Кіріспе

Ойын теориясында шешім тұжырымдамасы – ойынның қалай ойналатындығын болжаудың ресми ережесі. Бұл болжаулар "шешімдер" деп аталады және ойыншылардың қандай стратегияларды қабылдайтынын, демек, ойынның нәтижесін сипаттайды. Ең көп қолданылатын шешім тұжырымдамалары – тепе-теңдік тұжырымдамалары, олардың ең танымал мысалы – Нэш тепе-теңдігі. Көптеген ойындар үшін көптеген шешімдер болуы мүмкін, бұл кез келген шешімге күмән тудырады. Сондықтан ойын теоретигі шешімдерді таңдау үшін оларды нақтылауға тырысады. Әрбір келесі шешім тұжырымдамасы алдыңғысына қарағанда жақсырақ, өйткені ол күрделі ойындардағы сенімсіз тепе-теңдіктерді жояды.

Ресми анықтама

Барлық ойындардың классы болсын, және әрбір ойын үшін A ойыншысының стратегиялық профильдер жиыны болсын. Шешім ұғымы – тікелей көбейтіндінің бір элементе, яғни, барлық үшін осындай функция.

Ұтымдылық және қайталанатын үстемдік

Бұл шешім тұжырымында ойыншылардың рационалды екені ескеріледі, сондықтан мүмкін ойналатын стратегиялар жиынынан қатаң басым стратегиялар алынып тасталады. Егер ойыншыға басқа стратегия қолжетімді болса және ол стратегия басқа ойыншылардың таңдауына қарамастан әрқашан жоғарырақ пайда әкелсе, онда бұл стратегия қатаң басым болып есептеледі. (Минимакс ойын ағашын іздеуде де қатаң басым стратегиялар маңызды.) Мысалы, тұтқындардың дилеммасында (бір кезеңдік, төменде көрсетілген), екі ойыншы үшін де «әрекет ету» стратегиясы «бірлесіп жұмыс істеу» стратегиясынан қатаң басым, себебі кез келген ойыншы қарсыласының не істейтініне қарамастан, «әрекет ету» стратегиясын таңдағанда әрқашан жақсы нәтиже алады.

Тұтқын 2: Бірлесіп жұмыс істеу | Тұтқын 2: Әрекет ету
Тұтқын 1: Бірлесіп жұмыс істеу | -0.5, -0.5 | -10, 0
Тұтқын 1: Әрекет ету | 0, -10 | -2, -2

Нэш тепе-теңдігі

Нэш тепе-теңдігі – стратегиялық профиль (стратегиялық профиль әрбір ойыншы үшін стратегияны белгілейді, мысалы, жоғарыдағы тұтқындар дилеммасында (ынтымақтастық, құлқылау) тұтқын 1 ынтымақтастық таңдайды, ал тұтқын 2 құлқылау таңдайды) онда әрбір агенттің (агент i) таңдаған стратегиясы, қалған барлық қарсыластардың (әр j≠i үшін агенттер j) таңдаған стратегияларына ең тиімді жауап болып табылады. Ойыншының стратегиясы, егер басқа ойыншының стратегиясы қолданылған кез келген жағдайда, одан жоғары пайда алуға мүмкіндік беретін басқа стратегия болмаса, басқа ойыншының стратегиясына ең тиімді жауап болып саналады.

Бөлшектік ойынның Наштың теңгерімі

Артқа индукцияның жалпылауы – ойынның ішкі ойындарындағы кемелдік. Артқа индукция болашақ әрекеттердің барлығының рационалды болатынын болжайды. Ішкі ойын кемелді тепе-теңдікте әрбір ішкі ойындағы әрекеттер рационалды болады (нақтырақ айтқанда, Нэш тепе-теңдігі). Артқа индукция тек аяқталатын (шекті) және нақты ұзындығы бар ойындарда ғана қолданылады, ал толық емес ақпаратты ойындарға қолданылмайды. Мұндай жағдайларда ішкі ойындардағы кемелдік қолданылуы мүмкін. Жоғарыда сипатталған жойылған Нэш тепе-теңдігі – ішкі ойынның кемелсіздігі, себебі ол жаңа қатысушы кіргеннен кейін қозғалысқа жеткен түйінден басталатын ішкі ойынның Нэш тепе-теңдігі емес.

