 1) set, choose one distinguished element. The set of all size k subsets contains: (1) all size k subsets that do contain the distinguished element, and (2) all size k subsets that do not contain the distinguished element. If a size k subset of a size (n + 1) set does contain the distinguished element, then its other k − 1 elements are chosen from among the other n elements of our size (n + 1) set. The number of ways to choose those is therefore If a size k subset does not contain the distinguished element, then all of its k members are chosen from among the other n "non distinguished" elements. The number of ways to choose those is therefore
The number of subsets of any size n set is 2n. Proof: We use mathematical induction. The basis for induction is the truth of this proposition in case n = 0. The empty set has 0 members and 1 subset, and 20 = 1. The induction hypothesis is the proposition in case n; we use it to prove case n + 1. In a size (n + 1) set, choose a distinguished element. Each subset either contains the distinguished element or does not. If a subset contains the distinguished element, then its remaining elements are chosen from among the other n elements. By the induction hypothesis, the number of ways to do that is 2n. If a subset does not contain the distinguished element, then it is a subset of the set of all non distinguished elements. By the induction hypothesis, the number of such subsets is 2n. Finally, the whole list of subsets of our size (n + 1) set contains 2n + 2n = 2n+1 elements. Let Bn be the nth Bell number, i. e., the number of partitions of a set of n members. Let Cn be the total number of "parts" (or "blocks", as combinatorialists often call them) among all partitions of that set. For example, the partitions of the size 3 set {a, b, c} may be written thus:
We see 5 partitions, containing 10 blocks, so B3 = 5 and C3 = 10. An identity states:
Proof: In a size (n + 1) set, choose a distinguished element. In each partition of our size (n + 1) set, either the distinguished element is a "singleton", i. e., the set containing only the distinguished element is one of the blocks, or the distinguished element belongs to a larger block. If the distinguished element is a singleton, then deletion of the distinguished element leaves a partition of the set containing the n non distinguished elements. There are Bn ways to do that. If the distinguished element belongs to a larger block, then its deletion leaves a block in a partition of the set containing the n non distinguished elements. There are Cn such blocks.
Біз 10 блоктан тұратын 5 бөлісті көреміз, сондықтан B3 = 5 және C3 = 10. Сәйкестік мынадай:
Proof: In a size (n + 1) set, choose one distinguished element. The set of all size k subsets contains: (1) all size k subsets that do contain the distinguished element, and (2) all size k subsets that do not contain the distinguished element. If a size k subset of a size (n + 1) set does contain the distinguished element, then its other k − 1 elements are chosen from among the other n elements of our size (n + 1) set. The number of ways to choose those is therefore If a size k subset does not contain the distinguished element, then all of its k members are chosen from among the other n "non distinguished" elements. The number of ways to choose those is therefore
The number of subsets of any size n set is 2n. Proof: We use mathematical induction. The basis for induction is the truth of this proposition in case n = 0. The empty set has 0 members and 1 subset, and 20 = 1. The induction hypothesis is the proposition in case n; we use it to prove case n + 1. In a size (n + 1) set, choose a distinguished element. Each subset either contains the distinguished element or does not. If a subset contains the distinguished element, then its remaining elements are chosen from among the other n elements. By the induction hypothesis, the number of ways to do that is 2n. If a subset does not contain the distinguished element, then it is a subset of the set of all non distinguished elements. By the induction hypothesis, the number of such subsets is 2n. Finally, the whole list of subsets of our size (n + 1) set contains 2n + 2n = 2n+1 elements. Let Bn be the nth Bell number, i. e., the number of partitions of a set of n members. Let Cn be the total number of "parts" (or "blocks", as combinatorialists often call them) among all partitions of that set. For example, the partitions of the size 3 set {a, b, c} may be written thus:
We see 5 partitions, containing 10 blocks, so B3 = 5 and C3 = 10. An identity states:
Proof: In a size (n + 1) set, choose a distinguished element. In each partition of our size (n + 1) set, either the distinguished element is a "singleton", i. e., the set containing only the distinguished element is one of the blocks, or the distinguished element belongs to a larger block. If the distinguished element is a singleton, then deletion of the distinguished element leaves a partition of the set containing the n non distinguished elements. There are Bn ways to do that. If the distinguished element belongs to a larger block, then its deletion leaves a block in a partition of the set containing the n non distinguished elements. There are Cn such blocks.
Дәлел: (n + 1) өлшемді жиында ерекшеленген элементті таңдаңыз. Біздің (n + 1) өлшемді жиынымыздың әр бөлісінде ерекшеленген элемент «жеке элемент» болады, яғни ерекшеленген элементті қамтитын жиын блоктардың бірі, немесе ерекшеленген элемент үлкен блокқа жатады. Егер ерекшеленген элемент жеке элемент болса, онда ерекшеленген элементті жою n ерекшеленбеген элементті қамтитын жиынның бөлісін қалдырады. Мұны істеудің Bn тәсілі бар. Егер ерекшеленген элемент үлкен блокқа жатса, онда оны жою n ерекшеленбеген элементтен тұратын жиынның бөлісінде блок қалдырады. Мұндай блоктардың саны Cn.
Proof: In a size (n + 1) set, choose one distinguished element. The set of all size k subsets contains: (1) all size k subsets that do contain the distinguished element, and (2) all size k subsets that do not contain the distinguished element. If a size k subset of a size (n + 1) set does contain the distinguished element, then its other k − 1 elements are chosen from among the other n elements of our size (n + 1) set. The number of ways to choose those is therefore If a size k subset does not contain the distinguished element, then all of its k members are chosen from among the other n "non distinguished" elements. The number of ways to choose those is therefore
The number of subsets of any size n set is 2n. Proof: We use mathematical induction. The basis for induction is the truth of this proposition in case n = 0. The empty set has 0 members and 1 subset, and 20 = 1. The induction hypothesis is the proposition in case n; we use it to prove case n + 1. In a size (n + 1) set, choose a distinguished element. Each subset either contains the distinguished element or does not. If a subset contains the distinguished element, then its remaining elements are chosen from among the other n elements. By the induction hypothesis, the number of ways to do that is 2n. If a subset does not contain the distinguished element, then it is a subset of the set of all non distinguished elements. By the induction hypothesis, the number of such subsets is 2n. Finally, the whole list of subsets of our size (n + 1) set contains 2n + 2n = 2n+1 elements. Let Bn be the nth Bell number, i. e., the number of partitions of a set of n members. Let Cn be the total number of "parts" (or "blocks", as combinatorialists often call them) among all partitions of that set. For example, the partitions of the size 3 set {a, b, c} may be written thus:
We see 5 partitions, containing 10 blocks, so B3 = 5 and C3 = 10. An identity states:
Proof: In a size (n + 1) set, choose a distinguished element. In each partition of our size (n + 1) set, either the distinguished element is a "singleton", i. e., the set containing only the distinguished element is one of the blocks, or the distinguished element belongs to a larger block. If the distinguished element is a singleton, then deletion of the distinguished element leaves a partition of the set containing the n non distinguished elements. There are Bn ways to do that. If the distinguished element belongs to a larger block, then its deletion leaves a block in a partition of the set containing the n non distinguished elements. There are Cn such blocks.