Введение

Отношение между площадью поверхности и объемом при увеличении размера: научный закон

Закон квадрат-куба (или закон куб-квадрат) — это математический принцип, применяемый в различных научных областях, описывающий взаимосвязь между объемом и площадью поверхности при увеличении или уменьшении размера объекта. Впервые он был описан в 1638 году Галилео Галилеем в его труде «Две новые науки» как «отношение двух объемов больше, чем отношение их поверхностей». Этот принцип утверждает, что при увеличении размера объекта его объем растет быстрее, чем площадь поверхности. В реальном мире этот принцип имеет множество важных следствий в таких областях, как машиностроение и биомеханика. Он помогает объяснить явления, такие как то, почему крупным млекопитающим, например слонам, труднее охлаждаться, чем мелким, например мышам, и почему строительство все более высоких небоскребов становится все сложнее.

Примеры инженерных

Паровой двигатель: Джеймсу Уатту, работавшему изготовителем приборов в Университете Глазго, был предоставлен масштабный макет паровой машины Ньюкомена для восстановления в рабочем состоянии. Уотт понял, что проблема связана с законом квадрата-куба, поскольку отношение площади поверхности к объему цилиндра макета было больше, чем у гораздо более крупных коммерческих двигателей, что приводило к чрезмерным теплопотерям. Эксперименты с этим макетом привели к знаменитым усовершенствованиям, внесенным Уаттом в конструкцию парового двигателя. Airbus A380: поверхности, создающие подъемную силу и управляющие полетом (крылья, рули направления и высоты) относительно велики по сравнению с фюзеляжем самолета. Например, если просто увеличить размеры Boeing 737 до размеров A380, то получатся крылья, которые будут слишком малы для веса самолета из-за закона квадрата-куба. Ракетные двигатели с экспандерным циклом испытывают влияние закона квадрата-куба. Их размер, а следовательно, и тяга, ограничены эффективностью теплопередачи, поскольку площадь поверхности сопла увеличивается медленнее, чем объем протекающего через него топлива. Клиперу требуется относительно большая площадь парусов, чем шлюпу, для достижения той же скорости, что означает, что отношение площади парусов к площади парусов у этих судов выше, чем отношение веса к весу. Аэростаты, как правило, выигрывают от закона квадрата-куба. С увеличением радиуса воздушного шара стоимость площади поверхности растет пропорционально квадрату радиуса, а подъемная сила, создаваемая объемом, – пропорционально кубу радиуса. Строительная механика: Материалы, работающие в малых масштабах, могут оказаться непригодными для использования в больших масштабах. Например, напряжение сжатия в основании небольшой свободно стоящей колонны увеличивается пропорционально размеру колонны. Следовательно, существует предел размера для данного материала и плотности, при котором колонна разрушится под собственным весом.

Биомеханика

Если животное изметрически увеличить в размерах в значительной степени, его относительная мышечная сила существенно снизится, поскольку поперечное сечение его мышц увеличится пропорционально квадрату коэффициента масштабирования, а масса – пропорционально кубу этого коэффициента. В результате этого сердечно-сосудистая и дыхательная системы будут подвергаться серьезной нагрузке. У летающих животных изометрическое увеличение в размерах привело бы к увеличению нагрузки на крыло, и им пришлось бы летать быстрее, чтобы создать ту же подъемную силу. Сопротивление воздуха на единицу массы также выше у мелких животных (что снижает конечную скорость), поэтому небольшое животное, такое как муравей, не получит серьезных травм при падении с любой высоты. Как отмечал Дж. Б. С. Холдейн, крупные животные не похожи на мелких: слона нельзя спутать с мышью, просто увеличенной в размерах. Это связано с аллометрическим масштабированием: кости слона неизбежно пропорционально намного больше костей мыши, поскольку они должны выдерживать пропорционально больший вес. Холдейн иллюстрирует это в своем основополагающем эссе 1928 года «О том, чтобы быть правильного размера», ссылаясь на аллегорических гигантов: «Представьте человека ростом 60 футов – Гигантского Папу и Гигантского Язычника в иллюстрированном «Путешествии паломника»: эти монстры весили в 1000 раз больше, чем [обычный человек]. Каждый квадратный дюйм гигантской кости должен был выдерживать вес в 10 раз больше, чем квадратный дюйм человеческой кости. Поскольку средняя бедренная кость человека ломается под нагрузкой, в 10 раз превышающей вес человека, Папа и Язычник сломали бы бедра каждый раз, когда делали шаг». Следовательно, у большинства животных наблюдается аллометрическое масштабирование с увеличением размера, как между видами, так и внутри одного вида. Гигантские существа, которых можно увидеть в фильмах о монстрах (например, Годзилла, Кинг Конг, «Они!» и другие кайдзю), также нереалистичны, поскольку их огромные размеры привели бы к обрушению. Однако плавучесть воды в некоторой степени компенсирует действие гравитации. Поэтому водные животные могут вырастать до очень больших размеров без тех же мышечно-скелетных структур, которые потребовались бы наземным животным аналогичного размера, и именно поэтому самые крупные животные, когда-либо существовавшие на Земле, – водные животные. Скорость метаболизма животных масштабируется в соответствии с математическим принципом, известным как закон четвертой степени, согласно метаболической теории экологии.

Передача массы и тепла

Массоперенос, такой как диффузия к меньшим объектам, например, к живым клеткам, происходит быстрее, чем диффузия к большим объектам, например, к целым животным. Таким образом, в химических процессах, протекающих на поверхности, а не в объеме, более дисперсный материал проявляет большую активность. Например, активность гетерогенного катализатора выше, когда он разделен на более мелкие частицы. Такие катализаторы обычно используются при повышенных температурах. Выделение тепла в химическом процессе масштабируется в кубе линейного размера (высоты, ширины) сосуда, в то время как площадь поверхности сосуда масштабируется лишь в квадрате линейного размера. Следовательно, большие сосуды гораздо сложнее охлаждать. Кроме того, масштабную систему трубопроводов для транспортировки горячих жидкостей сложно имитировать в малом масштабе, поскольку тепло отводится быстрее из труб меньшего диаметра. Игнорирование этого фактора при проектировании процесса может привести к катастрофическому тепловому разгону.