Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Өлшемі ұлғайған кезде беттік аудан мен көлем арасындағы қатынас – ғылыми заң.
Relation between surface area and volume as size increases
the scientific law
Квадрат-куб заңы (немесе куб-квадрат заңы) – әртүрлі ғылыми салаларда қолданылатын математикалық принцип. Ол нысанның өлшемі ұлғайған немесе азайған кезде көлем мен беттік аудан арасындағы байланысты сипаттайды. Бұл заңды алғаш рет 1638 жылы Галилео Галилей «Екі жаңа ғылым» еңбегінде «екі көлемнің арақатынасы олардың беттік аудандарының арақатынасынан артық» деп түсіндірген. Бұл принципке сәйкес, нысанның өлшемі артқан сайын көлемі беттік ауданынан жылдам өседі. Нақты өмірде қолданылғанда, бұл заңның механикадан биомеханикаға дейінгі салаларда маңызды салдары бар. Ол мысалы, үлкен сүтқоректілердің, пілдердің кішкентай жануарларға қарағанда суынуы қиынға түсуіне және ең биік үйлерді салудың қиындығына себеп болатын құбылыстарды түсіндіруге көмектеседі.
The square–cube law (or cube–square law) is a mathematical principle, applied in a variety of scientific fields, which describes the relationship between the volume and the surface area as a shape's size increases or decreases. It was first described in 1638 by Galileo Galilei in his Two New Sciences as the " ratio of two volumes is greater than the ratio of their surfaces". This principle states that, as a shape grows in size, its volume grows faster than its surface area. When applied to the real world, this principle has many implications which are important in fields ranging from mechanical engineering to biomechanics. It helps explain phenomena including why large mammals like elephants have a harder time cooling themselves than small ones like mice, and why building taller and taller skyscrapers is increasingly difficult.
Инженерлік мысалдар
Бу машинасы: Джеймс Уатт Глазго университетінде аспаптар жасаушы болып жұмыс істеді, оған жұмыс істеу үшін Ньюкомен бу машинасының масштабты үлгісі тапсырылды. Уатт бұл мәселені шаршы-куб заңымен байланысты деп түсінді, өйткені модельдің цилиндрінің бетінің көлеміне қатынасы үлкен коммерциялық қозғалтқыштардан жоғары болды, бұл артық жылу шығынына әкелді. Осы модельмен жүргізілген тәжірибелер Уатттың бу машинасына жаңа жетістіктер әкелді. Airbus A380: ұшақтың фюзеляжымен салыстырғанда, көтеру және басқару беттері (қанаттар, рульдер және лифтер) салыстырмалы түрде үлкен. Мысалы, Boeing 737 ұшағының өлшемдерін A380 өлшемдеріне дейін ұлғайтса, ұшақтың салмағына шамадан тыс кішкентай қанаттар пайда болады, себебі шаршы-куб заңының әсері. Expander циклындағы зымыран қозғалтқыштары шаршы-куб заңынан зардап шегеді. Олардың мөлшері, демек, итеру күші, жылу беру тиімділігімен шектеледі, өйткені соплоның бетінің ауданы сопло арқылы өтетін отын көлемінен баяу өседі. Клиперге бірдей жылдамдыққа жету үшін шлюпкаға қарағанда көбірек желкен ауданы қажет, яғни бұл кемелер арасындағы желкен ауданының салмаққа қатынасы, салмаққа қатынастан жоғары. Аэростаттар көбінесе шаршы-куб заңынан пайда көреді. Баллон радиусы ұлғайғанда, бетінің ауданы квадраттық түрде өседі, ал көлемнен туындайтын көтеру күші кубикалық түрде өседі. Құрылыс инженериясы: Кішкентай масштабта жұмыс істейтін материалдар үлкен масштабта жұмыс істемей қалуы мүмкін. Мысалы, кішкентай тұрған бағананың түбіндегі қысым кернеуі бағананың мөлшерімен пропорционалды түрде өседі. Сондықтан, белгілі бір материал мен тығыздық үшін бағананың өзіне құлайтын мөлшері болады.