Бейес теңгерімінің кемелділігі

Кейде субойын кемелдігі ақылға сыймас нәтижелерге жеткілікті шектеулер қоймайды. Мысалы, субойындар ақпарат жиынтығын кесіп өте алмайтындықтан, толық емес ақпаратты ойындарда тек бір ғана субойын – өзі – болуы мүмкін, сондықтан субойын кемелдігі кез келген Нэш тепе-теңдігін жою үшін қолданылмайды. Толық Бейес тепе-теңдігі (ТБТ) – ойыншылар стратегиясының және ойын барысында қол жеткен ақпарат жиынтығындағы түйін туралы сенімдерінің нақты сипаттамасы. Шешім түйініне қатысты сенім – ойыншының сол түйіндегі ойынның жүріп жатқанына немесе болашақта жүредіне сену ықтималдығы (тепе-теңдік жолында). ТБТ-ның мәні, атап айтқанда, ол нақтылайтын ойыншы сенімдеріне сәйкес келетін рационалды стратегияны анықтайды және ол анықтайтын сенімдер, ол анықтайтын стратегиялармен үйлесімді болады. Бейес ойынында стратегия, ойыншы басқаратын әрбір ақпарат жиынтығындағы ойыншының қылығын анықтайды. Сенімдер стратегиялармен сәйкес болуы керек деген талап субойын кемелдігімен нақтыланбаған нәрсе. Сондықтан ТБТ – ойыншылар сенімдеріне қатысты үйлесімділік шарты болып табылады. Нэш тепе-теңдігіндегідей, ТБТ-де де ешбір ойыншының стратегиясы қатаң түрде басым болмайды, кез келген ақпарат жиынтығында ешбір ойыншының стратегиясы қатаң түрде басым емес. Яғни, ойыншының осы ақпарат жиынтығында ұстай алатын әрбір сенімі үшін, сол ойыншы үшін күтілетін үлкен пайданы қамтамасыз ететін стратегия жоқ. Жоғарыдағы шешімдер концепцияларынан айырмашылығы, ойыншының стратегиясы тіпті тепе-теңдік жолынан тыс болса да, кез келген ақпарат жиынтығынан бастап қатаң түрде басым болмайды. Осылайша, ТБТ-де ойыншылар тепе-теңдік жолынан шыққан кез келген ақпарат жиынтығынан бастап қатаң түрде басым стратегияларды ойнауға қауіп сала алмайды. Бұл шешім концепциясының атындағы Байес термині ойыншылардың сенімдерін Байес теоремасы бойынша жаңартуына сілтеме жасайды. Олар ойында болған оқиғалардың ықтималдығын есептейді.

Алға индукция

Алға индукция деп аталады, себебі артқа индукция болашақ ойынның рационалды болатынын болжайтындай, алға индукция өткен ойынның рационалды болғанын болжайды. Егер ойыншы басқа ойыншының қандай тип екенін білмесе (яғни, ақпарат толық емес және асимметриялық болса), ол ойыншының өткен әрекеттерін бақылап, сол ойыншының қандай тип екені туралы пікір қалыптастыруы мүмкін. Сондықтан, ойыншының қарсыласының белгілі бір типті болу ықтималдығы туралы пікірі, қарсыластың өткен ойынының рационалды болғанына негізделген. Ойыншы өзінің типін әрекеттері арқылы көрсетуге таңдауы мүмкін. Кольберг пен Мертенс (1986) алға индукцияны қанағаттандыратын тұрақты тепе-теңдік түсінігін енгізді. Мұндай тұрақты тепе-теңдік артқа индукцияны қанағаттандырмайтын мысал келтірілді. Бұл мәселені шешу үшін Жан Франсуа Мертенс қазір ойын теориясында Мертенс тұрақты тепе-теңдік түсінігі деп аталатын түсінікті ұсынды, бұл алға және артқа индукцияны қанағаттандыратын алғашқы шешім түсінігі болуы мүмкін. Алға индукция ақшаны өртеу ойыны үшін бірегей шешім береді.