Steam engine: James Watt, working as an instrument maker for the University of Glasgow, was given a scale model Newcomen steam engine to put in working order. Watt recognized the problem as being related to the square–cube law, in that the surface to volume ratio of the model's cylinder was greater than that of the much larger commercial engines, leading to excessive heat loss. Experiments with this model led to Watt's famous improvements to the steam engine. Airbus A380: the lift and control surfaces (wings, rudders, and elevators) are relatively big compared to the fuselage of the airplane. For example, taking a Boeing 737 and merely magnifying its dimensions to the size of an A380 would result in wings that are too small for the aircraft's weight, because of the square–cube rule. Expander cycle rocket engines suffer from the square–cube law. Their size, and therefore thrust, is limited by heat transfer efficiency due to the surface area of the nozzle increasing slower than the volume of fuel flowing through the nozzle. A clipper needs relatively more sail surface than a sloop to reach the same speed, meaning there is a higher sail surface to sail surface ratio between these craft than there is a weight to weight ratio. Aerostats generally benefit from the square–cube law. As the radius of a balloon is increased, the cost in surface area increases quadratically , but the lift generated from volume increases cubically Structural engineering: Materials that work at small scales may not work at larger scales. For example, the compressive stress at the bottom of a small free standing column scales at the same rate as the size of the column. Therefore, there exists a size for a given material and density at which a column will collapse on itself.
Биомеханика
Егер жануар изометриялық түрде едәуір үлкейтілсе, оның салыстырмалы бұлшық күші күрт төмендейді, себебі бұлшық еттерінің көлденең қимасы ұлғаю коэффициентінің квадратымен, ал массасы – кубымен өседі. Осының салдарынан жүрек-қан тамырлар және тыныс алу жүйесіне зор жүктеме түседі. Ұшатын жануарлар үшін изометриялық үлкейту кезінде қанат жүктемесі артады, сондықтан бірдей көтерілу күшіне қол жеткізу үшін олар тезірек ұшуға мәжбүр болады. Кішкентай жануарлар үшін ауаның бірлік массасына қарсы келу күші де жоғары (соның салдарынан шекті жылдамдық төмендейді), сондықтан құмырсқа сияқты кішкентай жануар кез келген биіктіктен құлағанда жерге тиюден елеулі зақымдар алмайды. Дж. Б. С. Холдейн айтқандай, үлкен жануарлар кішкентай жануарларға ұқсамайды: пілді үлкейтілген тышқанмен шатастыру мүмкін емес. Бұл аллометриялық масштабтауға байланысты: пілдің сүйектері тышқанның сүйектеріне қарағанда пропорционалды түрде әлдеқайда үлкен болуы керек, өйткені олар пропорционалды түрде үлкен салмақты көтеруге тиіс. Холдейн 1928 жылғы «Дұрыс өлшем туралы» эссесінде аллегориялық алыптарды мысалға келтіріп, былай түсіндіреді: «Суреттемелі «Қажылар жолы» еңбегіндегі 60 футтық алып Папа мен Асық Паганды қарастырыңыз: Бұл монстрлардың салмағы [қалыпты адамнан] 1000 есе көп болды. Алып сүйектің әрбір шаршы дюйміне адам сүйегінің бір шаршы дюйміне қарағанда 10 есе салмақ түседі. Егер орташа адамның жамбас сүйегі өзінің салмағынан 10 есе ауыр болғанда сынса, Папа мен Асық әр қадам сайын жамбастарын сындырып алушы еді». Осылайша, көптеген жануарлар түрлер арасында да, түрлер ішінде де өлшемі ұлғайған сайын аллометриялық масштабталуды көрсетеді. Монстр фильмдеріндегі алып жаратылыстар (мысалы, Годзилла, Кинг Конг, «Олар!» және басқа да кайдзю) да олардың үлкен өлшемдері оларды құлап қалуға мәжбүр ететіндіктен, шындыққа сай емес. Дегенмен, судың иілу күші гравитацияның әсерін біршама азайтады. Сондықтан су жануарлары ұқсас өлшемдегі құрлықтағы жануарларға қажет болатын бұлшық-сүйек құрылымдары болмай, өте үлкен өлшемдерге жете алады, және жер бетінде болған ең үлкен жануарлардың су жануарлары болуының басты себебі осы. Жануарлардың метаболизмі экологияның метаболикалық теориясына сәйкес, төртінші дәрежелі масштабтау деп аталатын математикалық принцип бойынша өзгереді.
If an animal were isometrically scaled up by a considerable amount, its relative muscular strength would be severely reduced, since the cross section of its muscles would increase by the square of the scaling factor while its mass would increase by the cube of the scaling factor. As a result of this, cardiovascular and respiratory functions would be severely burdened. In the case of flying animals, the wing loading would be increased if they were isometrically scaled up, and they would therefore have to fly faster to gain the same amount of lift. Air resistance per unit mass is also higher for smaller animals (reducing terminal velocity) which is why a small animal like an ant cannot be seriously injured from impact with the ground after being dropped from any height. As stated by J. B. S. Haldane, large animals do not look like small animals: an elephant cannot be mistaken for a mouse scaled up in size. This is due to allometric scaling: the bones of an elephant are necessarily proportionately much larger than the bones of a mouse because they must carry proportionately higher weight. Haldane illustrates this in his seminal 1928 essay On Being the Right Size in referring to allegorical giants: " consider a man 60 feet high Giant Pope and Giant Pagan in the illustrated Pilgrim's Progress: These monsters weighed 1000 times as much as [a normal human]. Every square inch of a giant bone had to support 10 times the weight borne by a square inch of human bone. As the average human thigh bone breaks under about 10 times the human weight, Pope and Pagan would have broken their thighs every time they took a step." Consequently, most animals show allometric scaling with increased size, both among species and within a species. The giant creatures seen in monster movies (e. g., Godzilla, King Kong, and Them!, and other kaiju) are also unrealistic, given that their sheer size would force them to collapse. However, the buoyancy of water negates to some extent the effects of gravity. Therefore, aquatic animals can grow to very large sizes without the same musculoskeletal structures that would be required of similarly sized terrestrial animals, and it is the primary reason that the largest animals to ever exist on earth are aquatic animals. The metabolic rate of animals scales with a mathematical principle named quarter power scaling according to the metabolic theory of ecology.
Масса және жылу беру
Массалық беріліс, мысалы, тірі жасушалар сияқты кішкентай нысандарға диффузия, бүкіл жануарлар сияқты үлкен нысандарға диффузияға қарағанда жылдам. Сондықтан, көлемде емес, бетінде жүретін химиялық процестерде ұсақ дисперсті материал көбірек белсенді болады. Мысалы, гетерогенді катализатордың активтілігі оны ұсақ бөлшектерге бөлгенде артады. Мұндай катализаторлар көбінесе жоғары температурада жұмыс істейді. Химиялық процестен туындайтын жылу мөлшері ыдыстың сызықтық өлшемдерінің (биіктігі, ені) кубымен пропорционалды, ал ыдыстың беттік ауданы тек сызықтық өлшемдерінің квадратымен пропорционалды. Осылайша, үлкен ыдыстарды салқындату әлдеқайда қиын. Сонымен қатар, ыстық сұйықтарды тасымалдауға арналған үлкен құбырларды кішкентай масштабта модельдеу қиын, себебі кішкентай құбырлардан жылу тезірек кетіп жатады. Процесті жобалау кезінде бұл факторларды ескермеу, қауіпті жылулық қашуға алып келуі мүмкін.
Mass transfer, such as diffusion to smaller objects such as living cells is faster than diffusion to larger objects such as entire animals. Thus, in chemical processes that take place on a surface – rather than in the bulk – finer divided material is more active. For example, the activity of a heterogeneous catalyst is higher when it is divided into finer particles. Such catalysts typically occur in warmer conditions. Heat production from a chemical process scales with the cube of the linear dimension (height, width) of the vessel, but the vessel surface area scales with only the square of the linear dimension. Consequently, larger vessels are much more difficult to cool. Also, large scale piping for transferring hot fluids is difficult to simulate on a small scale, because heat is transferred faster out from smaller pipes. Failure to take this into account in process design may lead to catastrophic thermal runaway.